А можно выбрать m способами, а элемент b



Скачать 86.15 Kb.
Дата23.12.2012
Размер86.15 Kb.
ТипДокументы
Правило произведения. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b (независимо от выбора элемента а)n способами, то выбор «а и b» можно сделать m·n способами.

  1. Назовем натуральное число «симпатичным», если в его записи встречаются только
    А) нечетные цифры
    Б) четные цифры.
    Сколько существует 4-значных «симпатичных» чисел?

  2. В коридоре висят 10 лампочек. Сколько имеется различных способов освещения коридора? (у каждой лампочки свой выключатель)

  3. В русском алфавите 33 различные буквы. Сколько слов, содержащих по 5 букв, можно составить, если не допускать слов, в которых 2 одинаковые буквы идут подряд?

  4. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в именах ГРИША? МАША? КЛАРИССА?

Число перестановок из n элементов равно (читается «эн-факториал»)

  1. Вычислите:
    а) б) в)

Правило суммы. Если элемент а можно выбрать m способами, а элемент b ( независимо от выбора элемента а ) n способами, то выбор «а или b» можно сделать m + n способами.

  1. Сколько имеется трёхзначных чисел, в записи которых содержится
    а) ровно одна цифра 5?
    б) хотя бы одна цифра 5?

  2. За круглым столом нужно рассадить 10 человек. Сколькими способами это можно сделать, чтобы Катя и Митя не сидели рядом?

  3. В алфавите племени Ни-Бе-Ни-Ме-Ни-Кукареку шесть букв. Словом является любая последовательность из шести букв, в которой есть хотя бы две одинаковые буквы. Сколько слов в языке племени Ни-Бе-Ни-Ме-Ни-Кукареку?

  4. Сколькими способами можно поселить 7 ЛМШат в три комнаты: одноместную, двухместную и четырехместную?

  5. Сколькими способами можно выбрать из n школьников k для участия в олимпиаде? А сколькими способами можно выбрать из этих же n школьников gif" name="object5" align=absmiddle width=41 height=20> школьников, в этой олимпиаде не участвующих?
    а) n=10, k=2
    б) n=7, k=3;
    в) n=100, k=13;
    г) в общем виде – через n и k.

Числом сочетаний из n элементов по k называется количество способов выбрать k элементов из данных n элементов (наборы, отличающиеся лишь порядком, считаются одинаковыми). Оно обозначается .

  1. У Супермена есть 8 необычных способностей, а у Человека-Паука только 7. Сколькими способами они могут обменять три способности одного на три способности другого?


Для самостоятельного решения:

  1. Сколькими способами можно поставить на шахматной доске белого и чёрного короля, чтобы они не били друг друга?

  2. Автобусные билеты имеют шестизначные номера, от 000000 до 999999.
    а) Сколько номеров, у которых есть хоть одна нечётная цифра?
    б) Сколько номеров содержат цифру 7?
    в) Сколько номеров, не содержащих цифр 7 и 0?
    г) Сколько номеров, содержащих цифру 7 и не содержащих цифры 0?

  3. Для участия в передаче «Кто хочет стать миллионером» поступило 3 заявки от девушек и 7 от юношей. Для проведения игры необходимо выбрать 4 человека, среди которых обязательно должна быть хотя бы одна девушка. Сколькими способами это можно сделать?

  4. На окружности отмечены 5 красных, 7 желтых и 9 зеленых точек. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках, у которых все вершины а) зеленые; б) одноцветные; в) все разноцветные; г) не все одноцветные?

  5. На спортплощадке встретились 10 мальчиков. Сколькими способами могут они разделиться на две волейбольные команды: а) так, чтобы в одной было 6 человек, а в другой – 4; б) по 5 человек в каждой?

  6. Из колоды, содержащей 52 карты, вынули 10 карт. В скольких случаях среди этих карт есть: а) хотя бы один туз; б) ровно один туз; в) не менее двух тузов; г) ровно два туза?

  7. Сколькими способами можно выбрать из n школьников k для участия в олимпиаде? А сколькими способами можно выбрать из этих же n школьников школьников, в этой олимпиаде не участвующих?

  8. а) Имеется n «нормальных» различных конфет и одна отравленная. Буратино хочет выбрать из них m конфет для Мальвины так, чтобы отравленная конфета не попала в набор. Сколькими способами он может это сделать?

б) А если он выбирает m конфет для Карабаса-Барабаса и хочет, чтобы отравленная конфета оказалась в наборе. Сколькими способами он может выбрать набор на этот раз?

