Устойчивость Линейных систем в операторной форме



Скачать 97.96 Kb.
Дата22.12.2012
Размер97.96 Kb.
ТипДокументы

1 (55) 2008 «Системные технологии»

УДК 62-50:519.49

В.М. Григорьев

УСТОЙЧИВость Линейных систем в операторной форме


Актуальность темы. Для работы с линейными нестационарными системами, представленными в операторной форме, широко используется теория матриц над кольцом линейных нестационарных дифференциальных операторов. Для изучения устойчивости таких систем пространство устойчивых сигналов должно быть замкнуто относительно действия дифференциальных операторов. В работе предлагается пространство устойчивых сигналов, абелева группа которого имеет структуру левого модуля над кольцом операторов.

Постановка задачи. В работе предлагается модификация понятия устойчивости системы в терминах вход-выход, учитывающая собственные движения систем и базирующаяся на первом методе Ляпунова.

Обоснование полученных результатов. Характеристический показатель Ляпунова (в дальнейшем просто показатель) функции х из пространства X бесконечно дифференцируемых за исключением конечного числа точек функций определяется как верхний предел

(x) = , (0) = - .

Функция х имеет строгий показатель, если существует предел .

Для числа <0 определим множество

= {xX|(x(i))< , i = 0, 1,2 …} (1)

Заметим, что m(t) = 0. Выделим в подмножество

={m| Ci>0 gif" name="object18" align=absmiddle width=24 height=18>tD(m(i)) |m(i)(t)|Ci, i = 0, 1,2 …} , (2)

где D(.) – область определения функции.

Если, например, =-2, то e-3t/t , но e-3t/t .

Любая функция из , начиная с некоторого момента T будет ограниченной. Имеем

C > 0, |m(t)| C , t > T , tD(m). (3)

Рассмотрим произвольное поле Q функций со строгим нулевым показателем, замкнутое относительно дифференцирования. Примером такого поля является множество дробно рациональных функций. Рассмотрим кольцо линейных дифференциальных операторов с коэффициентами в поле Q. Выделим в поле Q подкольцо QT, состоящее из функций, не имеющих полюсов при 0t<(полюса в бесконечности допустимы). Выделим в R подкольцо RT операторов с коэффициентами из QT.

Теорема 1. Множества и являются абелевыми группами, имеющими структуру левого R и RT модулей, соответственно.

Согласно [1, 2]

( x1+ x2) max(( x1), (x2) ) , x1, x2 X (4)

Из соотношений (1), (4) и линейности дифференцирования следует, что - абелева группа. Рассмотрим теперь m1, m2 . Согласно (2) C1,i, C2,i tD(m1(i)) |m1(i)(t)| C1,i, tD(m2(i)) |m2(i)(t)| C2,i. Тогда t D((m1)(t) + m2)(t)) (i)) D(m1(i)) D(m2(i)) |(m1)(t) + m2)(t)) (i) | C1,i + C2,i, т.е. m1 + m2 лежит в .

Определим операции умножения

m r R rm = (qipi)m = qim (i)), qi Q.

m r R rm = (qipi)m = qim (i)), qi QT.

Так как абелевы группы и замкнуты относительно дифференцирования, то для доказательства теоремы следует показать, что qQ, m qm и qTQT, m qTm.

Элементы из Q и QT имеют строгий нулевой показатель, поэтому согласно [1, 2] для любого q из Q и m из (qm)= (m) < . Дифференцируя qm произвольное число раз, убеждаемся, что ((qm) (i))< . Отсюда следует, что qm лежит в .

Пусть qTQT, m, тогда qTm . qT и m ограничены вместе со всеми своими производными в своих областях определения. Следовательно qTm .

Согласно неравенства (3), элементы множеств и экспоненциально убывают. Следовательно, эти множества можно назвать пространствами устойчивых сигналов.

Введём множества

S0(n) = {SRnxn|xXn (Sx=0n) xn} (5)

S(n) = {SRnxn |xXn un (Sx=u) xn} (6)

S0(n) = {SRnxn|xXn (Sx=0n) xn} (7)

S(n) = {SRnxn |xXn un (Sx=u) xn} (8)

Очевидно, что S(n) S0(n), S(n) S0(n).

Изучим свойства множеств (5) – (8).

Утверждение 1. Пусть S1 S(n), S2 S0(n), а матрицы U1, U2Rnxn обратимы над R. Обозначим = U1S1 U2, = U1 S2 U2. Тогда , S(n), S0(n).

