1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования



Скачать 235.73 Kb.
страница1/4
Дата24.12.2012
Размер235.73 Kb.
ТипИсследование
  1   2   3   4
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования.

В течение нескольких последних столетий математика и физика существуют как самостоятельные науки. За это время и та и другая достигли впечатляющих успехов, но характер их достижений существенно различен:

  • математики всё глубже погружаются в мир абстракций, не особенно размышляя о том, где и как их теории будут применяться;

  • физики всё дальше отходят от непосредственно воспринимаемых реальностей макромира, исследуя глубины микромира, космические дали, открытые и нелинейные физические системы, приближаясь тем самым, к новому пониманию реальности.

Одним из важнейших последствий такой самостоятельности является специализация, зашедшая так далеко, что непосредственное перенесение методов современной математики в физику (аналогично … в химию, биологию, экономику, экологию и др.) стало невозможным. Именно поэтому возникла математическая физика, изучающая особенности математических методов при их применении к решению физических проблем.

Исследование физических процессов и явлений методами математического моделирования достаточно часто приводит к таким математическим моделям, которые представляют собой дифференциальные уравнения в частных производных.

Основной задачей курса «УМФ» является изучение общих свойств решений данных типов уравнений и разработка общих алгоритмов решения данных типов задач.

Явления реального мира столь сложны, что пытаться полностью изучить хотя бы одно из них (физическое, биологическое, экономическое и др.) – дело безнадёжное.

Поэтому наука действует по следующей схеме (алгоритму) теоретического исследования (на примере физики):


На (I) этапе исследователь «извлекает» явление из мира и, упрощая (специальное пояснение), создаёт физическую модель явления как сбалансированную систему моделей объекта, условий, процесса и наблюдателя. На (II) этапе, проанализировав математические свойства физических характеристик компонентов физической модели, выявив связи между ними, исследователь строит математическую модель явления с учётом начальных и граничных условий. Затем начинается решение «уравнения явления» и интерпретация полученных результатов (об этом - позже).

Использование математических методов в физике насчитывает несколько столетий и позволяет утверждать, что различные по своей природе группы явлений, если они имеют общие, наиболее характерные особенности, описываются одними и теми же математическими моделями. Так, явления колебаний различной природы (упругие колебания сплошной среды, электромагнитные колебания) описываются одинаковыми математическими уравнениями (см. 3.1). Другую группу составляют процессы тепло- и массопереноса (см. 3.2).
Третью – совершенно различные по природе стационарные процессы: электростатика, статические задачи теории упругости, стационарное распределение тепла, установившиеся колебания материальных сред и др. (см. 3.3).

2 Постановка краевой задачи поперечных колебаний тонкой струны.

Выведем уравнение, описывающее малые поперечные колебания струны в одной плоскости. Будем предполагать, что при струна лежит вдоль оси , она закреплена в точках , . Процесс её колебаний описывается функцией , представляющей поперечное смещение точки струны с координатой в момент времени .

Струна – гибкая упругая нить, сопротивляющаяся растяжению, но не сопротивляющаяся изгибу. В этом случае напряжения в струне направлены по касательной к её мгновенному профилю, а колебания подчиняются закону Гука (упругие).

С учётом малости колебаний будем считать, что . Вычислим удлинение участка струны в момент времени . Длина участка равна:

, (1.1)

то есть в нашем приближении удлинения при колебаниях не происходит, и натяжение в каждой точке со временем не меняется. Проекции натяжения на оси:

, (1.2)

. (1.3)

Колебания поперечные – следовательно, нужно рассматривать силы, направленные вдоль оси , а проекции сил, действующих на участок , вдоль оси равны нулю.



. (1.4)

Для вывода уравнения, описывающего колебания струны, воспользуемся II законом Ньютона, в соответствии с которым изменение импульса участка за время равно импульсу сил, приложенных к этому участку:

.

Пусть - линейная плотность струны, - плотность импульса внешней поперечной силы, приложенной к струне. Тогда для участка струны II закон Ньютона записывается как



. (1.5)

Предположим теперь, что дважды непрерывно дифференцируема по и , а непрерывна. Тогда, применяя к (1.5) теорему о среднем и формулу конечных приращений, получим

(1.6)

где , , ;

, , .

Сокращая на и переходя к пределу и , получим, учитывая непрерывность вторых производных функции :

(1.7)

Пусть плотность струны одинакова во всех точках (струна однородна) , тогда (1.7) обычно пишут в виде

, (1.8)

где ; . (1.9)

Итак, мы имеем уравнение в частных производных второго порядка по и по .

Для решения уравнения необходимо задание начальных и граничных условий.

Начальные условия:

Задают профиль струны (координаты) и скорость всех её точек в начальный момент времени :

. (1.10)

Граничные условия:

Определяются способом закрепления концов струны. Общий вид граничных условий таков:

,

, . (1.11)

При имеем - граничное условие I родаДирихле;

- граничное условие II рода Неймана.

- граничное условие III рода.

Аналогично определяются возможные варианты граничных условий в точке . Формально, таким образом, получается девять возможных вариантов граничных условий для уравнения колебаний.
5. Постановка краевой задачи переноса тепла в неподвижной среде.

