2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение



страница9/12
Дата24.12.2012
Размер1.91 Mb.
ТипДокументы
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

1 способ. Выразим из уравнения переменную у.

Найдем производную

Тогда

Тогда S = 2?r. Получили общеизвестную формулу длины окружности.
2 способ. Если представить заданное уравнение в полярной системе координат, то получим: r2cos2? + r2sin2? = r2, т.е. функция ? = f(?) = r, тогда



Вычисление объемов тел.
Вычисление объема тела по известным площадям его параллельных сечений.

Q(xi-1)

Q(xi)

a xi-1 xi b x
Пусть имеется тело объема V. Площадь любого поперечного сечения тела Q, известна как непрерывная функция Q = Q(x). Разобьем тело на “слои” поперечными сечениями, проходящими через точки хi разбиения отрезка [a, b]. Т.к. на каком- либо промежуточном отрезке разбиения [xi-1, xi] функция Q(x) непрерывна, то принимает на нем наибольшее и наименьшее значения. Обозначим их соответственно Mi и mi.

Если на этих наибольшем и наименьшем сечениях построить цилиндры с образующими, параллельными оси х, то объемы этих цилиндров будут соответственно равны Mi?xi и mi?xi здесь ?xi = xi - xi-1.

Произведя такие построения для всех отрезков разбиения, получим цилиндры, объемы которых равны соответственно и .

При стремлении к нулю шага разбиения ?, эти суммы имеют общий предел:



Таким образом, объем тела может быть найден по формуле:



Недостатком этой формулы является то, что для нахождения объема необходимо знать функцию Q(x), что весьма проблематично для сложных тел.
Пример: Найти объем шара радиуса R.

y


R y
-R 0 x R x

В поперечных сечениях шара получаются окружности переменного радиуса у. В зависимости от текущей координаты х этот радиус выражается по формуле .

Тогда функция площадей сечений имеет вид: Q(x) = .

Получаем объем шара:

.
Пример: Найти объем произвольной пирамиды с высотой Н и площадью основания S.


Q S


x H x


При пересечении пирамиды плоскостями, перпендикулярными высоте, в сечении получаем фигуры, подобные основанию. Коэффициент подобия этих фигур равен отношению x/H, где х – расстояние от плоскости сечения до вершины пирамиды.

Из геометрии известно, что отношение площадей подобных фигур равно коэффициенту подобия в квадрате, т.е.



Отсюда получаем функцию площадей сечений:

Находим объем пирамиды:
Объем тел вращения.
Рассмотрим кривую, заданную уравнением y = f(x). Предположим, что функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b]. Если соответствующую ей криволинейную трапецию с основаниями а и b вращать вокруг оси Ох, то получим так называемое тело вращения.
y = f(x)

x
Т.к. каждое сечение тела плоскостью x = const представляет собой круг радиуса , то объем тела вращения может быть легко найден по полученной выше формуле:



Площадь поверхности тела вращения.
Мi B


А
х

xi

Определение: Площадью поверхности вращения кривой АВ вокруг данной оси называют предел, к которому стремятся площади поверхностей вращения ломаных, вписанных в кривую АВ, при стремлении к нулю наибольших из длин звеньев этих ломаных.
Разобьем дугу АВ на n частей точками M0, M1, M2, … , Mn. Координаты вершин полученной ломаной имеют координаты xi и yi. При вращении ломаной вокруг оси получим поверхность, состоящую из боковых поверхностей усеченных конусов, площадь которых равна ?Pi. Эта площадь может быть найдена по формуле:



Здесь ?Si – длина каждой хорды.



Применяем теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к отношению .

Получаем:

Тогда



Площадь поверхности, описанной ломаной равна:



Эта сумма не является интегральной, но можно показать, что



Тогда - формула вычисления площади поверхности тела вращения.


Функции нескольких переменных

При рассмотрении функций нескольких переменных ограничимся подробным описанием функций двух переменных, т.к. все полученные результаты будут справедливы для функций произвольного числа переменных.
Определение: Если каждой паре независимых друг от друга чисел (х, у) из некоторого множества по какому - либо правилу ставится в соответствие одно или несколько значений переменной z, то переменная z называется функцией двух переменных.

z = f(x, y)
Определение: Если паре чисел (х, у) соответствует одно значение z, то функция называется однозначной, а если более одного, то – многозначной.
Определение: Областью определения функции z называется совокупность пар (х, у), при которых функция z существует.
Определение: Окрестностью точки М00, у0) радиуса r называется совокупность всех точек (х, у), которые удовлетворяют условию .
Определение: Число А называется пределом функции f(x, y) при стремлении точки М(х, у) к точке М00, у0), если для каждого числа ? > 0 найдется такое число r >0, что для любой точки М(х, у), для которых верно условие



также верно и условие .

