Учебно-методическое пособие для слушателей идпо издательство Тюменского государственного университета 2007 удк 512. 64 (075. 8)

Скачать 2.35 Mb.

страница	8/12
Дата	21.12.2012
Размер	2.35 Mb.
Тип	Учебно-методическое пособие

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Векторные пространства.

Господь Бог - искусный математик и физик. Задача науки состоит в том, чтобы раскрыть блистательный замысел творца.

М. Клайн. «Математика - утрата определенности»

Многие историки науки считают «родителями векторного пространства» ирландского ученого XIX в. У. Гамильтона, о вкладе которого в математику мы уже упоминали, говоря об истории открытия матричного исчисления, а также его немецких коллег и современников Г. Грассмана (Grassman Herman Gunter, 1809 - 1887) и А. Мебиуса (Mobius August Ferdinand, 1790 - 1868). Даже сам термин «вектор» ввел также Гамильтон около 1845 г, (по другим источникам - в 1864 г).

Между тем историю векторного исчисления, как историю и корни всякой крупной математической теории, можно проследить задолго до его выделения в самостоятельный раздел математики. Так еще у Архимеда (А, приблизительно в 287 -212 г. г. до н. э.) в его всем известном со школы законе присутствует величина, характеризующаяся не только численным значением, но и направлением. Более того: векторный характер сил, скоростей и перемещений в пространстве был знаком многим ученым Античного времени, а «правило параллелограмма» сложения векторов было известно еще в IV в. до Р. X. математикам школы Аристотеля. По существу, в таком же эмпирическом смысле векторами пользовались выдающиеся ученые XVI - XVII в. в. Г. Галилей (Galilei Galileo, 1564 -1642), И. Ньютон и другие их современники. Вектор обычно изображался отрезком с указанным на нем направлением, т. е. направленным отрезком.

В середине XVI в. были открыты, и в конце концов все же заслужили признание мнимые числа благодаря работам итальянского математика Дж. Кардано (Cardano Girolomo, 1501 - 1576), а затем комплексные - его соотечественника Р.Бомбелли (Bombelli Raffael, 1530 - 1572). Оказалось удивительно удачным изображение их векторами (направленными отрезками), отложенными от начала некоторой прямоугольной декартовой системы координат на плоскости, в том смысле, что таким же образом довольно естественно изображались результаты основных операций с такими числами: их суммы (по «правилу параллелограмма») и произведения. Этим же геометрическим представлением суммы комплексных чисел пользовался Гаусс. Но такая их интерпретация окончательно утвердилась в математике со второй половины XVIII столетия только после исследований датского ученого К. Весселя (Wessel Caspar, 1745 -1818) и швейцарца Ж. Аргана (Argand Jean Robert, 1765 - 1822), в результате которых многим стало ясно, что структура векторов и их приложений гораздо богаче и разнообразнее, чем предполагалось ранее. Прежняя механистическая концепция вектора перестала удовлетворять науку. А последовавшие работы Гаусса (1831 г.) по геометрии комплексных чисел позволили итальянскому математику Дж. Беллавитису (Bellavitis Jinsto, 1803 - 1880) в 1854 г.

, развив идеи эквиполентности, подготовить основание для того, чтобы математика смогла перейти от свободных (геометрических) векторов к абстрактному векторному пространству.

Параллельно с исследованиями комплексных чисел в работах многих математиков ХVII - ХVIII в. в., занимавшихся геометрическими проблемами, можно увидеть нарастание потребности в неком геометрическом исчислении, подобном численному (исчислению действительных чисел), но связанному с пространственной системой координат. Его в какой-то мере пытался создать еще Лейбниц, продумывая свою «универсальную арифметику», но несмотря на гениальность и необычайную широту интересов, сделать это ему не удалось. Однако уже к концу XVIII в. отдельные идеи векторного исчисления, которое и стало тем исчислением, что искали геометры, смог сформулировать французский ученый (математик и физик) Л. Карно (Camot Lasar, 1753 - 1823). А в 30-х годах XIX в. у Гамильтона и Грассмана в работах по теории комплексных чисел и кватернионов эти идеи были сформулированы уже совершенно прозрачно, хотя, по существу, что удивительно, они имели дело только с некоторыми примерами тех конечномерных векторных пространств, которые теперь бы мы назвали - координатными (арифметическими). Но последователи разыскали и рассмотрели в работах этих ученых то, что каждый из них уже вполне четко понимал и представлял структуру абстрактного векторного пространства. Во всяком случае около 1846 г. и Кэли и Грассман уже достаточно непринужденно пользовались его свойствами, причем, как отмечает И. Бурбаки в «Elements d'histoir des mathematique» («Очерки по истории математики»): «не прибегая ни к какому метафизическому понятию». А Грассман, опубликовав в 1844 г. свое «Die Line-ale Ausdehnungslehre» («Учение о линейном продолжении»), заложил основы не только многомерной евклидовой геометрии, но и тех мощных разделов математики, которые теперь носят названия векторного и тензорного исчислений. Однако, они получили свое современное оформление только к рубежу XIX и XX столетий благодаря усилиям американского математика Д. Гиббса (Gibbs Josian Willard, 1838 - 1903), английского - 0. Хевисайда (Heaviside Oliver, 1850 - 1925) и итальянца Дж. Пеано (Peano Guiseppe, 1858 - 1932). Последний, оценив открытие Грассмана, дал в статье, опубликованной в 1888 г. в Турине: «Calcolo geometrico secondo 1'Ausdehnungslehre di Grassmann, preceduto dalle operazione della logica deduitto» («Геометрическое исчисление «Учения о продолжении Грассмана», построенное логически дедуктивно») аксиоматическое определение векторного пространства над полем действительных чисел.