Следующая группа физических процессов переноса в среде тепла (теплопроводность) также описывается особым уравнением, уравнением теплопроводности . Выведем уравнение теплопроводности, рассмотрев процесс изменения теплового состояния тела.

Пусть имеется область , ограниченная поверхностью . Выделим в ней бесконечно малый объём с границей .

Обозначим:

- температуру тела в точке в момент времени ;

- плотность тела;

- удельную теплоёмкость тела;

- коэффициент теплопроводности;

- объёмную плотность источников (стоков) тепла.

При выводе уравнения теплопроводности воспользуемся установленными в эксперименте законами:

Закон Фурье. Если температура в различных частях тела неодинакова, то в нём возникают тепловые потоки от более нагретых участков к менее нагретым.

Количество тепла, , протекающее через площадку за промежуток времени , равно:

, (1.12)

где - производная по нормали к площадке .

Закон Ньютона. Количество тепла , протекающее в единицу времени через площадку поверхности тела в окружающую среду, равно

, (1.13)

где - температура окружающей среды, - температура поверхности тела, - коэффициент теплообмена.

Для вывода уравнения теплопроводности воспользуемся методом теплового баланса. Запишем уравнение теплового баланса для объёма .

Пусть за время температура объёма изменилась на . (Объём столь мал, что температура в его пределах во всех точках одинакова). Количество тепла , которое нужно сообщить объёму , чтобы за время изменить его температуру на , равно

. (1.14)

Между объёмом и остальной частью тела происходит теплообмен по закону Фурье (1.12). Тогда за время через протечёт количество тепла

, (1.15)

где - производная по нормали к , внешней по отношению к .

Пусть функции «» и «» достаточно гладкие, тогда с помощью теоремы Остроградского-Гаусса можно преобразовать поверхностный интеграл по к объемному по :

(1.16)

Кроме уже указанных факторов в объёме может выделяться или поглощаться некоторое количество тепла вследствие действия источников (стоков) тепла: прохождения электрического тока, протекания химических реакций и др. Вводя понятие плотности источников (стоков) тепла , можно записать:

. (1.17)

Уравнение теплового баланса (закон сохранения энергии для тепловых процессов) имеет вид:

. (1.18)

Подставляя в (1.18) выражения (1.14), (1.16) и (1.17), получаем интегральное уравнение теплового баланса, справедливое для достаточно малого объёма :



(1.19)

Чтобы перейти от интегрального к дифференциальному уравнению, потребуется:

  • должна быть дважды непрерывно дифференцируема по координатам и один раз непрерывно дифференцируема по времени;

  • - непрерывно дифференцируема;

  • , , - непрерывны.

Тогда, применяя к (1.19) теорему о среднем, переходя к пределу и , стремящемуся в точку , получим

(1.20)

Для решения этого уравнения необходимы одно начальное и два граничных условия (первого, второго или третьего рода – см. (1.11)).

Таким образом, начально-краевая задача для уравнения теплопроводности ставится так:

(1.21)

Здесь , , , , , , , - заданные функции.

  1   2   3   4

Похожие:

1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования iconРабочая программа по курсу: " Методы математической физики"
Предметом дисциплины являются методы моделирования физических процессов, основные уравнения математической физики (уравнения Лапласа,...
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования iconМетоды математической физики
Тема Вывод основных уравнений курса математической физики. Постановка начальных и граничных условий для уравнений математической...
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования iconМетоды математической физики
Сведение задачи Коши и краевой задачи к интегральным уравнениям. Типы интегральных уравнений
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования iconП. Т. Зубков Вычислительные методы математической физики
П. Т. Зубков. Вычислительные методы математической физики. Учебно-методический комплекс. Рабочая учебная программа для студентов...
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования icon1. Културология ее предмет цели задачи. Културология
Поэтому, когда хотят подчеркнуть социально-научный характер культурологического исследования, опирающегося на соответствующие методы,...
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования iconПрограмма цикла обучения для стажеров-бакалавров Международного института информационных технологий (г. Пуна, Индия) по вычислительной аэрогидродинамике «Численные методы решения уравнений математической физики»
«Численные методы решения уравнений математической физики»
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования iconСамостоятельная работа Формы контроля
История и методология геологических наук как самостоятельная дисциплина, ее объект и предмет, цели, задачи и методы исследования....
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования iconУравнения математической физики
Гармонические функции. Основные краевые задачи для гармонических функций. Классические и гладкие решения. Формулы Грина. Необходимое...
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования iconПрограмма дисциплины дпп. Ф. 03. "Методы математической физики" Специальность 032200 (050203. 65) Физика
Большое значение имеет та часть курса, в которой рассматриваются методы и подходы к решению задач, играющие большую роль в изучении...
1. Основные цели и задачи математической физики. Предмет и методы ее исследования iconЕ. А. Рыбакина начально-краевые задачи математической физики
Начально краевые задачи математической физики: учебное пособие / Е. А. Рыбакина; Балт гос техн ун-т. Спб., 2005. 49 с
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org