Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск



Скачать 59.46 Kb.
Дата24.12.2012
Размер59.46 Kb.
ТипДокументы
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М.М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск, Россия
ДИСКРЕТНЫЙ АНАЛОГ МЕТОДА ГЕЛЬФАНДА – ЛЕВИТАНА В ОБРАТНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ

ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ
Г. Б. Баканов

Кызылординский государственный университет имени Коркыт Ата,

улица Айтеке би 29 А, 120014, Кызылорда, Казахстан

E-mail: Gbakan58@mail.ru
В работе рассматривается дискретный аналог метода Гельфанда-Левитана определения коэффициента q(x,y) уравнения


по измеренным при x=0 следам решений семейства задач Коши. Рассмотренный в работе случай

q=q(x,y) без каких-либо серьезных изменений переносится на n - мерный аналог постановки обратной задачи.

Рассматривается дискретный аналог обратной задачи: определить непрерывную функцию q(x,y) из соотношений
(1)

(2)
(3)

Здесь R - множество вещественных чисел, - дельта-функция Дирака, m – некоторое

фиксированное целое число. Предполагается, что q(x,y) четна по всем переменным, а функции

um (x,y,t) и q(x,y) -периодические по y.

С обзором и подробной библиографией работ по обратным задачам вида (1)-(3) можно ознакомиться в монографиях Лаврентьева М.М., Романова В.Г. и Шишатского С.П.[1], Романова В.Г. [2], С.И.Кабанихина [3]. Среди ранее полученных результатов по определению коэффициента q(x,y) уравнения (1) отметим одномерный вариант постановки (1)-(3) (q не зависит от y). В этом случае в работах И.М.Гельфанда и Б.М.Левитана [4] (спектральный вариант постановки), М.Г.Крейна [5], А.С.Благовещенского [6] доказаны теоремы об однозначной разрешимости. Для многомерной постановки необходимо отметить теорему единственности в классе кусочно-аналитических функций Ю.М.Березанского[7], теорему единственности А.А.Андрощука [8] и подход к определению q(x,y), изложенный в работах М.И. Белишева[9] ,А.С.Благовещенского и М.И. Белишева [10]. Отметим, что из результатов В.Г.Романова [2] для обратной задачи (1)-(3) следуют теорема о локальной однозначной разрешимости и теорема единственности в классе функций, аналитических по y и непрерывных по x. В работе С.И.Кабанихина [11] построено семейство линейных интегральных уравнений Фредгольма, зависящее от параметра N, по решению кото­­­рого определяется функция gif" name="object7" align=absmiddle width=67 height=22>, сходящаяся к q(x,y) при N, стремящемся к бесконечности­­­.

Используя известную методику[12] , можно показать, что обратная задача (1)-(3) сводится к

cледующей: определить q(x,y) из соотношений

(4)

(5)

(6)

Пусть Т – положительное фиксированное число, - натуральные числа, . Обозначим


и т. д.

Пусть где - дискретный аналог дельта - функции Дирака:

Рассмотрим дискретный аналог обратной задачи (4)-(6): найти сеточную из соотношений

(7)

(8)

(9)

Здесь Z – множество целых чисел.

Всюду в дальнейшем предположим, что сеточные функции 2N1 – периодичны по дискретной переменной j.

Пусть - сеточная функция, определенная для . Представим ее в виде



где коэффициенты Фурье определяются по формуле


Лемма 1. Имеет место следущая формула:

(10)

Лемма 2. Имеет место формула

(11)

в которой

Применяя разложение в ряд Фурье по дискретной переменной j и учитывая формулы (10), (11), из (7)-(9) получим



(12)

(13)

(14)

где - символ Кронекера.

Если V, Q, , O, E – квадратные матрицы размерности 2N1, то дискретная обратная задача (12)-(14) сводится к следующей матричной дискретной одномерной обратной задаче: найти Qi из соотношений

(15)

(16)

(17)

Здесь единичная матрица, О - нулевая матрица,

Предположим, что решение дискретной обратной задачи (15) – (17) существует.

Рассмотрим вспомогательную задачу

(18)

. (19)

Здесь W – квадратная матрица размерности 2N1, аналогичная матрице V.

Лемма 3. Пусть N>2. Тогда для каждого , решение задачи

(18), (19) существует, единственно и обладает свойством:



Лемма 4. Пусть - решение задачи (18),(19). Тогда



для всех

Лемма 5. Пусть

Тогда для справедливы следующие соотношения

(20)





Лемма 6. Пусть определяется по формуле (20). Тогда



Лемма 7. Пусть - решение дискретной обратной задачи (15)-(17),

,

здесь для Тогда удовлетворяет уравнению

(21)

и следующим условиям:





Лемма 8. Пусть - решение задачи (18),(19), а определяется по формулам

(22)

Тогда удовлетворяет уравнению (21) и ( в силу единственности решения )



Лемма 9. Предположим, что Тогда (22) можно переписать в виде

(23)

Учитывая, что , запишем систему уравнений (23) в виде

(24)

Теорема 1(необходимое условие существования решения дискретной обратной задачи). Предположим, что решение дискретной обратной задачи (15)-(17) существует. Тогда для каждого система уравнений (24) однозначно разрешима.

Теорема 2(достаточное условие существования решения дискретной обратной задачи). Если для каждого система уравнений



однозначно разрешима относительно , то решение дискретной обратной задачи (15)-(17) существует и единственно.
ЛИТЕРАТУРА

  1. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

  2. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

  3. Кабанихин С.И. Проекционно-разностные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. Новосибирск: Наука, 1988.

  4. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1951. Т. 15, №4. С. 309-360.

  5. Крейн М.Г. Об одном методе эффективного решения обратной краевой задачи // Докл. АН СССР. 1954. Т. 94 №6. С. 767-770.

  6. Благовещенский А.С. О локальном методе решения нестационарной обратной задачи для неоднородной струны // Тр. Мат. Ин-та АН СССР. 1971. Т. 115. С. 28-38.

  7. Березанский Ю.М. К теореме единственности в обратной задаче спектрального анализа для уравнения Шредингера // Тр. Моск. мат. о-ва. 1958. Т. 7. С. 3-51.

  8. Андрощук А.А. О единственности восстановления двумерного уравнения Шредингера // Докл. АН СССР. 1986. Т. 291. №5. С. 1033-1036.

  9. Белишев М.И. Об одном подходе к многомерным обратным задачам для волнового уравнения // Докл. АН СССР. 1987. Т. 297, №3. С. 524-527.

  10. Белишев М.И., Благовещенский А.С. Многомерные аналоги уравнений типа Гельфанда – Левитана – Крейна в обратной задаче для волнового уравнения // Условно - корректные задачи математической физики и анализа. Новосибирск: Наука, 1992.С. 50-63.

  11. Кабанихин С.И. О линейной регуляризации многомерных обратных задач для гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т. 309.№4.С. 791-795.

  12. Kabanikhin S.I., Bakanov G. B. Discrete analog of the Gel’fand – Levitan equation // J. Inverse Ill-Posed Probl. 1996. V. 4, № 5. P. 409-435.

Похожие:

Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Обратная задача нахождения коэффициента уравнения теплопроводности
Международная конференция «Обратные некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева,...
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Продолжение решения неоднородной системы уравнений Коши-Римана
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Об одном методе решения задачи Коши для гармоничнего уравнения
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия Аналитическое продолжение рациональными функциями
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007., Новосибирск iconМеждународная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики», посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Посвященная 75-летию академика М. М. Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org