Так называемые функциональные векторные пространства привлекли внимание математиков уже в начале нашего века после инновационных результатов в этой области итальянца С. Пинкерля (Pinkerle Salvator, 1853 - 1936) и немецкого математика 0. Теплица (Teoplitz Otto, 1881 - 1940), который известен своими работами по теории матриц и, в частности, тем, что придумал удачную общую модель векторного пространства - координатное векторное пространство. Полезно еще отметить, что именно Хевисайд ввел в 1891 г. одно из закрепившихся в научной литературе обозначений вектора: а (полужирными латинскими буквами), автором двух других общепринятых ныне обозначений векторов: а и был Ж. Арган, а для обозначения свободного вектора предложил А. Мебиус. Термин «скалярный» в современном смысле впервые употребил У. Гамильтон в 1843 г.

Любопытен тот факт, что один из «отцов векторного исчисления» Г. Грассман более века назад предложил рассматривать цветовые ощущения (разложение любого цвета на красный, синий и желтый), как векторы некоторого трехмерного «цветового пространства», что и составляет основу современного учения о цвете.

Множества.

«Ты когда-нибудь видела, как рисуют множество? » - «Множество чего?» - спросила Алиса. - «Ничего, - отвечала Соня, - просто множество!».

Л. Кэррол. «Алиса в стране чудес»

Множество - одно из самых основных понятий современной математики, оно используется, как базовое, почти во всех ее областях, а без символики теории множеств сейчас немыслимо, пожалуй, ни одно математическое исследование. Однако, теория множеств получила официальное признание не так давно: это произошло на Первом международном конгрессе математиков в Цюрихе в 1879 году, на котором Ж. Адамар и А. Гурвиц сообщили о многочисленных содержательных примерах ее применения в математическом анализе.

Появление теории множеств было вызвано, видимо, общей логикой развития науки, историческими процессами формализации языка математики (т. е. необходимостью выделения логических правил и допустимых приемов рассуждений), осознанием универсальности результатов и преимуществ метода, при котором содержанием математического исследования становятся свойства какого-либо математического понятия, структуры, которые определяются априори своими основными характеристическими свойствами или аксиомами. Позднее, при полной кристаллизации идеи, такой метод будет назван аксиоматическим и его осознание позволит сделать громадный шаг в науке к новым, немыслимым до того областям. Но это произойдет только в XIX - XX веках.

Еще в IV в. до нашей эры в работах Аристотеля (, 384 - 322 до н. э.) подвергались исследованию особые отношения и логические рассуждения, которые он называл силлогизмами и которые на современном теоретико-множественном языке могут быть проиллюстрированы предложениями: А  В, А  В  , или более сложными: (А  B)(B  С)  А  С. (Здесь через А, В, С обозначены множества). У Аристотеля это формулировалось примерно так: «Всякое А есть В». «Некоторое А есть В», и аналогичными предложениями, в которых, и это очень важно, было несущественно, какие именно предметы составляют А или В. Однако, еще им самим было замечено, что подобный язык и схемы оказывались недостаточными для описания всех рассуждений и доказательств результатов, известных в математике к тому времени.

Идеи Аристотеля оказались плодотворными для немецкого математика Г. Лейбница (Leibniz Gotfried Wilhelm, 1646 - 1716), который был не только великолепным и многосторонним исследователем (область его интересов составляли вопросы логики, геометрии, математического анализа, физики, механики, даже палеонтологии и ботаники, он изобрел «счетную машину», что дает право называть его одним из провозвестников современной компьютерной математики), но и глубоким философом. Видимо, поэтому Лейбниц длительное время был увлечен идеей создания метода, который сводил бы все понятия в математике к примитивным и основным, составляющим как бы «азбуку человеческой мысли» и посредством «азбуки правил» затем формальным путем давал бы все истинные математические утверждения и теоремы.

