Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации



Скачать 66.11 Kb.
Дата24.12.2012
Размер66.11 Kb.
ТипРешение
Международная конференция «Обратные и некорректные задачи математической физики»,
посвященная 75-летию академика М.М.Лаврентьева, 20-25 августа 2007 г., Новосибирск, Россия


Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в - приближении методом оптимизации.

К. С. Бобоев*

* НГАСУ (Сибстрин),

ул. Ленинградская, 113,

630008 Новосибирск, Россия

E-mail: boboev@mail.ru
Введение.

Обратные задачи для кинетического уравнения переноса нейтронов входят в широкий круг коэффициентных обратных задач и являлись предметом исследования со стороны различных авторов.

Различные постановки обратных задач теории переноса рассматривалась в работах Г.И. Марчука, А.И. Приленко, В.Г. Романова, Д.С. Аниконова, Л.П Нижника и В.Г. Тарасова, А.Я. Казакова, А.Л. Иванкова, А.Х. Амирова, В.И. Грина, В.Г. Романова и К.С. Бобоева и др.

В работах В.Г. Романова, С.И. Кабанихина и К.С. Бобоева [1] рассматривались различные постановки обратных задач для нестационарного кинетического уравнения переноса на основе метода сферических гармоник и их конечно-разностная регуляризация обращением разностной схемы.

Данная работа посвящена изучению обратной задачи для системы метода сферических гармоник с помощью одного из методов оптимального управления.
1. Метод сферических гармоник.

Рассмотрим нестационарное кинетическое уравнение переноса излучения нейтронов для анизотропного рассеяния в случае плоско­ – параллельной геометрии.

, , , (1)

где



С начальными и граничными условиями

(2)

, или , (3)

, или , (4)
где

. (4/)

Здесь - плотность потока нейтронов, , gif" name="object14" align=absmiddle width=46 height=22>- полное сечение и сечение рассеяния, - индикатрисcа рассеяния, функция характеризующая анизотропию рассеяния.

В соответствии с методом сферических гармоник предположим, что процесс распространения нейтронов достаточно точно описывается конечным рядом:
, (5)

где

, (6)

полином Лежандра, и подставляя ее в (1) при получаем симметрическую гиперболическую систему дифференциальных уравнений первого порядка по Фридрихсу [2].

(7)

Здесь

,

.

В матрице A



Заменяя (3)-(4) системой интегральных соотношений [3], [4] получаем на границах условия Маршака при

(8)

, . (9)

При этом начальные условия примут следующий вид

, (10)

где



Записываем условия (8)-(9) в матричной форме, тогда имеем

; (11)

; (12)
где , , матрицы размера .

Предметом нашего дальнейшего рассмотрения будет вопрос об определении коэффициентов, уравнения (1) по некоторой дополнительной информации о решении прямой задачи на границе области. Здесь рассматриваются обратные задачи для кинетического уравнения переноса на основе метода сферических гармоник, существенно используя аппарат исследования обратных задач для гиперболических систем предположенный впервые в работах В. Г. Романова [5].

Приведем систему (7) к наиболее удобному виду для исследования, т. е. к каноническому виду [6]. При этом введём

(13)

где Т — скалярная невырожденная матрица преобразования, которая приведёт матрицу В к единичному, а матрицу A к диагональному.
Конкретное её выражение следующее

, .

Таким образом, осуществляя замену (13) и умножая слева на из (7) получаем систему в каноническом виде, а именно

, , . (14)

Здесь

, и

— корни полинома Лежандра расположенные таким образом, что

, , ,

(15)

, (16)

.

Построение градиента

Согласно градиентному методу для решения обратной задачи (7),(10)-(12) требуется построить функционал [7]:

(17)

Постараемся найти при котором функционал принимал бы минимальное значение. Рассмотрим приращение функционала

.

Так как , то



Используя свойства дельта – функции Дирака получаем:

(18)

Слагаемое в последнем выражении малое высокого порядка значение, которого можно пренебречь

(19)

Таким образом, в итоге получаем следующее выражение

(20)

здесь - дельта - функция Дирака.

