3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства



страница5/13
Дата21.12.2012
Размер0.49 Mb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Базис и размерность линейного пространства


Определение. Базисом линейного пространства называется линейно независимая система векторов из такая, что любой вектор из пространства можно представить в виде линейной комбинации векторов .

Определение. Размерностью линейного пространства называ­ется количество векторов в базисе этого пространства. Обо­значается .

Утверждение. Базисом линейного пространства решений одно­родной системы является ее фундаментальная система реше­ний.

Утверждение. Rn=n.
        1. Примеры


  1. Образуют ли базис в пространстве R3 векторы

?

Решение. По определению базис составляют линейно независимые векторы. Линейная зависимость (или независимость) определяется исходя из анализа равенства нулю линейной комбинации этих векторов:

.

Последнее векторное уравнение после записи его по компонентам представляет собой систему трёх однородных уравнений относительно . Согласно схеме исследования линейной зависимости векторов (см. пример 1 из раздела «Линейная зависимость и независимость векторов») вычислим определитель матрицы, составленной из координат векторов



48

Определитель системы равен нулю, следовательно, она имеет нетривиальное решение и это означает, что исходная группа векторов линейно зависима и не образует базис в R3.

  1. Найти размерность и один из базисов линейного пространства решений однородной системы:



Решение. Представленная система состоит из трёх уравнений и содержит 5 неизвестных. Выпишем матрицу системы и упростим её с помощью элементарных преобразований, сначала поменяв местами строки 1 и 2, а затем вычитая новую первую строку, умноженную на 3 и 4, соответственно из второй и третьей строк :



Видно что ранг матрицы равен 2. Следовательно, две неизвестные являются главными, а три - свободными.
Значит ФСР системы содержит 5-2=3 линейно независимых решения. Выберем в качестве главных . Это можно сделать, т.к. минор 2-го порядка, составленный из коэффициентов при этих неизвестных, отличен от нуля. Система, соответствующая преобразованной матрице, имеет вид



Отсюда, выражая главные неизвестные через свободные, получим общее решение



49

Или иначе:

.
Фундаментальная совокупность решений, составленная в соответствии с изложенным алгоритмом (см. пример 4 в разделе «Системы линейных алгебраических уравнений»), является базисом линейного пространства решений исходной системы и в данном случае имеет вид


Размерность искомого пространства равна 3.
    1. Задачи


    1. Является ли базисом пространства R3 система векторов:

а) , , ;

б) , ;

в) , , , .

    1. Найти размерность и базис пространства решений однород­ной системы:

а) ; б) ;
50

в) ; г) ;

д) .

    1. Найти размерность и указать какой-либо базис пространства всех векторов, выходящих из начала координат и:

а) лежащих на прямой ;

б) перпендикулярных прямой ;

в) лежащих в плоскости ;

г) перпендикулярных плоскости .

    1. Вектор разложить по базису ,.

    2. Данный вектор разложить по указанному базису :

а) ,,,;

б) ,,,.

    1. Дополнить до какого-либо базиса соответствующего пространства Rn систему:

а) ,;

б) ,,;

в) ,.

    1. При каких значениях параметра векторы образуют базис пространства R3:

а) ,,;

б) ,,;

в) ,,.

51

    1. Найти размерность и указать какой-либо базис простран­ства:

а) многочленов степени не выше n;

б) квадратных матриц порядка n;

в) прямоугольных матриц размера ;

г) симметричных матриц порядка n;

д) диагональных матриц порядка n.

    1. Доказать, что система образует базис

пространства многочленов степени не выше n.

    1. Найти размерность и указать какой-либо базис про­странства положительных чисел, в котором сумма произ­вольных чисел и вычисляется как , а произведение вещественного числа на произвольное положительное число вычисляется как .
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   13

Похожие:

3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconПрограмма экзамена по алгебре и геометрии 2 семестр линейные пространства
Линейные пространства. Понятие линейного пространства. Примеры линейных пространств
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconВопросы к экзамену алгебра линейные пространства
Размерность и базис линейного пространства. Конечномерные и бесконечномерные линейные пространства. Базис. Разложение вектора по...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconВысшего профессионального образования города Москвы
Матрицы и определители. Векторные пространства. Евклидовы пространства. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные векторы...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconВысшего профессионального образования города Москвы
Матрицы и определители. Векторные пространства. Евклидовы пространства. Линейные преобразования и их матрицы. Собственные векторы...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconВопросы к экзамену по курсу "Линейная алгебра и геометрия"
Конечномерные линейные пространства. Базис пространства. Размерность пространства
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconПрограмма курса Линейная и векторная алгебра. Программа курса
Линейные операции над векторами. Базисы, разложение вектора по базису. Координаты вектора. Декартов базис. Скалярное, векторное и...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconПрограмма курса «уравнения математической физики»
Линейные пространства, линейная независимость, конечномерные и бесконечномерные пространства, примеры
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства iconЛинейные преобразования
Пусть дано п-мерное действительное пространство Vп. Рассмотрим преобразование этого пространства, то есть отображение, переводящее...
3. линейные, евклидовы и унитарные пространства линейные пространства icon2. Линейные пространства
Элементы линейного пространства называются векторами. Операции сложения и умножения на число удовлетворяют следующим аксиомам
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org