Ему же принадлежит идея символических обозначений, которые, по его мнению, должны служить указателями мышлению. Лейбниц писал: «Истинный метод должен давать filum Aradnes (нить Ариадны), т. е. некоторое осязаемое и грубое средство, которое направляло бы разум подобно начертанным линиям в геометрии... Без этого наш разум не смог бы проделать длинный путь, не сбившись с дороги». Более того, в его работах просматривается понимание идеи формализованного языка, как комбинации знаков и их сцеплений, что позволило бы механически получать новые истинные высказывания. Лейбниц несколько раз приступал к реализации этих своих идей, стараясь привести в систему основные правила силлогизмов Аристотеля, но всякий раз его подстерегала неудача, он сталкивался с большими трудностями, связанными с понятиями пустого множества и отрицаниями высказываний (дополнениями множеств).

Таким образом, несмотря на плодотворность идей и множество содержательных результатов, порожденных их развитием, попытки Лейбница формализовать логику Аристотеля закончились неудачей. Большая часть его результатов оставалась неопубликованной до начала XX века и поэтому не оказала существенного влияния на работы других математиков при формировании математической логики и теории множеств. До середины XIX века, т. е. в течение еще почти двух веков, несмотря на интерес к этому кругу вопросов, никому из математиков не удалось продвинуться существенно дальше Лейбница.

Наиболее значительным продвижением в этой области следует признать результаты английского математика Дж. Буля (Boole George, 1815 - 1864), который считается создателем современной символической логики. Он ввел обозначения символами операций объединения и пересечения множеств и высказываний (дизъюнкции и конъюнкции), что придало гибкость его системе. В середине XIX века шотландским математиком Де Морганом (De Morgan Augustus, 1806 - 1871) система Буля была усовершенствована: он установил не только законы дистрибутивности.но и двойственности для логических высказываний, которые в теории множеств потом получили название законов Де Моргана. Позднее английским логиком Д. Венном (Venn John, 1834 - 1923) была разработана специальная наглядная графическая система, нашедшая применение в математической логике и теории множеств под названием диаграмм Эйлера - Венна. Однако, большинство знаков - символов, которыми теперь пользуется математика: , , , , \, было введено итальянским математиком Дж. Пеано (Реапо Giuseppe, 1858- 1932).

Потребности анализа и углубленное изучение функций действительной переменной, которое интенсивно проводилось с середины XVIII века, положили начало разделу математики, который позже был назван теорией множеств. Работы немецкого математика Г. Кантора (Cantor Georg, 1845 - 1918) о тригонометрических рядах привели его к необходимости классификации некоторых «исключительных множеств», а эта задача, в свою очередь - к созданию современной теории множеств. Так что Г. Кантор считается основоположником этого раздела математики, хотя история вопроса, как мы видели, нисходит к философским школам Древней Греции. Ему принадлежит такое определение: «Под множеством понимается объединение в одно общее объектов хорошо различимых нашей интуицией или мыслью». Оно почти не вызвало критики современников, но как только к понятию множества помимо основных теоретико-множественных операций (объединения, пересечения и т. п.) стали присоединяться вполне естественные понятия числа (элементов множества) и величины (множества), положение стало существенно сложнее. Так в течение трех лет с 1784-го года Кантор пытался доказать невозможность, как ему казалось, взаимно однозначного соответствия между множествами R и Rⁿ при n >1, пока к своему удивлению он не построил такое соответствие. «Я это вижу, но не верю в это» - писал он Дедекинду. К концу XIX века в теории множеств уже набралось несколько примеров парадоксальных множеств, нарушавших принцип:

«элемент, который определяется через совокупность элементов какого-либо множества, не может принадлежать этому же множеству». К таким парадоксальным множествам следовало бы отнести и «множество всех множеств», которое должно бы было содержать себя в качестве элемента. Принципиальные противоречия возникали и при сравнении множеств, состоящих из бесконечного числа элементов. Эти противоречия по существу так или иначе сводились к сложным философским понятиям актуальной и потенциальной бесконечности. Попытки многих математиков конца XIX - начала XX веков совершенствовать аксиоматику теории множеств (Рассел, Цермело, Френкель, фон Нейман, Гедель и т. д.) не увенчались существенным успехом: преимущества в отдельных областях математики вынуждали в других к ограничениям круга приемлемых для рассмотрения задач, будучи не в состоянии обеспечить описание всех проблем другого раздела. В итоге математики осознали печальную истину невозможности создания универсальной непротиворечивой теории множеств, как азбуки математики в целом. Однако, символика, язык, возможность кратко записать основную логическую идею доказательства, т. е. аппарат теории множеств и, главное, ее идеи, сохранили свою привлекательность и используются и поныне, несмотря на понимание ограниченности ее возможностей. «Никто не может изгнать нас из рая, созданного для нас Кантором» - писал Д. Гильберт.

1 ... 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Учебно-методическое пособие для слушателей идпо издательство Тюменского государственного университета 2007 удк 512. 64 (075. 8)

Векторные пространства.

Похожие: