«Теория вероятностей» Элементы теории множеств



страница1/6
Дата23.12.2012
Размер0.64 Mb.
ТипДокументы
  1   2   3   4   5   6

В четвёртом семестре в курсе «Высшая математика» изучаются два основных раздела «Теория вероятностей» и «Элементы линейного программирования». Учебным планом предусмотрен экзамен и выполнение семестрового задания. Студент не будет допущен до экзамена без зачтённого семестрового задания.

Теория вероятностей изучает объективные закономерности массовых случайных событий. Она является теоретической базой для математической статистики, занимающейся разработкой методов сбора, описания и обработки результатов наблюдений, позволяет углубить свои познания действительного мира.

Раздел «Теория вероятностей»

  1. Элементы теории множеств

Для того, чтобы легче было понять теорию вероятностей, необходимо напомнить ряд простейших фактов из элементарной математики, на которые в школьном курсе недостаточно обращают внимания.

Понятие множества является одним из наиболее общих и основных понятий математики, поэтому это понятие не определяется, а поясняется примерами. Множество студентов в группе, множество решений уравнения и т.д. Любое множество состоит из его элементов. Принята запись (элемент х принадлежит множеству М). Множество, не содержащее ни одного элемента, называют пустым множеством и обозначают . Множество, имеющее конечное число элементов, называется конечным множеством.

Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Равенство множеств обладает свойствами рефлексивности, симметричности и транзитивности.

Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В является элементом множества А, принята запись , или , . Если , то говорят ещё, что В содержится в А или А содержит В. Эта операция обладает свойствами:

  • ;

  • ;

  • ;

  • Пустое множество является подмножеством любого множества.

Пусть , тогда множество всех элементов множества А, не содержащихся в В, называется дополнением множества В до множества А. Приняты различные обозначения : .
Эта операция обладает свойствами:

  • дополнение пустого множества до множества А является само множество А;

  • дополнение множества А до множества А есть пустое множество;

  • .

Объединением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А или В. Обозначение: С=. Объединение множеств обладает свойствами:

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • .

Пересечением множеств А и В называется множество С, состоящее из элементов, принадлежащих множеству А и В. Обозначение: С=. Пересечение множеств обладает свойствами:

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • ;

  • .

Декартовым произведением двух множеств А и В называю множество , элементами которого являются все пары (х;у) такие, что . Декартово произведение обладает свойствами:

  • ;

  • ;

  • полагают, что для любого множества А декартовое произведение его на пустое множество есть пустое множество;

  • ;

  • .

Декартовым произведением называется множество, состоящее из всех упорядоченных элементов таких, что . Упорядоченная п –ка элементов называется кортежем длины п (слово «кортеж» имеет французское происхождение, означающее торжественное шествие, например. свадебный кортеж).

Два кортежа и называются равными, если они имеют одну длину и равны все соответствующие элементы, т.е. .

Если множество Х содержит п элементов, множество У содержит т элементов, то декартово произведение содержит пт элементов; если хотя бы одно из множеств бесконечно, то и декартовое произведение множеств Х и У будет бесконечно.

Если множество У=Х, то вводят понятие декартова квадрата. Множества Х и записывают . Если множество Х содержит п элементов, то декартов квадрат этого множества содержит элементов. Аналогично можно рассматривать т-ую декартовую степень множества Х, множество содержит элементов.

Упражнение. Даны множества , , . Найти: ,.


  1. Элементы комбинаторики

Часто на практике приходится выбирать из некоторого множества объектов его подмножества и располагать их в том или ином порядке. Поскольку в таких задачах речь идёт о тех или иных комбинациях ходов, перестановок, то их называют комбинаторными задачами, а соответствующую область математики называют комбинаторикой. Рассмотрим основные понятия комбинаторики.

А) Размещения с повторениями

Пусть дано конечное множество , содержащее п элементов. Поставим задачу, найти число упорядоченных кортежей длины т , которые можно составить из элементов множества Х, при этом элементы в кортеже могут быть одинаковыми (повторяться). Такой кортеж называется размещением с повторением элементов, число размещений с повторениями обозначается следующим способом: . Найдём формулу для .

В качестве элемента можно выбрать любой элемент множества Х, т.е. существует п вариантов выбора. В качестве элемента можно также выбрать любой элемент множества Х, т.е. снова существует п вариантов выбора. Аналогично для любого элемента . По правилу нахождения количества элементов в декартовой степени множества находим, что =.

Пример 1. Сколько различных трёхзначных чисел можно составить из элементов множества .

Решение. Каждому трёхзначному числу соответствует кортеж длины 3. При записи числа важен порядок цифр, т.к. числа, например, 126 и 261 состоят из одинаковых цифр, но они различны. Следовательно, в данном примере речь идёт об упорядоченных кортежах.

Заметим, что цифра 0 не может стоять на первом месте, т.к. число превратится в двузначное. Таким образом, мы имеем, что количество различных трёхзначных чисел будет равно = 125 – 64 = 61.

Пример 2. Найти количество всех подмножеств данного множества .

Решение. Каждому подмножеству поставим в соответствие кортеж длины п, состоящий из 0 и 1 следующим образом: если элемент входит в подмножество, то на -том месте поставим в кортеж 1, если не входит, то 0. Например, самому множеству соответствует кортеж , пустому множеству - , подмножеству соответствует кортеж длины п . Таким образом, имеем множество , состоящее из двух элементов, и требуется найти количество упорядоченных кортежей длины п, элементами которого являются 0 и 1. По формуле =получаем, что таких кортежей будет .