Записывают:
Определение: Пусть точка М00, у0) принадлежит области определения функции f(x, y). Тогда функция z = f(x, y) называется непрерывной в точке М00, у0), если

(1)

причем точка М(х, у) стремится к точке М00, у0) произвольным образом.
Если в какой – либо точке условие (1) не выполняется, то эта точка называется точкой разрыва функции f(x, y). Это может быть в следующих случаях:

  1. Функция z = f(x, y) не определена в точке М00, у0).

  2. Не существует предел .

  3. Этот предел существует, но он не равен f( x0, y0).


Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой и

ограниченной области D, то в этой области найдется по крайней мере одна точка

N(x0, y0, …), такая, что для остальных точек верно неравенство

f(x0, y0, …) ? f(x, y, …)

а также точка N1(x01, y01, …), такая, что для всех остальных точек верно неравенство

f(x01, y01, …) ? f(x, y, …)

тогда f(x0, y0, …) = M – наибольшее значение функции, а f(x01, y01, …) = m – наименьшее значение функции f(x, y, …) в области D.

Непрерывная функция в замкнутой и ограниченной области D достигает по крайней мере один раз наибольшего значения и один раз наименьшего.
Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, а M и m – соответственно наибольшее и наименьшее значения функции в этой области, то для любой точки ? ? [m, M] существует точка

N0(x0, y0, …) такая, что f(x0, y0, …) = ?.
Проще говоря, непрерывная функция принимает в области D все промежуточные значения между M и m. Следствием этого свойства может служить заключение, что если числа M и m разных знаков, то в области D функция по крайней мере один раз обращается в ноль.
Свойство. Функция f(x, y, …), непрерывная в замкнутой ограниченной области D, ограничена в этой области, если существует такое число К, что для всех точек области верно неравенство .


Свойство. Если функция f(x, y, …) определена и непрерывна в замкнутой ограниченной области D, то она равномерно непрерывна в этой области, т.е. для любого положительного числа ? существует такое число ? > 0, что для любых двух точек (х1, y1) и (х2, у2) области, находящихся на расстоянии, меньшем ?, выполнено неравенство



Приведенные выше свойства аналогичны свойствам функций одной переменной, непрерывных на отрезке. См. Свойства функций, непрерывных на отрезке.

Производные и дифференциалы функций

нескольких переменных.

Определение. Пусть в некоторой области задана функция z = f(x, y). Возьмем произвольную точку М(х, у) и зададим приращение ?х к переменной х. Тогда величина ?xz = f( x + ?x, y) – f(x, y) называется частным приращением функции по х.
Можно записать

.

Тогда  называется частной производной функции z = f(x, y) по х.

Обозначение:
Аналогично определяется частная производная функции по у.


Геометрическим смыслом частной производной (допустим ) является тангенс угла наклона касательной, проведенной в точке N0(x0, y0, z0) к сечению поверхности плоскостью у = у0.

Полное приращение и полный дифференциал.
Определение. Для функции f(x, y) выражение ?z = f( x + ?x, y + ?y) – f(x, y) называется полным приращением.
Если функция f(x, y) имеет непрерывные частные производные, то



Применим теорему Лагранжа (см. Теорема Лагранжа.) к выражениям, стоящим в квадратных скобках.







здесь
Тогда получаем


Т.к. частные производные непрерывны, то можно записать равенства:




Определение. Выражение называется полным приращением функции f(x, y) в некоторой точке (х, у), где ?1 и ?2 – бесконечно малые функции при ?х ? 0 и ?у ? 0 соответственно.

Определение: Полным дифференциалом функции z = f(x, y) называется главная линейная относительно ?х и ?у приращения функции ?z в точке (х, у).


Для функции произвольного числа переменных:


Пример. Найти полный дифференциал функции .





Пример. Найти полный дифференциал функции






Геометрический смысл полного дифференциала.

Касательная плоскость и нормаль к поверхности.

