Министерство образования Российской Федерации Саратовский государственный технический университет
УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Методические указания и контрольные задания
к выполнению самостоятельной работы
для студентов направления 521500 «Менеджмент»
Одобрено
редакционно-издательским советом
Саратовского государственного
технического университета
Саратов 2010
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ
Перед выполнением контрольного задания студент должен изучить соответствующие разделы курса по пособиям, рекомендуемым в списке литературы. В методических указаниях даются также некоторые начальные теоретические сведения и приводятся решения типовых задач. Если студент испытывает затруднения в освоении теоретического или практического материала, то он может получить консультацию на кафедре «Высшая математика и механика» Технологического института СГТУ.
На обложке тетради, в которой выполнена работа, студенту следует разборчиво написать свою фамилию, инициалы и адрес, шифр, номер контрольной работы, название дисциплины и дату отправки работы в институт.
Если работа выполнена без существенных ошибок, то студент допускается к собеседованию, по результатам которого работа может быть зачтена, либо не зачтена. При наличии существенных ошибок работа возвращается студенту для исправления.
ПОНЯТИЕ ОБ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ
В условиях рыночной экономики практически значимыми являются задачи поиска экстремальных (максимальных и минимальных) значений экономических функций при наличии ограничений на переменные.
В качестве примера рассмотрим производственную функцию, т.е. уравнение, связывающее ресурсы (факторы производства) и выпуск продукции. В рыночной экономике к ресурсам относятся: земля, капитал (основные фонды), труд и предпринимательская способность, т.е. способность объединить все виды ресурсов в едином процессе производства товаров и услуг. Ограничимся для простоты двумя ресурсами: капиталом и трудом .
Тогда производственная функция может быть записана в виде , где – количество произведенных товаров и услуг.
На приобретение ресурсов фирма планирует конкретную сумму денег, обозначим её . Если цена единицы капитала (основных фондов) равна Pk, а единицы труда - , то должно выполняться условие . В процессе деятельности перед фирмой возникает практически важный вопрос: как наиболее эффективно распределить имеющиеся средства? Другими словами, какую часть общей суммы S следует выделить на закупку оборудования (капитал K), а какую – на оплату труда персоналу (труд T ). Математически эта задача формулируется так: найти максимум целевой функции (в данном случае это производственная функция). , при условии (ограничения по затратам) . Рассмотрим метод подстановки и метод множителей Лагранжа для решения задач условной оптимизации.
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ
В простых случаях для нахождения условного экстремума произвольной целевой функции ,
при условии (ограничении) можно применять метод подстановки. Для этого, используя ограничение, выражают одну переменную через другую, например, yчерез x: y=g(x).
Подставляя g(x) в целевую функцию, получают некоторую функцию одной переменной: . Далее находят экстремальные точки уже этой функции. По конкретным значениямx, используя функциюy=g(x), вычисляют соответсвующие экстремальные значения переменной y и значение целевой функции.
Применим метод подстановки для решения простой задачи.
Производственная функция фирмы имеет вид . Определить уровень затрат на капитал и труд, при которых производственная функция Q достигает максимума. Затраты на единицу капитала и труда составляет 2 и 1 соответственно, а общая сумма затрат - 400.
Математическая формулировка задачи: найти максимум целевой функции ,
при условии
. Для решения выразим T через K, используя последнее равенство (ограничение по затратам):
.
Подставляя это выражение в производственную функцию, получаем , т.е. целевую функцию одной переменной K. Далее найдем максимум полученной функции. Для этого вычисляем производную функции Q(K) и приравниваем её к нулю: . Из полученного равенства определяем стационарную точку: . Находим вторую производную функции Q(K): . Так как Q отрицательна, то в стационарной точке имеет место максимум целевой функции: . Соответствующие затраты на труд находятся подстановкой оптимальной величины K в ограничение по затратам: . Итак, производственная функция фирмы Q(K,T) достигнет максимума, если затраты на капитал и труд будут 150 и 100 соответственно.
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА
Метод множителей Лагранжа в задаче отыскания условного экстремума является универсальным, так как позволяет решать задачу и в случае, когда трудно или невозможно из уравнения условия (x,y)=0 явно выразить одну из переменных через другую.
Если требуется найти условный экстремум целевой функции:
при наличии условия (ограничения) , то отыскание условного экстремума сводится к исследованию на обычный экстремум так называемой функции Лагранжа: , где - неопределенный постоянный множитель.
Необходимые условия экстремума функции Лагранжа имеют вид Уравнения образуют систему трех уравнений с тремя неизвестными.
Решение этой системы - тройка чисел (x0,y0,λ0) , первые два из которых, т.е. (x0,y0,), и дают координаты точки условного экстремума целевой функции z=f(x,y).
Применим метод множителей Лагранжа для следующей задачи.
Фирма – монополист производит два вида товаров G1 и G2 в количестве Q1 и Q2 соответственно. Функция затрат имеет вид . Кривые спроса для каждого товара: , где P1 и P2 - цена единицы соответственно товаров G1 и G2.