В частности, если , то его подмножествами являются множества: ; соответствующие кортежи из 0 и 1 имеют вид: , , , , , , , . Количество различных подмножеств равно .

В) Размещения без повторений

Пусть дано конечное множество , содержащее п элементов. Поставим задачу, найти число упорядоченных кортежей длины т , которые можно составить из элементов множества Х, при этом элементы в кортеже не могут быть одинаковыми (не повторяются). Такой кортеж называется размещением без повторения элементов, число размещений без повторения обозначается через . Найдём формулу для .

В качестве элемента можно выбрать любой элемент множества Х, т.е. существует п вариантов выбора. В качестве элемента можно также выбрать любой элемент из (п – 1) оставшихся элементов множества Х, т.е. существует (п – 1) вариантов выбора. В качестве элемента можно также выбрать любой элемент из (п – 2) оставшихся элементов множества Х, т.е. существует (п – 2) вариантов выбора. В качестве элемента можно также выбрать любой элемент из (пт +1) оставшихся элементов множества Х, т.е. существует (пт +1) вариантов выбора. По правилу нахождения количества элементов в декартовой степени множества находим, что .

Пример 3. Сколько трёхзначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из элементов множества .

Решение. Каждому трёхзначному числу соответствует кортеж длины 3. При записи числа важен порядок цифр. Так как по условию задачи цифры нельзя повторять, то в данном примере речь идёт о размещении без повторения.

Заметим, что цифра 0 не может стоять на первом месте, всех трёхзначных чисел, цифры которого различны, будет равно .

С) Перестановки без повторения

Пусть дано конечное множество , содержащее п элементов. Поставим задачу, найти число упорядоченных кортежей длины п , которые можно составить из элементов множества Х, при этом элементы в кортеже не могут быть одинаковыми (не повторяются). Такой кортеж называется перестановкой без повторения элементов, число размещений без повторения обозначается через . Найдём формулу для .

В качестве элемента можно выбрать любой элемент множества Х, т.е. существует п вариантов выбора. В качестве элемента можно также выбрать любой элемент из (п – 1) оставшихся элементов множества Х, т.е. существует (п – 1) вариантов выбора. В качестве элемента можно также выбрать любой элемент из (п – 2) оставшихся элементов множества Х, т.е. существует (п – 2) вариантов выбора. В качестве элемента можно также выбрать один оставшийся элемент множества Х, т.е. существует 1 вариант выбора. По правилу нахождения количества элементов в декартовой степени множества находим, что .

Заметим, что из определения перестановки без повторения следует, что перестановки являются частным случаем размещений без повторения, следовательно, .

Пример 4. Сколько пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно составить из элементов множества .

Решение. Так как кортеж длиной 5 и всего 5 элементов содержит множество Х, то в денном примере речь идёт о перестановках без повторения элементов. Следовательно, всех пятизначных чисел будет 5! – 4! = 120 – 24 = 96.

D)Сочетания без повторений

Часто в жизни нам не важен порядок элементов кортежа, важен его состав, например, когда составляется список участников предметной олимпиады, список товаров, необходимых для приобретения и т. д. В этом случае рассматриваются неупорядоченные кортежи.

Пусть дано конечное множество , содержащее п элементов. Поставим задачу, найти число неупорядоченных кортежей длины т , которые можно составить из элементов множества Х, при этом элементы в кортеже не могут быть одинаковыми (не повторяются). Такой кортеж называется сочетанием без повторения элементов, число размещений без повторения обозначается через .

Найдём формулу для . Так как число упорядоченных кортежей длины т в раз больше, чем неупорядоченных кортежей длины т, а число всех упорядоченных кортежей длины т равно , то =.
  1   2   3   4   5   6

Похожие:

«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconА. В. Гончар Элементы теории вероятностей
Учебное пособие предназначено для студентов, преимущественно экономических специальностей, изучающих теорию вероятностей в рамках...
«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconВопросы по курсу "Теория вероятностей и математическая статистика"
Предмет теории вероятностей, два признака случайного явления, постулат теории вероятностей. Примеры построения пространств элементарных...
«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconКомбинаторика и элементы теории вероятностей
Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр...
«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconТеория вероятностей
Предмет и методы теории вероятностей, ее основные этапы развития. Несколько современных задач. [3, Дополнение. “Очерк развития теории...
«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconРабочая программа дисциплины (модуля) "Теория вероятностей и математическая статистика"
Цель освоения учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» – фундаментальная подготовка в области теории...
«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconЛекции Практические занятия Инд и сам работа Количество баллов 1
Предмет математического анализа. Элементы теории множеств. Теория вещественных чисел
«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconЛабораторная работа №6 Определение массы навески. Знакомство со статистическим анализом Элементы теории вероятностей
Попробуем разобраться с логическими основами методов статистического анализа. И начнем с элементов теории вероятностей, которая является...
«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconСтановление теории множеств
Возникновение теории множеств (Г. Кантор). Множества конечные и бесконечные. Потенциальная и актуальная бесконечности. Парадоксы...
«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconКомитет образования и науки администрации санкт-петербурга
«Элементы теории множеств» и «Элементы теории вероятности». Этот курс дополняет базовую программу, не нарушая её целостности. Задания,...
«Теория вероятностей» Элементы теории множеств iconЗакон для нечетких множеств Некоторые свойства операций над множествами не выполнены для нечетких множеств. Так, за исключением случая, когда
Цель настоящего приложения глубже изучить свойства нечетких множеств и показать, что теория нечетких множеств в определенном смысле...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org