Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам



Скачать 185.46 Kb.
Дата24.12.2012
Размер185.46 Kb.
ТипРабочая учебная программа

Специальность «Математика»



Вариационное исчисление и методы оптимизации
Требования ГОСТ к содержанию курса

Рабочая учебная программа

Цели и задачи курса
Тематический план курса

Содержание программы по разделам
Контрольные вопросы к экзаменам

Дополнительная информация.

Литература

Требования ГОСТ к содержанию курса


Элементы дифференциального исчисления и выпуклого анализа; гладкие задачи с равенствами и неравенствами; правило множителей Лагранжа; задачи линейного программирования и проблемы экономики; теорема двойственности; классическое вариационное исчисление; уравнение Эйлера; условия второго порядка Лежандра и Якоби; задачи классического вариационного исчисления с ограничениями; необходимые условия в изопериметрической задаче и задаче со старшими производными; классическое вариационное исчисление и естествознание; оптимальное управление; принцип максимума Понтрягина; оптимальное управление и задачи техники; методы решения задач линейного программирования; симплекс-метод; методы решения задач без ограничения; градиентные методы; метод Ньютона; методы сопряженных направлений; численные методы решения задач вариационного исчисления и оптимального управления.
Программа дисциплины «Вариационное исчисление и методы оптимизации»
Составлена проф. В.Н. Кутруновым, утверждена на заседании кафедры математического моделирования 30.10.2003г.

Цели и задачи курса



Обеспечить изучение классического вариационного исчисления, в объёме, достаточном для освоения вариационных методов, применяемых в математической физике, теории упругости. Показать применение этих методов в геофизике и геологии для построения карт различных геофизических и геологических параметров при исследовании и эксплуатации месторождений. Продемонстрировать работу соответствующих пакетов программ в реальных условиях моделирования таких карт в проектных и исследовательских организациях Тюмени. Непосредственно на занятиях решить ряд задач вариационного исчисления, используя пакет Maple V, приучая студентов к коллективной работе над проектом. Показать возможности современной компьютерной техники в классическом курсе.

Рассмотреть задачи линейного и нелинейного программирования, теории игр. Изучить симплекс метод решения задач линейного программирования.
В результате изучения курса студент должен знать
Классические понятия вариационного исчисления: функционала и его вариации, определение вариации с помощью производной, уравнение Эйлера в простейшем случае минимизации функционала с помощью функции одной переменной. Студент должен уметь обобщать и ставить задачи вариационного исчисления в случае зависимости функционала от многих функций, либо от функций и некоторого количества их производных, либо от функций многих переменных.
Студент должен уметь использовать в расчётах численные методы Ритца, ортогональных рядов, Бубнова- Галёркина, наименьших квадратов; ставить и решать задачи линейного программирования.


Студент должен иметь представление



О теоретических основах вариационного исчисления, о теории квадратичного функционала, о связи этих теорий с задачами механики и минимизацией некоторых энергий, о связи задач линейного программирования и минимаксных задач экономики.
Тематический план курса




Тема

Количество лекционных часов

Количество семинарских занятий

СЕМЕСТР седьмой

1

Линейные и нелинейные функционалы и их свойства.


2

0

2

Классические задачи, приводящие к необходимости минимизировать функционалы.

2

2

3

Интегральные функционалы, зависящие от функции одной переменной. Вариация функционала, уравнения Эйлера.


4

6

4

Интегральные функционалы, зависящие от многих функций; от многих функций и их нескольких производных; от функций, зависящих от многих переменных.


6

6

5

Функционалы в задачах математической физики.

2

2

7

Элементы теории гильбертовых пространств

2

1

8

Теорема о минимуме квадратичного функционала. Энергетические пространства.

2

1

9

Обобщённые решения операторных уравнений и вариационные методы их нахождения.

14

14




Всего часов в седьмом семестре

34

34

СЕМЕСТР восьмой

10

Обобщённые решения операторных уравнений и вариационные методы их нахождения.

4

2

11

Применение вариационных методов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

2

2

12

Применение вариационных методов к решению краевых задач в частных производных

2

2

13

Проблемы выбора базиса в вариационных методах решения операторных уравнений.