Сформулируем сопряженную задачу

(21)

, , (22)

, , (23)

, , (24)

С учетом сопряженной задачи (21)-(24) имеем


(25)

введем

.

Тогда



Учитывая малость из (25) получим





где

(26)

является градиентом функционала (17).

Далее выбирая некоторое начальное приближения, на основе градиентного метода [7] можно построить последовательность по формуле

, , (27)

где - некоторая заданная точка, - положительная величина.

Решение обратной задачи для кинетического уравнения переноса в - приближении методом оптимального управления

Предметом дальнейшего исследования является система метод сферических гармоник для конечного - приближения преобразованная и приведенная к канонической форме [4]:

, , (28)

при следующих условиях

(29)

, (30)

, , (31)

, (32)

Здесь





корни полинома Лежандра

,

матрица имеет следующее конкретное выражение

; ; ;

В соответствии с методом оптимального управления [7] требуется минимизировать функционал

.







Выбирая начальное приближение и применяя градиентный метод, можно построить последовательность и используя формулу (27).
Литература
1. Романов В.Г, Кабанихин С.И, Бобоев К.Обратная задача для Pn-приближения кинетического уравнения переноса. ДАН СССР т.276,№2,1984 г.
2. Годунов С.К.Уравнения математической физики. - М.:Наука,1971-416 с.
3. Марчук Г.И.,Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. - Москва Атомиздат.1981-

454с.
4. Султангазин У.М.Методы сферических гармоник и дискретных ординат в задачах кинетической теории переноса. Изд-во Наука, Каз. ССР, Алма-Ата ,1979.
5. Романов В.Г.Обратные задачи для дифференциальных уравнений. - Новосибирск: НГУ,1973-252с.
6. Годунов С.К.Уравнения математической физики. - М.:Наука ,1971.-416с.
7. Васильев Ф.П.Численные методы решения экстремальных задач. - М.:Наука,1988-549с.

Похожие:

Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconРешение систем линейных алгебраических уравнений с ленточными матрицами. Пример решения линейной системы с трехдиагональной матрицей
Метод Гаусса для решения системы линейных алгебраических уравнений. Устойчивость метода Гаусса. Использование метода Гаусса для вычисление...
Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconГ. И. Ковалева Итоговое повторение курса планиметрии с привлечением метода ключевой задачи Метод составления системы задач, построенной по принципу каждая задача
Метод составления системы задач, построенной по принципу – каждая задача системы использует результат решения одной какой-либо (ключевой)...
Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconМногокритериальная оптимизация на основе нейросетевой аппроксимации функции предпочтения лица, принимающего решение
Практическая апробация метода выполнена при решении двухкритериальной задачи оптимизации механической подсистемы двигателя внутреннего...
Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconРешение. Решение системы находим по формулам Крамера
Установить, что система уравнений имеет единственное решение, и найти его с помощью обратной матрицы
Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconЛабораторная работа №4 Моделирование непрерывно распределённых случайных величин методом обратной функции
Научиться моделировать значения непрерывно распределённой случайной величины методом обратной функции и проводить статистический...
Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconПрограмма для решения обратной задачи гравитационного поля (2-3 курс)
Программа вычисления определителя методом разложения
Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconЗадача для однородного уравнения колебания струны с однородными граничными условиями на отрезке. Решение данной задачи методом разделения переменных
Задачи мат физики. Понятие математической модели. Корректность задачи по Адамару
Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconРешение слу метод Гаусса (общее, частное) Решение слу методом Крамера Решение ослу: нахождение фср обратная матрица
Построение многочлена по значениям при помощи метода неопределенных коэф-фициентов
Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconРешение системы линейных алгебраических уравнений ( слау ) методом Якоби (методом простых итераций)
Входные данные матрица коэффициентов слау, вектор правых частей, размерность системы
Решение обратной задачи для системы метода сферических гармоник в приближении методом оптимизации iconМногомерные задачи оптимизации
Мы рассмотрим одномерные задачи оптимизации, в которых ц ф зависит лишь от одного аргумента. В большинстве реальных задач оптимизации...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org