нормаль


N

? N0

касательная плоскость

Пусть N и N0 – точки данной поверхности. Проведем прямую NN0. Плоскость, которая проходит через точку N0, называется касательной плоскостью к поверхности, если угол между секущей NN0 и этой плоскостью стремится к нулю, когда стремится к нулю расстояние NN0.
Определение. Нормалью к поверхности в точке N0 называется прямая, проходящая через точку N0 перпендикулярно касательной плоскости к этой поверхности.
В какой – либо точке поверхность имеет, либо только одну касательную плоскость, либо не имеет ее вовсе.
Если поверхность задана уравнением z = f(x, y), где f(x, y) – функция, дифференцируемая в точке М00, у0), касательная плоскость в точке N0(x0,y0,(x0,y0)) существует и имеет уравнение:

.
Уравнение нормали к поверхности в этой точке:



Геометрическим смыслом полного дифференциала функции двух переменных f(x, y) в точке (х0, у0) является приращение аппликаты (координаты z) касательной плоскости к поверхности при переходе от точки (х0, у0) к точке (х0+?х, у0+?у).

Как видно, геометрический смысл полного дифференциала функции двух переменных является пространственным аналогом геометрического смысла дифференциала функции одной переменной.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности



в точке М(1, 1, 1).



Уравнение касательной плоскости:


Уравнение нормали:



Приближенные вычисления с помощью полного дифференциала.
Пусть функция f(x, y) дифференцируема в точке (х, у). Найдем полное приращение этой функции:





Если подставить в эту формулу выражение



то получим приближенную формулу:


Пример. Вычислить приближенно значение , исходя из значения функции при x = 1, y = 2, z = 1.
Из заданного выражения определим ?x = 1,04 – 1 = 0,04, ?y = 1,99 – 2 = -0,01,

?z = 1,02 – 1 = 0,02.

Найдем значение функции u(x, y, z) =

Находим частные производные:







Полный дифференциал функции u равен:


Точное значение этого выражения: 1,049275225687319176.
При использовании компьютерной версии “Курса высшей математики” возможно запустить программу, которая решает рассмотренный выше пример для произвольной функции трех переменных.

Для запуска программы дважды щелкните на значке
Примечание: Для запуска программы необходимо чтобы на компьютере была установлена программа Maple (? Waterloo Maple Inc.) любой версии, начиная с MapleV Release 4.
Частные производные высших порядков.
Если функция f(x, y) определена в некоторой области D, то ее частные производные и тоже будут определены в той же области или ее части.

Будем называть эти производные
1   ...   4   5   6   7   8   9   10   11   12

Похожие:

2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconЗанятие №1 Элементарные функции. Производная функции одной переменной. Дифференциал функции. Теоретические вопросы
Производная функции, ее физический и геометрический смысл. Таблица основных формул дифференцирования функций. Дифференцирование суммы,...
2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconЛекция №6 Дифференциальное исчисление функции одной переменной План Непрерывность функции Понятие производной
При рассмотрении графика такой функции мы видим, что близким значениям аргумента соответствуют близкие значения функции. Если независимая...
2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconПроизводная, ее геометрический и физический смысл
Производной функции y = f(x) в точке x называется конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последнее...
2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconДифференциальное исчисление Лекция 18. Производная, её геометрический и механический смысл
Важнейшим понятием математического анализа является производная, которая определяет скорость изменения функ­ции
2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconПланы семинарских занятий по дисциплине «Математика» (Дифференциальное и интегральное исчисление функции многих переменных) 1 курс 2 семестр
Повторение: дифференцирование и интегрирование функции одной переменной. Примеры на усмотрение преподавателя
2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconФункции комплексной переменной Вопрос
Вопрос. Определение производной от функции комплексной переменной и её геометрический смысл. Вывести условия Коши-Римана
2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconД. И. Менделеева Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
Авторы: Е. Г. Рудаковская, М. Ф. Рушайло, М. А. Меладзе, Е. Л. Гордеева, В. В. Осипчик
2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconУчебно-тематические планы лекционных занятий по дисциплине «Математика»
В математику. Дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной
2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по направлению 010400 «Прикладная математика и информатика»
Определение предела функции одной переменной в точке. Арифметические свойства пределов (привести доказательство одного из свойств)....
2001 Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Производная функции, ее геометрический и физический смысл. Определение iconЛекция Производная функци комплексного переменного. План лекции
Производная от функции комплексного переменного. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Дифференциал функции
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org