Рассмотрим уравнения x1=u, un и x2=0 n. Произведём замену неизвестных: zi= U2xi, i=1,2 и умножим уравнения слева на U1-1. От последнего действия решения уравнений согласно Леммы из [3] не изменятся. Получим S1z1=u1, S2z2=0 n, где u1= U1-1 u. В силу теоремы 1 u1n. Из определения множеств S0(n) и S(n) следует, что в последних равенствах функции zi, i=1,2 лежат в n. Так как xi = U2-1 zi и U2-1Rnxn, то в силу теоремы 1 xin, i=1,2 . Согласно определениям (5) и (6) имеем S(n), S0(n).

Утверждение 2. Пусть S1 S0(n), S2 S(n), а матрица URnxn обратима над R. Тогда US1 S0(n). Однако в общем случае S1U S0(n), и S2U, US2 S(n).

Рассмотрим уравнение S1x=0n. Так как xn, то в силу Леммы из [3] US1 S0(n). Для уравнения S2Ux=u, un сделаем замену z=Ux. Так как S2 S(n) и S2z=u, то zn. В общем случае U-1 RTnxn и x= U-1z не лежит в n, т.е. S2U S(n). Взяв уравнение S1Ux=0n аналогично доказываем, что S1U S0(n). Перейдём к уравнению US2x=u, un. В Qnxn найдётся такая матрица V, что VS2 RTnxn. Тогда x=u1, где =VS2 и u1= VU-1u. В общем случае U-1 RTnxn и u1 n. Пусть xn. Согласно теореме 1 xn. Противоречие.

Утверждение 3. Пусть ARnxn, rkA=n. Приведём A к верхней правой треугольной матрице B. Если диагональные элементы b1,1, b1,2 … bn,n матрицы B лежат в S(), то AS(n). При bn,nS0() и b1,1, b1,2 … bn-1,n-1 S() имеем AS0(n). Из того, что матрица A лежит в S(n) или в S(n), следует, что диагональные элементы матрицы B лежат в S0() (S0()).

Рассмотрим систему уравнений Ax=u, un. Умножим её слева на обратимую в Rnxn матрицу U, приводящую A к B: Bx=v, v=Bu. Распишем последнее уравнение построчно

b1,1x1 = -(b1,2x2 +…+ b1,nxn) + v1

………….

bn-1,n-1xn-1 = -b n-1,nxn + vn-1 (9)

bn,nxn = vn,

где x=( x1 x2 … xn-1)T, v=( v1 v2 … vn-1)T.

Так как по условию bi,iS(), i=1, 2 … n, то решая (9) снизу вверх, на основании теоремы 1 и определения множества S() имеем, что xn. Следовательно, BS(n). Используя утверждение 1, получаем AS(n). Пусть bn,nS0() и b1,1, b1,2 … bn-1,n-1 S(). Аналогично имеем AS0(n). Положим u=0n. Согласно определению S(n) (S(n)) все решения xi , i=1, 2 … n лежат в (). Система (9) допускает решения в виде ( x1 x2 … xi 0 …0)T, где xi - любое решение уравнения bi,ixi =0, i=1, 2 … n. Из (5) (соответственно (7)) следует, что bi,i S0() (bi,i S0()).

Утверждение 4. Пусть диагональные элементы bi,i, i=1, 2 … n-1 матрицы B лежат в S() и bn,n S0(), а наддиагональные элементы расположены в RT. Тогда AS0(n).

Рассмотрим уравнение (9) при vi=0, i=1, 2 … n. Так как bn,n S0(), то xn. Решая уравнение снизу вверх и учитывая, что bi,iS(), i=1, 2 … n-1, bi,j RT, i=1, 2 … n-1, j=i+1, i+2 … n в силу теоремы 1 имеем xi, i=1, 2 … n-1. Следовательно ВS0(n). Поскольку A=U-1B, то воспользовавшись утверждением 2, получим AS0(n).

Определим следующую разновидность устойчивости в терминах вход-выход [4], которая учитывает собственные движения системы.

Назовём линейную нестационарную многосвязную систему

Ax = Bu, (10)

где A RTnn, B RTnm -инвариантной, если при любом входе , u m её выходы x лежат в n.

Утверждение 5. Если система (10) -инвариантна, то A S0(n). Обратно, если A S(n), то эта система -инвариантна.

Пусть система (10) - инвариантна. Положим u = 0n. Все решения уравнения Ax = 0n лежат в n, что в соответствии с (7) означает A S0(n).

