Лекция Дифференцирование функций Определение производной



Скачать 72.79 Kb.
Дата24.12.2012
Размер72.79 Kb.
ТипЛекция

МБИ, Высшая математика, Производные

(адрес сайта- www.dariapiatkina.narod.ru/банковский интситут/высшая математика)

Высшая математика

2 семестр

Лекция 4.

Дифференцирование функций
Определение производной

Производной функции называется предел отношения приращения функции к приращению независимой переменной при стремлении последнего к нулю:


Также производная обозначается как

Формально можно вычислять производные по определению, но мы для этой цели будем использовать правила вычисления производных и таблиц производных основных элементарных функций.

Геометрический смысл производной
Уравнение касательной к графику функции в точке имеет вид:

Значение производной в точке совпадает с тангенсом угла наклона касательной к графику функции в этой точке.

Прямая имеющая две общие точки с кривой называется секущей. При сближении точек секущая стремится к своему предельному положению: это предельное положение и есть касательная в точке.

Механический смысл производной:

- зависимость пути от времени

- первая производная пути по времени – это скорость

-вторая производная пути по времени или первая производная скорости по времени – это ускорение

Экономический смысл производной см. в приложении к лекции
Основные правила вычисления производных.

Таблица производных основных функций







jpg" name="graphics2" align=bottom width=434 height=247 border=0>

Задачи на основные правила вычисления производных


  • Пример 1.


Найти производную функции



Использовали правило вычисления производной суммы:

(Распространяется на любое количество слагаемых) Распространяется на любое количество слагаемых
Использовали правило -постоянный множитель выносится за знак производной

Использовали табличные производные для функций:

  • Пример 2.


Найти производную функции




Использовали правило вычисления производной произведения:



Использовали табличные производные для функций:


  • Пример 3.

Найти производную функции



Использовали правило вычисления производной частного:



Использовали также правило производной суммы, свойство -производная постоянной равна 0.

Использовали табличные производные для функций:
Правило вычисления производной сложной функции

Пусть переменная y есть функция переменной u (), а переменная u в свою очередь есть функция от независимой переменной x, т.е. задана сложная функция


Теорема
Если и -дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу и умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной x, т.е.


Аналогично , если и и , то есть



  • Пример 4


(внешняя функция , внутренняя функция



Использовали табличные производные , и правило вычисления производной сложной функции
Можно рассуждать по-другому и ввести следующие обозначения:

- обозначим внутреннюю функцию

Тогда




  • Пример 5



тройная вложенность (в ln вложен cos, a в cos вложен )



-------------------------------------------------------------------------------------------------------

Можно рассуждать по-другому и ввести следующие обозначения:

- обозначим внутреннюю функцию

Тогда



Для вычисления обозначим - внутреннюю функцию

Тогда



Подставляем:



ПРИМЕНЕНИЕ ПРОИЗВОДНОЙ К ИССЛЕДОВАНИЮ ФУНКЦИЙ

Применение производной к поиску экстремумов функции
Схема исследования функции на экстремум:


  1. Найти производную .

  2. Найти критические точки функции, в которых производная или не существует (это точки подозрительные на экстремум) – эти точки должны обязательно входить в область определения функции

  3. Исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки и сделать вывод о наличии экстремумов функции

  4. Найти экстремумы (экстремальные значения) функции.


Решение

Исследовать на экстремум функцию

1. Ищем производную


2.Точек, в которых производная не существует у данной функции нет - определена на всей оси. Приравниваем производную нулю:

- критические точки

3. Нанесем критические точки на числовую ось







Для определения знака производной слева и справа от критической точки

выберем значения и и найдём и

=>
при на этом промежутке функция убывает
при на этом промежутке функция возрастает

Для определения знака производной справа от критической точки выберем значение
=>
при на этом промежутке функция возрастает

Следовательно, точка экстремума, а именно минимума

Точка не является точкой экстремума, т.к. при переходе через неё производная не меняет знак
!!! -(2-ой пример) на применение производной к исследованию функции можно посмотреть в типовой задаче 2 второй части домашней контрольной работы
ПРИЛОЖЕНИЕ

Экономический смысл производной. Использование производной в экономике.


  1. Издержки производства y будем рассматривать как функцию количества выпускаемой продукции . Пусть -прирост продукции, тогда -приращение издержек производства и - среднее приращение издержек производства на единицу продукции. Производная выражает предельные издержки и характеризует приближённо дополнительные затраты на производство единицы дополнительной продукции.

Пример: Зависимость между издержками производства и объёмом выпускаемой продукции x выражается функцией (ден. единиц). Определить средние и предельные издержки при объёме продукции 10 ед.

Решение: Функция средних издержек (на единицу продукции) выражается отношением , при средние издержки (на единицу продукции) равны (ден. ед.). Функция предельных издержек выражается производной ; при предельные издержки составят . Итак, если средние издержки на производство единицы продукции составляют 45 ден. ед., то предельные издержки, т.е. дополнительные затраты на производство дополнительной единицы продукции при данном уровне производства (объёме выпускаемой продукции 10 ед.), составляют 35 ден. ед.

  1. Эластичность функции равна произведению независимой переменной x на темп изменения функции



Эластичность функции показывает приближённо, на сколько процентов изменится функция при изменении независимой переменной x на 1%
Пример: Зависимость между себестоимостью единицы продукции y (тыс. руб) и выпуском продукции x (млрд. руб.) выражается функцией . Найти эластичность себестоимости при выпуске продукции, равном 60 млрд. руб.

По формуле для эластичности имеем:



При x=60 = - 0.6. Т.е. при выпуске продукции, равном 60 млрд. руб., увеличение его на 1 % приведёт к снижению себестоимости на 0.6%.


  1. Эластичность функции применяется при анализе спроса и потребления. Например, эластичность спроса (потребления) y относительно цены x (или дохода x) показывает приближённо, на сколько процентов изменится спрос (объём потребления) при изменении цены (или дохода) на 1 %.

Если эластичность спроса (по абсолютной величине) , то спрос считают эластичным, если нейтральным, если неэластичным относительно цены.
Пример:

Опытным путём установлены функции спроса и предложения ,

где q и s – количество товара, соответственно покупаемого и предлагаемого на продажу в единицу времени, - цена товара. Найти:

а). равновесную цену, т.е. цену, при которой спрос и предложение уравновешиваются

б). эластичность спроса и предложения для этой цены

в). изменение дохода при увеличении цены на 5 % от равновесной
Решение:

А). Равновесная цена определяется из условия

, откуда , т.е. равновесная цена равна 2 ден. ед.
Б). найдём эластичность по спросу и предложению


Для равновесной цены имеем ; .

Т.к. полученные значения эластичности по абсолютной величине меньше 1, то и спрос и предложение данного товара при равновесной (рыночной) цене неэластичны относительно цены. Это означает, что изменение цены не приведёт к резкому изменению спроса и предложения. Так, при увеличении цены p на 1% спрос уменьшится на 0,3 %, а предложение увеличится на 0,8%.

В). При увеличении цены p на 5 % от равновесной спрос уменьшится на , а следовательно, доход возрастёт на 3,5%.






Похожие:

Лекция Дифференцирование функций Определение производной iconДифференцирование функций комплесного переменного
Определение (Комплексной производной). Пусть функция определена в некоторой окрестности точки комплексной производной функции f(z)...
Лекция Дифференцирование функций Определение производной icon§ Определение производной. Дифференцирование функций
Цель предлагаемой работы ЎЄ помочь тем, кто изучает дифференциальное исчисление, приобрести навык решения стандартных задач
Лекция Дифференцирование функций Определение производной icon«Дифференциальное исчисление функций одной переменной» иметодические рекомендации к ней для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Дифференцирование функций, заданных параметрически, неявно. Логарифмическое дифференцирование
Лекция Дифференцирование функций Определение производной iconОпределение производной
Определение производной: производной функции называется предел отношения к
Лекция Дифференцирование функций Определение производной iconДифференцирование и интегрирование
В каждом шаблоне справа вводится дифференцируемая функция, в шаблоне внизу ¾ переменная, по которой производится дифференцирование....
Лекция Дифференцирование функций Определение производной iconУрока: "Определение производной"
Ребята! Мы с вами начали изучение большой и важной темы “Производная”. Запишите тему урока: “Определение производной”
Лекция Дифференцирование функций Определение производной iconЛекция Дифференцирование функций
Теорема. Пусть y = f(x); u = g(x), причем область значений функции u входит в область определения функции f
Лекция Дифференцирование функций Определение производной icon«дифференцирование»
Задание Логарифмическое дифференцирование. Дифференцирование неявной функции. Дифференцирование функции, заданной параметрически
Лекция Дифференцирование функций Определение производной iconВопросы к экзамену по дисциплине «Математика»
Приложение производной к исследованию функций на экстремумы (с помощью 1 и 2 производной)
Лекция Дифференцирование функций Определение производной icon§ Дифференцирование функций
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org