в) Сколько у него вариантов выбрать m конфет, не задумываясь о том, попадёт ли туда отравленная?

  1. Доказать двумя способами (из комбинаторных соображений и алгебраически) следующие свойства сочетаний:

  2. а) ; б) .

  3. а) Из n семиклассников выбирают команду для участия в КВН из k человек. Когда команда выбрана, в ней выбирают капитана. Сколькими способами это можно сделать?

    б) В той же самой ситуации сначала избирается капитан, который после этого набирает себе оставшегося k-1 участника. Сколькими способами можно осуществить этот выбор?

  1. Докажите, что а) комбинаторным; б) алгебраическим путём.

  2. План города имеет схему, изображённую на рисунке. На всех улицах введено одностороннее движение: можно ехать только «вправо» или «вверх». Водитель автомобиля перед поездкой из пункта A в пункт B получает «маршрутный лист», в котором указано, в каком из двух направлений он должен ехать после каждого перекрёстка: вверх (В) или вправо (П). Составьте «маршрутный лист» для траектории, показанной на рисунке. Сколько есть различных маршрутов, ведущих из точки A в точку B? А если план города – прямоугольник ?

Для самостоятельного решения

  1. Сколькими способами можно выбрать из полной колоды, содержащей 52 карты, 6 карт так, чтобы среди них были все четыре масти?

  2. Математик Дирихле перевозит на дачу 17 кроликов. Сколькими способами он может рассадить своих кроликов по клеткам, если у него есть три одинаковые трёхместные и две одинаковые четырёхместные клетки?

  3. Провели все диагонали выпуклого n-угольника, при этом никакие три не пересеклись в одной точке. Сколько точек пересечения получилось?

  4. Докажите тождества:

    а) ; б) .



    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1



    1

    2

    3

    4

    5

    6





    1

    3

    6

    10

    15







    1

    4

    10

    20









    1

    5

    15











    1

    6













К
оличество маршрутов из левой угловой клетки в клетку из -й строки и -го столбца равно . Если всю таблицу повернуть на вправо , то получится треугольник Паскаля.


Для удобства формулировки трех следующих задач введем следующие оп­ределения. Будем называть лучи, параллельные сторонам треугольника Паска­ля, диагоналями. Причем лучи, параллельные правой стороне, будем называть правыми диагоналями (на рисунке справа выделена одна из них), а левой - левыми диа­гоналями (см. рисунок слева).

  1. Докажите, что каждое число а в треугольнике Паскаля равно сум­ме чисел предыдущей правой диагонали, начиная с самого левого вплоть до стоящего справа над числом а. Запишите это утверждение через .

  2. Докажите, что каждое число а в треугольнике Паскаля равно сум­ме чисел в предыдущей левой диагонали, начиная с самого правого вплоть до стоящего слева над числом а. Запишите это утверждение через .

  3. Докажите, что каждое число а в треугольнике Паскаля, уменьшен­ное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограничен­ный теми правой и левой диагоналями, на пересечении которых стоит число а (сами эти диагонали в рассматриваемый параллелограмм не включаются)

* * *

  1. Сколько существует различных последовательностей из пяти нулей и двадцати единиц? А если при этом последовательность не должна начинаться с нуля, оканчиваться нулём, и никакие два нуля не должны стоять рядом?

  2. Шесть ящиков занумерованы числами от 1 до 6. Сколькими способами можно разложить по этим ящикам 20 одинаковых шаров, если
    а) некоторые ящики могут оказаться пустыми;
    б) в каждом ящике должен лежать хотя бы один шар?

  3. Найдите количество решений уравнения а) в целых неотрицательных числах; б) в натуральных числах.

Для самостоятельного решения

  1. Полукороль стоит в нижнем левом углу доски nn. Он может делать ходы на одну клетку в трёх направлениях: вправо, вверх и по диагонали вправо-вверх. Обозначим за An количество маршрутов полукороля в правый верхний угол, а за Bn – количество маршрутов в правый верхний угол, не заходящих в верхнюю строку и в левый столбец (кроме начала и конца пути). Докажите, что Bn = 2An-1.

  2. Докажите, что . Указание. Подсчитайте число путей, ведущих из левого нижнего угла квадрата n×n в правый верхний угол. Каждый из них проходит ровно через одну точку большой диагонали, соединяющей левый верхний и правый нижний углы квадрата.

  3. Сколькими способами можно выложить в ряд 5 красных, 5 синих и 5 белых шаров так, чтобы никакие два синих шара не лежали рядом?