Обратно. Пусть A S(n). Из теоремы 1 получим Bun. Из определения множества S(n) в (8) следует, что x n, т.е. система (10) - инвариантна.

Выводы. Первый метод Ляпунова позволил определить пространство устойчивых сигналов, замкнутое относительно действия линейных нестационарных дифференциальных операторов. Изучены условия устойчивости линейных систем.

ЛИТЕРАТУРА
1. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - М.: Наука, 1967. 472 с.

2. Теория показателей Ляпунова и её приложение к вопросам устойчивости. / Былов Б.Ф., Виноград Р.Э., Гробман Д.М., Немыцкий В.В. - М.: Наука, 1966. 576 с.

3. Григорьев В.М. Совместность и эквивалентность линейных нестационарных систем управления // Системные технологии. Региональный межвузовский сборник научных трудов. - Выпуск 2 (10). - Дніпропетровськ, 2003. - С. 104–112.

4. Дезоер Ч., Видъясагар М. Синтез систем с обратной связью: вход-выходные соотношения. М.: Наука, 1983. 280 с.

УДК 62-50:519.49

Григорьев В.М. Устойчивость линейных систем в операторной форме// Системные технологии. Региональный межвузовский сборник научных трудов. - Выпуск 1 (55). - Дніпропетровськ, 2008. - С..

В работе предлагается модификация понятия устойчивости системы в терминах вход-выход, учитывающая собственные движения систем и базирующаяся на первом методе Ляпунова.

Библ. 4.
УДК 62-50:519.49

Григор’єв В.М. Стійкість лінійних систем в операторній формі // Системні технології. Регіональний міжвузівський збірник наукових праць. - Випуск 1 (55). - Дніпропетровськ, 2008. - с..

У роботі пропонується модифікація поняття стійкості системи в термінах вхід-вихід, що враховує власні рухи систем і базується на першому методі Ляпунова.
Бібл. 4.

UDC 62-50:519.49

Grigor’yev V. M. Stability of systems in operator form // System technologies. N 1(55). – Dnepropoetrovsk. 2008. - P .

In work the updating of concept of stability of system in the terms an input - output taking into account own movement of systems and basing on the first method Lyapunov is offered.

ISDN 1562-9945

Похожие:

Устойчивость Линейных систем в операторной форме icon«Устойчивость планетарных систем» по теореме А. Н. Колмогорова
Данная тема была выбрана для исследования и анализа устойчивости планетарных систем. «Может ли планетная система сохранять устойчивость...
Устойчивость Линейных систем в операторной форме iconРешение систем линейных уравнений. Система линейных алгебраических уравнений (слау) имеет вид: 1) или в матричной форме Ax = B
Слау обычно основаны на приведении матрицы в системе 2 к треугольному виду, т к системы с треугольными матрицами легко решаются путем...
Устойчивость Линейных систем в операторной форме iconРешение систем линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами. Пример решения линейной системы с трехдиагональной матрицей
Метод Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Устойчивость метода Гаусса. Использование метода Гаусса для вычисление...
Устойчивость Линейных систем в операторной форме iconРешение систем линейных алгебраических уравнений. Схема единственного деления
Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений. Условия сходимости
Устойчивость Линейных систем в операторной форме iconРешение систем линейных уравнений в среде Mathcad
Для решения систем уравнений, систем неравенств и смешанных систем в Mathcade используется механизм, называемый solve block
Устойчивость Линейных систем в операторной форме iconРешение систем линейных алгебраических уравнений и неравенств. Выпуклые многогранники и многогранные области
...
Устойчивость Линейных систем в операторной форме iconЭнтропия и устойчивость экономических систем
В настоящей работе предлагается схема исследования устойчивости экономических систем, на основе параметра, аналогичного энтропии...
Устойчивость Линейных систем в операторной форме iconАбсолютная устойчивость нелинейных систем. Критерий Попова
Подобно теореме Лурье критерий Попова позволяет установить устойчивость нелинейной системы сразу для целого класса нелинейности,...
Устойчивость Линейных систем в операторной форме iconЛекции по курсу «теория автоматического управления» устойчивость линейных систем
Охватывает начало координат и система устойчива. Если, то годограф Михайлова не охватывает начало координат, критерий Михайлова не...
Устойчивость Линейных систем в операторной форме iconРешение систем линейных уравнений с помощью матриц Операции с матрицами
Это позволяет использовать Excel для решения систем линейных уравнений, о чем будет рассказано в следующем разделе. Здесь же рассмотрим...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org