I. Алгебры. Алгебраические системы. Операции на множествах

Скачать 288.13 Kb.

страница	1/4
Дата	22.12.2012
Размер	288.13 Kb.
Тип	Глава

1 2 3 4

Глава I. Алгебры. Алгебраические системы.
1. Операции на множествах.

Под операциями на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняются некоторые действия над элементами множества М.

Пример. Операции

на множестве P(U), операции +,-,*,/ на множествах N, Z, Q,R.

Под бинарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над двумя элементами множества М;

под унарной операцией на множестве М понимают правило или закон, по которому выполняется некоторое действие над одним элементом из М.

Пример.

- бинарные;

- унарная.

В общем случае результат выполнения операции на множестве М не обязан принадлежать множеству М.

Пример. На множестве N: 3-5

N.

В общем случае результат выполнения операции не обязан определяться однозначно.

Пример.* на N a*b = a

b.

Операции на множествах, для которых результат определяется однозначно и принадлежит исходному множеству, называются алгебраическими.

Определение 1. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется правило или закон, по которому любым двум элементам из М (Dom

= M,

: M*M

M),

необязательно различных, взятым в указанном порядке, ставится в соответствие единственный элемент из М (

-функциональное отношение).

Определение бинарной алгебраической операции можно сформулировать также следующим образом.

Определение 1’. Бинарной алгебраической операцией на множестве М называется отображение

gif" name="object15" align=absmiddle width=25 height=18>

Вместо

(а, в) пишут а

в, т.е.

={(a;в), с

в = с}.

Бинарные алгебраические операции в общем виде обозначают * 0

и т.д.

Пример. + : а + в = с.

Определение 2. Непустое множество М с определенными на нем алгебраическими операциями и отношениями называется алгебраической системой.

₁ – совокупность некоторых алгебраических операций на множестве М .

₂ – совокупность некоторых отношений на множестве М .

Тогда полученную алгебраическую систему обозначают ₁,

₂ >.

Пример. }>.

Определение 3. Непустое множество с определенными на нем алгебраическими операциями называется алгеброй.

Из определений 2 и 3

алгебра – частный случай алгебраической системы, когда ₂отсутствует.

Пример. .

Определение 4. Алгебра <М, * > называется группоидом, если *- бинарная алгебраическая операция.

Определение 4’. Непустое множество с определенной на нем бинарной алгебраической операцией называется группоидом.
2. Свойства операций на множествах

Определение 5. Бинарная операция * на множестве М называется коммутативной, если

a,b

М: a*b = b*a.

Определение 6. Бинарная операция * на множестве М называется ассоциативной, если

a, b, c

М: (a*b)*c = a*(b*c).

Пример. Операции и

на множестве P(U) являются коммутативными и ассоциативными, + и ‧ на Z – ассоциативные и коммутативные.

Замечание 1. Бинарная операция на множестве М может быть ассоциативной и коммутативной, но не быть алгебраичной.

Пример. М= {1, 2, 3}, + - коммутативный и ассоциативный, но 2+3 = 5

M.

Определение 7.

*- бинарная алгебраическая операция на множестве М , элемент e называется нейтральным элементом относительно операции *, если a*e = e*a =a,

М.

Пример. N, +: a+0 = 0+a = a, но 0

0 – нейтральный элемент относительно сложения, но не принадлежит N.

Теорема 11. (Свойство нейтрального элемента).

Если во множестве М существует нейтральный элемент относительно бинарной алгебраической операции *, то он единственен.

Доказательство.

е₁, е₂– нейтральные элементы в М относительно операции *, покажем, что е₁=е₂.

Так как е₁– нейтральный элемент относительно операции *, то из определения 7

a*e₁ = e₁*a =a,

(a=e₂

М) e₂*e₁= e₁*e₂ =e₂(1).

Так как е₂– нейтральный элемент относительно операции *, то из определения 7

e₂*a = a*e₂ = a

e₂*e₁ = e₁*e₂ =e₁(2).

Из (1) и (2)

е₁=е₂. Теорема доказана.

Определение 8.

*- бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции *, элемент а’ называется симметричным элементом для элемента a

М относительно операции *, если а*а’ = a’*a = e.

Пример. 3

N, относительно «» симметричным является элемент

, так как 3

3 = 1 (

N) .

Теорема 12. (свойство симметричного элемента). *- бинарная алгебраическая операция на множестве М , е – нейтральный элемент в М относительно операции * .Если операция * ассоциативна на М, и в М для элемента a М существует симметричный элемент, то он единственен.

Доказательство.

a’ и а” – симметричные элементы для элемента a

М, a’,а”

М, покажем, что a’= а”.

Так как а’ симметричный элемент для элемента a относительно операции *, то по определению 8 а* а’ = a’*a = e (1).