2

2

14

Элементы выпуклого анализа


4

4

15

Основы линейного программирования

8

8

16

Основы выпуклого программирования

8

6

17

Основы оптимального управления


4

8




Всего часов в восьмом семестре

34

34



Содержание программы курса по темам

СЕМЕСТР седьмой



Тема

1

Линейные и нелинейные функционалы и их свойства.

2

Классические задачи, приводящие к необходимости минимизировать функционалы.

Задача о нахождении кривой минимальной длины между двумя точками и задача о нахождении поверхности минимальной площади, натянутой на замкнутую кривую. Функционалы, соответствующие этим задачам. Функционал, позволяющий решать задачу о брахистохроне.

3

Интегральные функционалы, зависящие от функции одной переменной. Вариация функционала, уравнения Эйлера.

Определение интегральных функционалов. Обобщения на многомерность, на учёт производных высших порядков. Понятие о приращении функционала. Непрерывность функционала. Определение вариации функционала, два подхода и их неравнозначность. Определение кривой, минимизирующей (максимизирующей) функционал. Теорема о необходимом признаке экстремума функционала, стационарные точки. Постановка задачи о минимуме функционала , ограничения, граничные условия. Классы допустимых кривых, этапы минимизации функционала и окончательный вид вариации функционала. Уравнение Эйлера и лемма, необходимая для его получения.

4

Интегральные функционалы, зависящие от многих функций; от многих функций и их нескольких производных; от функций, зависящих от многих переменных.

Обобщение: функционалы, содержащие несколько функций одного переменного и соответствующие уравнения Эйлера. Обобщение: функционалы, содержащие одну функцию одного переменного, несколько её высших производных и соответствующие уравнения Эйлера. Функционалы, зависящие от функций нескольких переменных, понятия вариации функции и вариации функционала.

5

Функционалы в задачах математической физики.

Вывод уравнения Эйлера в случае функционала, зависящего от функции двух переменных. Примеры: задача Дирихле для уравнения Лапласа и соответствующий функционал. Примеры: задача Дирихле для уравнения Пуассона и соответствующий функционал. Некоторые обобщения: Функционалы зависят от функций трёх переменных, или содержат производные более первого порядка. Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные и неголономные связи. Теорема о экстремуме функционала при наличии голономных связей. Экстремумы функционалов при наличии неголономных связей. Понятие о изопериметрических задачах.

7

Элементы теории гильбертовых пространств

Линеал, определение, свойства. Предгильбертово и гильбертово пространства. Скалярное произведение, норма, полнота, сепарабельность. Симметричный оператор А. Положительные и положительно определённые операторы. Теорема о единственности решения уравнения Аu=f для положительного оператора А.

8

Теорема о минимуме квадратичного функционала. Энергетические пространства.

Теорема о минимуме квадратичного функционала на линеале.Пример .Положительная определённость дифференциального оператора на линеале(нулевые граничные условия) и вид соответствующего функционала. Понятие о классическом и обобщенном решении. Пространство (энергетическое прстранство). Схема его построения на основе гильбертова прстранства и оператора А Теорема о полноте пространства.Соотношения между нормами пространств и.Теорема о существовании минимума квадратичного функционала в пространстве .

9

Обобщённые решения операторных уравнений и вариационные методы их нахождения.

Определение обобщенного решения. Понятие непрерывной зависимости обобщенного решения от правой части уравнения. Определение минимизирующей последовательности для квадратичного функционала. Простейшие подходы к построению функционалов в случае неоднородных граничных условий. Приближенная минимизация функционала. Метод ортогональных рядов. Приближенная минимизация функционала. . Метод Ритца. Получение системы алгебраических уравнений Ритца. Определитель Грамма. Доказательство теоремы о сходимости метода Ритца. Нестрогие рассуждения о удачном или неудачном выборе базиса. Метод Бубнова –Галёркина. Система алгебраических уравнений метода. Условия совпадения с системой метода Ритца. Теорема о сходимости метода в частном случае. Широта и области применения метода Бубнова –Галёркина. Метод наименьших квадратов. Понятие А-базиса. Система алгебраических уравнений метода и теорема о сходимости. Метод Куранта


СЕМЕСТР восьмой

10

Обобщённые решения операторных уравнений и вариационные методы их нахождения. Линейные ограниченные операторы. Метод наискорейшего спуска минимизации квадратичного функционала, оценка скорости сходимости. Пример применения метода: решение интегрального уравнения, обоснование применимости метода, сопоставление точного и приближённого решений. О других итерационных методах.


11

Применение вариационных методов к решению краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений

Основные проблемы, которые нужно решить при использовании метода квадратичного функционала для решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Неравенство Фридрихса и его частные случаи. Частные случаи выбора констант. Неравенство Пуанкаре и его частные случаи. Обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка в дивергентной форме. Ограничения на функции в уравнении. Общий вид граничных условий и их частные случаи. Краевая задача u(a)=u(b)=0. Доказательство возможности примения теории минимума квадратичного функционала Обыкновенное дифференциальное уравнение с краевыми условиями u`(a)=u`(b)=0. Доказательство возможности минимизации квадратичного функционала для получения приближенного решения в этом случае. Особый частный случай предыдущей задачи, уход от неединственности решения переходом к более узкому пространству. Общий случай граничных условий для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Четыре частных случая граничных условий. Константы положительной определённости и вид функционалов. Проблема выбора базиса. Основные требования к базису.Примеры базисов для обыкновенных дифференциальных уравнений. Базис из полиномов и способы обеспечения выполнения краевых условий. Базис из собственных функций операторов (или операторов близких в некотором смысле к исходному). Конкретные базисы для дифференциальных уравнений с различными краевыми условиями.

12

Применение вариационных методов к решению краевых задач в частных производных

Краевые задачи для уравнений в частных производных. Однородная эллиптичность и дивергентная форма уравнений, производная по конормали. Типы краевых условий. Симметрия дифференциального оператора краевой задачи в частных производных. Положительная определённость опера торов в случае задачи Дирихле. Положительная определённость операторов задач Ньютона и Неймана. Понятие о главных и естественных краевых условиях. Смешанные краевые условия. Неоднородные краевые условия.


13

Проблемы выбора базиса в вариационных методах решения операторных уравнений.

14

Элементы выпуклого анализа

Выпуклые множества и функции. Теоремы об отделимости и представление выпуклых множеств

15

Основы линейного программирования

Двойственность, признак оптимальности, методы решения задач линейного программирования (симплекс -метод). Теорема двойственности. Некоторые специальные задачи линейного программирования. Линейное программирование и матричные игры.

16

Основы выпуклого программирования

Постановка задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа. Седловые точки и теорема о минимаксах. Теорема Куна – Таккера. Двойственность в выпуклом программировании. Методы решения задач.

17

Основы оптимального управления

Общая задача линейного программирования. Задача об оптимальном быстродействии. Принцип максимума Понтрягина и классическое вариационное исчисление.



Контрольные вопросы к экзаменам (семестр 7)




  1. Простейшие и некоторые классические задачи вариационного исчисления ( Кривая минимальной длины между точками; поверхность минимальной площади, натянутая на замкнутую пространственную кривую; задача брахистохроне ).

  2. Интегральные функционалы. Приращение функционала и его непрерывность.

  3. Два определения вариации функционала и их неравнозначность.

  4. Понятие о стационарных точках. Теорема о необходимом признаке функционала.

  5. Постановка задачи о минимуме функционала, ограничения, граничные условия. Классы допустимых кривых, этапы минимизации функционала и окончательный вид вариации функционала.

  6. Уравнение Эйлера и основная лемма, необходимая для его получения.

  7. Уравнение Эйлера для функционалов, содержащих несколько функций одного переменного.

  8. Уравнение Эйлера для функционалов, содержащих функцию одного переменного и несколько ее производных.

  9. Функционалы для функций многих переменных, обобщение понятия вариации.

  10. Вывод уравнения Эйлера в случае функционала, зависящего от функции двух переменных.

  11. Примеры: задача Дирихле для уравнения Лапласа и задача Дирихле для уравнения Пуассона, соответствующие функционалы.

  12. Функционалы зависят от функции трех переменных, или содержат производные более первого порядка.

  13. Вариационные задачи на условный экстремум. Голономные и неголономные связи. Теорема о экстремуме функционала при наличии голономных связей.

  14. Элементы функционального анализа. Понятие о скалярном произведении, норме, полноте, сепарабельности, предгильбертовом и гильбертовом пространствах.

  15. Симметричный оператор А. Положительные и положительно определенные операторы. Теорема о единственности решения уравнения Au=f для положительного оператора А.