  4. Сколько существует а) восьмизначных; б) четырёхзначных натуральных чисел, в которых цифры идут в порядке возрастания?

  5. В магазине продаются футбольные мячи 10 видов. Сколькими способами администратор сборной России может купить а) 5 различных мячей; б) 8 мячей; в) 15 мячей, чтобы среди них были мячи каждого вида?

  6. Сколькими способами 4 чёрных, 4 красных и 4 белых шара можно разложить в 6 разных ящиков?

  7. Укротитель хищных зверей хочет вывести на арену цирка 5 львов и 4 тигров; при этом нельзя, чтобы два тигра шли друг за другом. Сколькими способами он может расположить зверей?

  8. Имеется куб размером 10×10×10, состоящий из маленьких единичных кубиков. В центре О одного из угловых кубиков сидит кузнечик. Он может прыгать в центр кубика, имеющего общую грань с тем, в котором кузнечик находится в данный момент, причем так, чтобы расстояние до точки О увеличивалось. Сколькими способами кузнечик может допрыгать до кубика, противоположного исходному?

* * *

  1. Раскройте скобки в выражениях (х+1)2, (х+1)3, (х+1)4, (х+1)5.

  2. В выражении (х+1)10 раскрыли скобки. Сколько получится слагаемых:
    а) до приведения подобных? б) после приведения подобных слагаемых?

в) Определите коэффициент перед х в полученном многочлене.

г) Определите коэффициенты перед х2, х3, х6, х9, х10 в полученном многочлене.

  1. Запишите общую формулу для (х+1)n и (a+b)n.



Для самостоятельного решения

  1. За круглым столом короля Артура сидят 35 рыцарей, причём каждый враждует только со своими соседями по столу. Чтобы победить Дракона, надо отправить экспедицию из 10 рыцарей, среди которых нет врагов. Сколькими способами Артур может составить экспедицию?

  2. Сколькими способами можно переставить буквы в слове КРОКОЗЯБРА, чтобы никакие две гласные не стояли рядом?

  3. Поезду, в котором находится 100 пассажиров, предстоит сделать 5 остановок.

а) Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках?

б) Решите ту же задачу, если учитывается лишь количество пассажиров, вышедших на каждой остановке.

Похожие:

А можно выбрать m способами, а элемент b iconКомбинаторика наука о конечных множествах. Принципы комбинаторики: Правило умножения
Объект можно выбрать различными способами и для каждого выбора объекта, объект можно выбрать различными способами, тогда пара выбирается...
А можно выбрать m способами, а элемент b iconПрактикум по теме «Комбинаторика». Ī вариант ĪĪ вариант Вычислите а а б б в в Решите задачу
...
А можно выбрать m способами, а элемент b icon§ Комбинаторика и бином Ньютона Правило произведения
Пример Сколькими способами можно выбрать четырехзначное число, все цифры которого различны?
А можно выбрать m способами, а элемент b icon0 Есть 10 шаров и 2 коробки. Сколькими способами можно положить в каждую коробку по одному шару? 2
Определение. Число сочетаний из n элементов по k – количество способов выбрать k-элементное подмножество n-элементного множества
А можно выбрать m способами, а элемент b iconКомбинаторные задачи Рассмотрим задачи математической науки, которая называется комбинаторикой. Комбинаторика
Комбинаторика это раздел математики, отвечающий на вопросы сколькими способами можно выбрать элементы определенного множества, если...
А можно выбрать m способами, а элемент b iconОсновы православной культуры
Не всё в своей жизни человек может выбрать сам. Я не могу выбрать своих родителей. Я не могу выбрать язык, на котором мама пела мне...
А можно выбрать m способами, а элемент b icon«Числовой луч наш помощник. Решение задач» Поликарпова Светлана Дмитриевна
Набор фигур можно разделить на группы разными способами, по каким признакам это можно сделать?
А можно выбрать m способами, а элемент b icon«Текстовые задачи на движение»
Человеку, изучающему алгебру, часто полезнее решать одну и ту же задачу тремя различными способами, чем решать три-четыре различные...
А можно выбрать m способами, а элемент b iconПравила обращения к руководству моу «сош №49» нго обратиться к руководителю моу «сош №49», заместителям руководителя можно следующими способами
Обратиться к руководителю моу «сош №49», заместителям руководителя можно следующими способами
А можно выбрать m способами, а элемент b iconВодород химический элемент №1
Цели урока: изучить состав, строение, свойства водорода как химического элемента простого вещества. Ознакомиться со способами получения...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org