Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск



Скачать 56.41 Kb.
Дата24.12.2012
Размер56.41 Kb.
ТипДокументы
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»,
посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия

Метод Лаврентьева - Ньютона для решения нелинейных некорректных задач с приближенным оператором
Саадабаев А.С.*

Киргизский Национальный университет имени Жусупа Баласагына,

г. Бишкек, Киргизская Республика,

e-mail: caadabaev@mail.ru

Аннотация



В работе исследовано нелинейное операторное уравнение первого рода в Гильбертовом пространстве. Для построения приближенного решения применен метод Лаврентьева - Ньютона. Доказана сходимость приближенного решения к точному решению исходного уравнения при . Построено приближенное решение в окрестности точной правой части .
Названный метод для решения корректных задач применялся многими авторами (см. [1], [2]).

В данной статье этот метод применяется для решения некорректных задач. Линейные некорректные задачи исследовались в работе [3]. Нелинейные некорректные задачи методом Лаврентьева исследованы в работах ([4],[5])

Рассмотрим нелинейное операторное уравнение

, (1)

где К – нелинейный оператор, отображающий Гильбертовое пространство Z в Гильбертовое пространство Z, z – искомый элемент, u – заданный элемент.

Наряду с уравнением (1) рассмотрим уравнение

, (2)

где 0 положительный регуляризирующий параметр.

Допустим, что при u = u0 уравнение (1) имеет единственное решение z0. Нелинейный оператор К определен для любого z удовлетворяющего неравенству:

, (3)

где r – достаточно малое число и определяется ниже.

Далее предположим, что оператор Кz дифференцируема по Фреше в шаре (3) (см.[1],[2]).

Пусть производная оператора К в точке z0 является линейным оператором, и этот линейный оператор является положительным, обозначим этот оператор через А.

В этих условиях оператор имеет обратный оператор для любого 0 (cм. [3]).


В этом случае уравнение (2) эквивалентно следующему операторному уравнению

(4)

Введем оператор

(5)

Вычислим производную этого оператора

.

Отсюда

(6)

Оператора ограничена по норме и удовлетворяет неравенству (см. [1])

(7)

Допустим, что производная оператора К является непрерывным

(8)

Используя неравенства (7), (8) из (6), получаем

(9)

Таким образом, оператор удовлетворяет условию Липшица с постоянной т.е. удовлетворяет неравенству

(10)

Например .

Покажем, что оператор шар отображает в себя. Рассмотрим разность:

(11)

В правой части неравенства (11) первое слагаемое в силу (10) удовлетворяет неравенству

(12)

Второе слагаемое оценивается в следующем виде:

(13)

Допустим, что точное решение представим в виде

.

Тогда первое слагаемое в неравенстве (13) оценивается в следующем виде (см. [4])

(14)

Оценим второе слагаемое справа в (13).

В силу неравенства (7) и , получаем

(15)

Используя неравенства (14), (15) из неравенства (13), получаем

(16)

Используя неравенства (16), (12) из равенства (11) получаем

(17)

Используя неравенства (3) из (17) получаем

(18)

Введем обозначение

(*)

Покажем, что оператор при некотором шар



отображает в себя.

Из (18) для определения получаем уравнение

.

Обозначим через .

Тогда решение уравнения (19) представимо в виде

.

Пусть постоянное число удовлетворяет неравенству

. (20)

Тогда минимальный корень

(21)

При этих значениях оператор шар отображает в себя.

Функция в точке ,

Достигает минимуму и этот минимум равен

,

где .

Подставляя значение и , выражению

.

Допустим, что параметр .

Таким образом

, т.е. .

Из неравенства (10) полагая , получаем

. (**)

Таким образом оператор удовлетворяет условию Липщица с постоянной , т.е. оператор является сжимающим оператором.

Доказана следующая

Т е о р е м а 1. Пуст: 1) операторное уравнение (1) при имеет точное решение ; 2) Нелинейный оператор К в точке имеет производную; 3) производная оператора К удовлетворяет условию Липщица с постоянной N; 4) точное решение истокообразно представимо в виде ; 5) параметр удовлетворяет условию ; 6) удовлетворяет условию .

Тогда уравнение (2) имеет единственное решение .

Покажем, что это решение при сходится к решению уравнения (1) при .

Действительно имеет места тождества

(20)

Далее имеет места тождества

(21)

Вычитая из тождества (20), (21), получаем



Отсюда

(22)

Здесь мы учитывали неравенства (**).

Доказана

Т е о р е м а 2. Пусть выполняются все условия теоремы 1.

Тогда при уравнение (4) имеет решение и это решение при стремиться к точному решению уравнения (1). Скорость сходимости удовлетворяет неравенству:


Далее исследуется уравнение (1), когда приближенно задается оператор К

Кh z = u (23)

Тогда наряду с уравнением (1`) рассмотрим уравнение

az + Кh z = u (24)

Доказано, что решение уравнения (2`) является приближенным решением уравнения (23).

Используя метод Лаврентьева наряду с уравнением (24) рассмотрим уравнение

az + Кh z = u . (25)

Уравнение (25) запишем в виде

az + К z = (К+ Кh) z + u (26)
Применяя метод Ньютона к уравнению (26), имеем

z = z – (aЕ + А) (az+(К+ Кh) z- u) (27)

Решение уравнения при стремиться к точному решению уравнению (1)


Литература:


  1. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М: Наука, 1965.

  2. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. –М: Наука, 1977г.

  3. Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. – Новосибирск: СО АН СССР, 1962.

  4. Саадабаев А.С. Приближенные методы решения нелинейных интегральных и операторных уравнений 1-го рода. – Бишкек, 1997.

  5. Саадабаев А.С. Регуляризованный метод Ньютона для решения нелинейного интегрального уравнения первого рода. Вестник КГНУ. – Бишкек 2001. Сер.3. Выпуск 6. С.59-63.


.

Похожие:

Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева,...
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева,...
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Продолжение решения неоднородной системы уравнений Коши-Римана
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Об одном методе решения задачи Коши для гармоничнего уравнения
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Аналитическое продолжение рациональными функциями
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org