Так как а” симметричный элемент для элемента a относительно операции *, то по определению 8 а* а” = a”*a = e (2).

а’ = а’*e(по опр.7) = а’*( а*а”) (из (2)) = (a’*a)* а”(ассоциативность) = е* а”(из(1)) = а”(по опр.7). Теорема доказана.

Определение 9.

- бинарная алгебраическая операция на множестве М . Операция

называется дистрибутивной относительно операции *, если

a, b, c

М: a

(b*c) = (a

b)*(a

c) и (b*c)

a = (b

a)*(c

a).

Пример. Умножение дистрибутивно относительно операции + на R; дистрибутивно относительно

и наоборот.

Теорема 13. * -ассоциативная бинарная алгебраическая операция на множестве М . Тогда применение операции * к любым n элементам множества М не зависит от расстановки скобок, и значит, скобки можно опускать.

Определение 10. Группоид Называется полугруппой, если операция * ассоциативна на М.

Определение 11. Полугруппа называется моноидом, если в М существует нейтральный элемент относительно операции *.

Определение 12. Полугруппа называется полугруппой с сокращением, если из а * с =b * c (c*a = c*b)

a=b

a, b, c

М.
3. Группы.

Определение 13. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией * называется группой, если выполняются следующие аксиомы (аксиомы группы):

Операция * должна быть ассоциативна на G ,т. е.

а*(b*c) = (a*b)*c, a, b, c  G.

В G существует нейтральный элемент относительно операции * т. е.

e  G :  a  G: a*e = e*a = a,.

Для каждого элемента из G в G существует симметричный ему элемент, относительно операции *, т. е.

 a G  a'  G : a* a' = a'*a = e.

Примеры.

- не является группой, так как не выполняется аксиома 2) (0  N), но является полугруппой с сокращением;

- не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5 € N, но 1/5  N), но является моноидом и полугруппой с сокращением;

- группа;

- не является группой, так как не выполняется аксиома 3) (5  Z, но 1/5  Z), но является моноидом и полугруппой с сокращением (для Z^#);

, - группы;

, - не являются группами, так как не выполняется аксиома 3) (для нуля нет обратного);

#, ‧>, #, ‧> - группы.

Определение 14. Группа G относительно операции * называется абелевой, если операция * коммутативна на G, т. е. a*b = b*a,  a, b, c G.

Определение 15. Группа относительно сложения называется аддитивной. Нейтральный элемент е в ней называется нулевым и обозначается 0. Симметричный элементу а элемент а’ называется противоположным и обозначается –а.

Определение 16. Группа относительно умножения называется мультипликативной. Нейтральный элемент е в ней называется единичным и обозначается 1. Симметричный элементу а элемент а’ называется обратным и обозначается а^-1.

Пример. Z, Q, R – аддитивные группы; R^#, Q^#- мультипликативные группы.

Определение 17. Группа G называется конечной, если она содержит конечное число элементов. В противном случае группа называется бесконечной.

Определение 18. Порядком конечной группы G называется число элементов группы G, и обозначается |G|.

Определение группы можно сформулировать следующим образом:

Определение 13'. Непустое множество G с определённой на нём бинарной алгебраической операцией * называется группой, если выполняются следующие аксиомы:

1)' а*(b*c) = (a*b)*c, a, b, c  G.

2)'  e  G : a*e = e*a = a,  a  G (e – правый нейтральный элемент).

3)'  a  G  a' G : a* a' = e (a' – правый симметричный элемент).

Покажем, что определение 13 и определение 13' равносильны.

Доказательство.

1) Пусть выполняются аксиомы 1) – 3). 1)' – 3)'. Действительно, если G удовлетворяет условиям 1) – 3), то G удовлетворяет условиям 1)' – 3)'.

2) Пусть выполняются аксиомы 1)'–3)'. Покажем, что выполняются 1)–3).

Аксиома 1) = аксиоме 1)'.

Покажем, что выполняется аксиома 3). Достаточно показать, что a'*a = e. Пусть (a')' – симметричный элемент для a', тогда по аксиоме 3)' : a'*(a')' = e , тогда a'*a = (a'*a)* a'*= (a'*a)*(a'*(a')' ) =a'*(a* a')* (a')' = (a'*e)* (a')' = a'*(a')' = e. Таким образом a'*a = e => выполняется аксиома 3).

Покажем, что выполняется аксиома 2). Достаточно показать, что e*a = a. e*a = (a*a')*a = a*(a'*a) = a*e = a. Таким образом, e*a = a => выполняется аксиома 2).

Следовательно, определения 13 и 13' равносильны. ч. т. д.

Замечание. Для группы можно также сформулировать ещё одно определение 13'', в котором вместо правых нейтрального и симметричного элементов рассматриваются левые.

1 2 3 4

I. Алгебры. Алгебраические системы. Операции на множествах

Похожие: