Use of information technology for identification of filtration parameters мухамбетжанов С. Т
|
Скачать 56.32 Kb.
|
| ПРИМЕНЕНИЕ ИНФОРМАЦИОННОЙ ТЕХНОЛОГИИ ДЛЯ ИДЕНТИФИКАЦИИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ПАРАМЕТРОВ USE OF INFORMATION TECHNOLOGY FOR IDENTIFICATION OF FILTRATION PARAMETERS Мухамбетжанов С.Т., д-р физ.-мат. наук, проф. Казахский национальный университет им. Аль-Фараби Джанабекова С.К., ст. препод. Казахский национальный педагогический университет им. Абая Казахстан, г. Алматы, mukhambetzhanov_@mail.ru, shana_21@mail.ru Аннотация. В работе исследована задача о восстановлении контура питания и разгрузки источников и идентификации фильтрационных пластов. Рассматриваемые математические модели описывают фильтрационные процессы и проведены численные эксперименты с помощью реальных данных. Алгоритмы решения обратных задач базируются на алгоритмах решения прямых краевых задач. Поэтому в работе рассматриваются постановки и алгоритмы решения как прямых, так и обратных задач теории фильтрации. Ключевые слова: фильтрационные параметры, идентификация, контур питания и разгрузки, обратные задачи. Abstract: We study the problem of reconstructing the circuit power and discharge sources and identify the seepage beds. A mathematical model describing filtration processes and numerical experiments using real data. Algorithms for solving inverse problems is based on algorithms for solving the direct boundary value problems. Therefore, we consider the formulation and algorithms for solving both direct and inverse problems of filtration theory. Key words: filtering options, identification, supply and discharge circuit, inverse problems. 1. Постанова задачи. Пусть: G – произвольная область Rn с границей Г0 и Г1 : точнее: Гi – есть непрерывно дифференцируемое многообразие размерности n-1, G находится по одну сторону от Гi , i = 0,1. Пусть A – эллиптический дифференциальный оператор в G второго порядка:  (1)где ai,j  , , (2)Предположим, что граница Г0 = Г2 + Г3 + Г4. Пусть функция U «A-гармонична» в G, т.е. является решением уравнения AU = 0. Фильтрация воды в неоднородном по коллекторским свойствам водоносном пласте с выделенной газовой (нефтяной) залежью описывается следующим образом дифференциальным уравнением эллиптического типа относительно приведенного давления P*:  (3)Для решения интересующей нас прямой задачи интегрирование уравнения (3) осуществляется при следующих краевых условиях:  (x,y) ; (4)P* =  , (x,y) ; P* =  , (x,y) ; (5) Для решения прямой краевой задачи (3) – (5) необходимо задать также зависимости k (x,y) и h (x,y). Для этого вводим в рассмотрение функционал невязок (сумма средних квадратических отклонений расчетных  и фактических  приведенных пластовых давлений): = (6) – расчетные давления в i-й точке (скважине), получаемые в результате решения прямой краевой задачи (3) – (5), описывающей фильтрацию в пласте;  – реальные (фактические ) давления в i-й точке (скважине); N – число точек (скважин) – источников информации о значениях пластовых давлений в соответствующих точках водоносного бассейна. Задача восстановления условий на контурах областей питания и разгрузки водонапорного бассейна заключается в следующем: требуется найти  ,  такие, что  = , = , (7)Множество W можно записать достаточно просто, например,  .Если же искомыми являются приведенные давления  ,  и фильтрационные параметры b, то они могут быть найдены в результате решения обратной задачи, где показателем качества идентификации расчетной модели пласта служит функционал невязок вида: = (8)где wi – весовая функция (множитель):  – фактические значения фильтрационного параметра в i-й точке (скважине);  – расчетные значения фильтрационного параметра в i-й точке (скважине).Решением обратной задачи будем считать такие функции , и  , что  =  J( ) (9)где множества B(bmin , bmax) =  . Итак, нами рассмотрены две постановки обратной задачи для уточнения условий на контурах областей питания и разгрузки и фильтрационных параметров водоносного пласта. Рассматриваемые обратные задачи будем решать с использованием градиентных процедур. 2. Необходимые условия оптимальности или вывод выражений для функциональных производных. Для минимизации функционалов вида (2) эффективными являются методы, использующие значение градиента функционала, такие как методы скорейшего спуска и сопряженных градиентов, различные квазиньютоновские методы. Специфика каждого из них заключается в построении соответствующего направления поиска на каждой итерации. Так как основой всех перечисленных методов является определение градиента функционала, получим необходимые выражения для grad J. Пусть бРп*, бРр*, бb – вариации функции Рп*, Рр*, b, a бJ – вариация функционала J. Определение производных от функционала J (Рп*, Рр*, b) основывается на получении разложение вариации бJ по независимым вариациям бРп*, бРр*, бb . Коэффициентами такого разложение являются искомые производные: бJ (Рп*, Рр*, b) =  б+ б+ бb (10)Используем следующее свойство дельта-функции Дирака:  (11)Из (8) с применением (11) получим:   (12)С учетом введенных обозначений (12) будет иметь вид:   (13)Воспользовавшись определениями вариаций, находим:   (14)Запишем задачу (3) – (5) относительно вариации бР*, пренебрегая членами выше первого порядка малости относительно вариации давление бР*: divb  +div (15) или divb =-div (16)  , (x,y) Г1 ,Г2 ; (17) бР* =0, (x,y) Г3 ,Г4 ; (18) По формуле Грина имеем  (19)Аналогично  (20)Из (19) вычитаем (20):  (21)Далее слагаем (14) и (21): ++  (22)Или   (23)Потребуем, чтобы введенная ранее сопряженная функция U (x,y) удовлетворяла следующей краевой задаче:  (24) , (x,y) Г1 ,Г2 ; (25) U =0, (x,y) Г3 ,Г4 ; (26) Здесь U – некоторый фиктивный потенциал поля, вызванного действием системы источников с плотностями, пропорциональными величинам невязки между расчетными и фактическими давлениями в точках расположения скважин. Алгоритм решения данной обратной задачи заключается в следующем: с использованием исходных величин фильтрационного параметра, построенных на основе геолого-геофизической информации, решается прямая краевая задача (3) – (5). Определяются разницы расчетных и фактических давлений по скважинам. С использованием этих невязок между приведенными давлениями по скважинам решается сопряженная краевая задача (24) – (26). На основе результатов решения прямой краевой задачи (3) – (5) и сопряженной задачи (24) – (26) с применением, например, метода Симпсона определяются значения функциональных производных по P  , P и b. |