  16. Теорема о минимуме квадратичного функционала на линеале.

  17. Пример (изгиб упругой балки). Положительная определенность дифференциального оператора на линеале (нулевые граничные условия) и вид соответствующего функционала.

  18. Понятие о классическом и обобщенном решении. Пространство (энергетическое пространство). Схема его построения на основе гильбертова пространства и оператора А. Теорема о полноте пространства.

  19. Соотношения между нормами пространств . Теорема о существовании минимума квадратичного функционала в пространстве.

  20. Определение обобщенного решения. Понятие непрерывной зависимости обобщенного решения от правой части уравнения. Определение минимизирующей последовательности для квадратичного функционала.

  21. Простейшие подходы к построению функционалов в случае неоднородных граничных условий. Приближенная минимизация функционала.

  22. Метод ортогональных рядов.

  23. Метод Ритца. Получение системы алгебраических уравнений Ритца. Определитель Грамма. Доказательство теоремы о сходимости метода Ритца. Нестрогие рассуждения о удачном или неудачном выборе базиса (влияние ортогональности системы базисных функций на обусловленность алгебраических систем).

  24. Метод Бубнова-Галёркина. Система алгебраических уравнений метода. Условия совпадения с системой метода Ритца. Теорема о сходимости метода в частном случае. Широта и области применения метода Бубнова-Галёркина.

  25. Метод наименьших квадратов. Понятие А-базиса. Система алгебраических уравнений метода и теорема о сходимости.

  26. Метод Куранта и другие обобщенные подходы к построению функционалов.


Контрольные вопросы к коллоквиуму (зачету) (семестр 8)


  1. Линейные ограниченные операторы. Метод наискорейшего спуска минимизации квадратичного функционала, оценка скорости сходимости. Пример применения метода: решение интегрального уравнения Фредгольма второго рода.

  2. Использование метода квадратичного функционала для решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

  3. Неравенство Фридрихса и его частные случаи. Неравенство Пуанкаре и его частные случаи.

  4. Применение неравенства в доказательствах положительной определенности дифференциальных операторов.

  5. Общий случай граничных условий для обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка. Константы положительной определённости и вид функционалов.

  6. Проблема выбора базиса. Основные требования к базису. Примеры базисов для обыкновенных дифференциальных уравнений.

  7. Базис из полиномов и способы обеспечения выполнения краевых условий. Базисы из собственных функций операторов (или операторов близких в некотором смысле к исходному). Конкретные базисы для дифференциальных уравнений с различными краевыми условиями.

  8. Краевые задачи для уравнений в частных производных. Типы краевых условий.

  9. Дивергентная форма уравнений, производная по конормали. Симметрия дифференциального оператора краевой задачи в частных производных.

  10. Условия положительной определённости операторов в случае задачи Дирихле. Положительная определённость операторов задач Дирихле и Неймана. Понятие о главных и естественных краевых условиях. Неоднородные краевые условия.

  11. Основы линейного программирования. Характерные постановки задач, математические и экономические трактовки.

  12. Элементы выпуклого анализа. Выпуклые множества и функции.

  13. Теоремы о представлении выпуклых множеств и их отделимости.

  14. Понятие двойственности в линейном программировании и признак оптимальности решения.

  15. Первая и вторая геометрические интерпретации задач линейного программирования. Теоремы о угловых точках.

  16. Теоретические основы симплекс метода и его вариантов.

  17. Линейное программирование и матричные игры.

  18. Постановка задачи выпуклого программирования. Функция Лагранжа. Седловые точки и теорема о минимаксах.

  19. Теорема Куна-Таккера.

  20. Двойственность в выпуклом программировании. Методы решения задач.

  21. Общая задача оптимального управления. Задача об оптимальном быстродействии.

  22. Принцип максимума Понтрягина и классическое вариационное исчисление.




Дополнительная информация. Maple иллюстрации по темам




Тема

Демонстрация в математическом пакете Maple отдельных задач и утверждений из вариационного исчисления

СЕМЕСТР седьмоЙ

1

Теорема о минимуме квадратичного функционала

Сравнение классического и обобщённого решений на примере задачи о изгибе упругой балки. Пример. Переформулировать эту задачу в задачу о минимуме квадратичного функционала. На практическом занятии решить её средствами Maple, построить графики.

2

Метод наискорейшего спуска решения интегрального уравнения Фредгольма второго порядка

Непосредственно на занятии средствами Maple запрограммировать метод наискорейшего спуска решения интегрального уравнения Фредгольма второго порядка.

3

Применение вариационных методов к решению краевых задач в частных производных

На практических занятиях средствами Maple решить вариационные задачи, соответствующие задачам Дирихле и Неймана для прямоугольных областей, построить графики. Каждую задачу запрограммировать используя методы: Ритца, Бубнова - Галёркина, метода наименьших квадратов. Отметить особенности методов, их общие черты и особенности. Выполнить подстановку приближенного решения в уравнение и оценить невязки.

4

Основы линейного программирования

Запрограммировать решение канонической задачи линейного программирования. Сравнить результаты её работы с работой соответствующей программы, имеющейся в среде Maple


Литература


  1. Эльсгольц Л.Е.Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление М.: Наука. 1969. 423 с.

  2. Буслаев В.С. Вариационное исчисление. Л.:ЛГУ. 1980284 с.

  3. Ректорис С. Вариационные методы в математической физике и технике М.: Мир.1985.582 с.

  4. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике.М.:Наука 1970. 511с.

  5. Михлин С.Г.Численная реализация вариационных методов. М.:Наука 431с.

  6. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. 520 с.

  7. КармановВ.Г. Математическое программирование. М.: Наука. 1975. 272 с.

  8. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач. М.: Наука. 1977. 352 с.

  9. Ляшенко И.Н.и др. Линейное и нелинейное программирование. Киев: Вища школа. 1975. 372 с.

  10. ПонтрягинЛ.С. и др.Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука. 1974. 192 с.

  11. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления М.: Наука. 1968. 408 с.

  12. Матросов А.Maple 6 Решение задач высшей математики и механики СПб.:БХВ-Петербург,2001.-529 с.

  13. Дьяконов В.П. Математическая система MAPLE V R3/R4/R5/ М.:СОЛОН. 1998.399 с.

Похожие:

Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconВ. Д. Табанакова, М. А. Ковязина. Сопоставительная культурология
Рабочая учебная программа предназначена для ознакомления студентов с теоретическими разделами курса сопоставительной культурологии....
Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconРабочая программа по геометрии 8 класс
Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта, позволяет распределить учебные часы по разделам...
Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconРабочая программа по физике включает три раздела: пояснительную записку; основное содержание с распределением учебных часов по разделам курса, последовательность изучения тем и разделов; требования к уровню подготовки выпускников
Рабочая программа содействует сохранению единого образовательного пространства, не сковывая творческой инициативы учителей, предоставляет...
Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconПояснительная записка Настоящая рабочая программа разработана на основе Примерной программы среднего (полного) общего образования по истории Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного стандарта
Примерной программы среднего (полного) общего образования по истории Рабочая программа конкретизирует содержание предметных тем образовательного...
Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconТематический план курса № п/п Тема Количество часов Лекц. Занят. Практ. Занят. Сам работа
Диалектология как наука. Цели и задачи курса «Татарская диалектология». Основные проблемы татарской диалектологии
Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconРабочая программа составлена на основании: стандарта основного общего образования по географии (базовый уровень) 2008 г
Рабочая программа конкретизирует содержание блоков образовательного стандарта, дает распределение учебных часов по крупным разделам...
Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconРабочая программа учебная курса. Контингент обучающихся : учащиеся 6 класса моу мирненская сош
Цель программы: оказание содействия обучающимся в освоении содержания учебного курса «Введение в краеведение Челябинского Южного...
Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconФизическая защита ядерных объектов ( для группы Б01-43М ) Введение. Предмет, цели, задачи и содержание курса «Физическая защита ядерных объектов»
Предмет, цели, задачи и содержание курса «Физическая защита ядерных объектов» (фзяо). Роль и место курса в подготовке специалистов...
Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconРабочая программа лекционного курса Планы лабораторных занятий
Рабочая программа составлена в соответствии с учебным планом спф (заочное отделение) и учебной Программой курса «Естествознание»...
Рабочая учебная программа Цели и задачи курса Тематический план курса Содержание программы по разделам iconРабочая программа лекционного курса Планы лабораторных занятий
Рабочая программа составлена в соответствии с учебным планом спф (заочное отделение) и учебной Программой курса «Естествознание»...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org