3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства



страница13/13
Дата21.12.2012
Размер0.49 Mb.
ТипДокументы
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

Ортогональное разложение векторов



Определение. Говорят, что вектор ортогонален к подпро­странству , если вектор ортогонален любому вектору из этого подпространства.

Определение. Ортогональным дополнением к подпространству из евклидова пространства называется множество всех век­торов из , ортогональных подпространству . Обозначается .

Определение. Пусть вектор представлен в виде , где , а , тогда вектор называется ортогональной проекцией вектора на подпространство , вектор называется ортогональной составляющей вектора относительно подпространства ,

число называется расстоянием от вектора до подпространства
72

, а угол между векторами и называется углом между вектором и подпространством .

Утверждение. Ортогональное дополнение к подпространству из евклидова пространства само является подпространством евклидова пространства .

Утверждение. Сумма подпространств + является прямой суммой.

Утверждение. Если – некоторое подпространство евклидова пространства , то справедливо равенство +gif" align=bottom>=.

Примеры

1. Найти ортогональную проекцию вектора на подпространство , порождённое векторами

.

Решение. Вначале определим базис данного подпространства. Проверим, являются ли линейно независимыми векторы . Условие линейной независимости (зависимости) данных векторов представляет собой систему уравнений относительно коэффициентов . Найдём решение этой системы с помощью элементарных преобразований её матрицы:



Как видно, ранг системы равен 3, определитель системы отличен от нуля. Следовательно, однородная система трёх уравнений для трёх неизвестных имеет лишь тривиальное решение: .

Таким образом векторы линейно независимы и составляют

73

базис заданного подпространства. По определению вектор , представляющий ортогональную проекцию на подпространство , принадлежит и ортогонален . Эти условия приводят в итоге к системе уравнений для координат вектора в базисе подпространства :

где - элементы матрицы Грама.

В соответствии с формулой Крамера решение этой системы имеет вид



где - определитель матрицы Грама системы базисных векторов, а - определитель, полученный из определителя Грама заменой -го столбца на столбец из свободных членов выписанной системы уравнений.

В рассматриваемой задаче элементы матрицы Грама равны



Элементы столбца свободных членов: .

Учитывая это, для определителей имеем

Откуда .
74

Таким образом, для ортогональной прекции вектора на подпро-странство получим
    1. Задачи


    1. Найти размерность и базис ортогонального дополнения к линейной оболочке векторов:

а) ,; б) ,,;

в) ,,.

    1. Найти размерность и базис ортогонального дополнения к подпространству, заданному системой

а) ; б) ;

в)

    1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора относительно подпространства, порожденного векторами , если

а) ,,;;

б) ,,;.

    1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора относительно подпространства, заданного системой

.
75

    1. Найти ортогональную проекцию и ортогональную составляющую вектора относительно ортогонального дополнения к линейной оболочке векторов ,.

    2. Найти расстояние от вектора до подпространства L и угол между ними, если задано системой

.

    1. Найти расстояние от вектора до линейной оболочки векторов , и угол между и .

    2. Найти угол между вектором и подпространством, порожденным векторами , если

а) ,,;

б) ,,;.

    1. Основанием -мерного параллелепипеда, построенного на векторах , служит -мерный параллелепипед, построенный на векторах . Найти объем -мерного параллелепипеда и длину перпендикуляра, опущенного на основание, если ,, ,.

    2. Найти угол между диагональю n-мерного куба (см.задачу 3.67) и его k-мерной гранью.


76
1   ...   5   6   7   8   9   10   11   12   13

Похожие:

3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconВопросы к экзамену алгебра линейные пространства
Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconВысшего профессионального образования города Москвы
Матрицы и определители. Векторные пространства. Евклидовы пространства. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные векторы...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconВысшего профессионального образования города Москвы
Матрицы и определители. Векторные пространства. Евклидовы пространства. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные векторы...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconПрограмма курса Линейная и векторная алгебра. Программа курса
Линейные операции над векторами. Базисы, разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартов базис. Скалярное, векторное и...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconПрограмма курса «уравнения математической физики»
Линейные пространства, линейная независимость, конечномерные и бесконечномерные пространства, примеры
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconЛинейные преобразования
Пусть дано п-мерное действительное пространство Vп. Рассмотрим преобразование этого пространства, то есть отображение, переводящее...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org