Фирма связана ограничением на общий объем производства товаров G1 и G2, ее квота составляет 19 единиц, т.е. . Требуется найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии.
Для решения задачи построим целевую функцию, в данном случае функцию прибыли, которая определяется как разница между доходом и затратами:
Для дохода от продажи товара G1 имеем: где выражение для P1 берется из кривой спроса товара G1.
Аналогично доход от продажи товара : . Очевидно, что суммарный доход будет . Поскольку затраты известны из условия задачи, то прибыль (целевая функция) имеет вид . Переписав ограничение в виде , получаем задачу условной оптимизации (поиска условного экстремума).
Для ее решения применим метод Лагранжа.
Строим вспомогательную функцию Лагранжа . Вычисляем частные производные и приравниваем их к нулю:
. Полученную систему трех уравнений с тремя неизвестными представим в виде
и решим методом исключения. Для этого складываем первое и второе уравнения, что дает
, . Подставляя полученное значение в первое уравнение, получаем
Ее решение легко находится: Q1=6, Q2=13.
Это и есть координаты точки условного экстремума, т.е. тот объем продаж, при котором прибыль максимальна. Соответствующее значение самой прибыли будет . Метод Лагранжа в том виде, в каком он был изложен, позволяет находить условные экстремумы. Вопрос о том, максимум это или минимум, остается открытым. При решении экономических задач, часто сам характер задачи подсказывает что ожидать – максимум или минимум.
Кроме того, существует простой способ анализа точки экстремума, вытекающий из самого определения максимума. Пусть (x0,y0) – координаты точки экстремума, а f(x0,y0) – соответствующее значение целевой функции.
Берется точка (x,y), близкая к точке (x0,y0), и вычисляется значение целевой функции, т.е. f(x,y) .
Если f(x,y)f(x0,y0) , то в точке (x0,y0) имеет место максимум.
Если f(x,y)f(x0,y0)), то в точке (x0,y0) имеет место минимум.
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
Задачи составляются по таблицам в соответствии с последней цифрой N номера зачетной книжки. Задача 1. Производственная функция фирмы имеет вид Определить уровень затрат на капитал K и труд T, при которых производственная функция Q достигает максимума. Затраты на единицу капитала и труда составляют и соответственно, а общая сумма затрат - S.
Числовые значения параметров задачи 1 даны в табл.1 Таблица 1
N
S
1
1
1
1
3
400
2
2
1
1
3
600
3
2
1
2
3
800
4
3
1
2
3
700
5
3
1
3
3
600
6
3
2
1
2
600
7
3
2
1
3
700
8
3
2
2
4
800
9
4
1
1
2
700
0
4
2
1
2
900
Задача 2. Фирма–монополист производит два вида товаров G1 и G2 в количестве Q1 иQ2 соответственно. Функция затрат имеет вид , а кривые спроса для товаров: ;
. Квота фирмы на общий объем производства товаров G1 и G2 составляет R единиц. Найти максимальную прибыль, которая может быть достигнута при этом условии.
Числовые значения параметров задачи 2 даны в табл.2
Таблица 2
N
F
L
M
A
f
g
B
h
r
R
1
10
2
10
50
1
1
30
1
1
16
2
20
1
16
60
1
1
40
1
1
22
3
15
1
19
40
1
1
60
2
1
20
4
17
1
21
50
1
2
70
1
1
24
5
21
2
17
70
1
2
50
1
1
18
6
19
2
21
80
1
2
50
2
1
30
7
16
3
22
90
2
1
60
1
2
26
8
24
3
18
70
2
1
40
1
2
24
9
22
3
16
60
2
1
30
2
2
32
0
20
4
18
50
2
2
90
1
2
28
ЛИТЕРАТУРА
Шикин Е.В. Математические методы и модели в управлении/ Е.В. Шикин, А.Г. Чхартишвили – М.: Дело, 2000.
Колесников А.Н. Краткий курс математики для экономистов/ А.Н. Колесников – М.: Инфра-М, 2001.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 2 т./ Л.Д. Кудрявцев– М.: Высшая школа, т. 2, 1981.
Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач/ Ф.П. Васильев – М.: Наука, 1980.
Канторович Л.В. Оптимальные решения в экономике/ Л.В. Канторович, А.Б. Горстко – М.: Наука, 1980.
Ларионов А.И. Экономико-математические методы в планировании/ А.И. Ларионов, Т.И. Юрченко, А.Л. Новоселов – М.: Высшая школа, 1991.
СОДЕРЖАНИЕ
РЕКОМЕНДАЦИИ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ КОНТРОЛЬНЫХ РАБОТ 4
ПОНЯТИЕ ОБ УСЛОВНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ 5
МЕТОД ПОДСТАНОВКИ 6
МЕТОД МНОЖИТЕЛЕЙ ЛАГРАНЖА 7
ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНТРОЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ 11
ЛИТЕРАТУРА 12
УСЛОВНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ
В ЭКОНОМИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Методические указания
и контрольные задания
к выполнению самостоятельной работы
Составил ДАЙНИЧЕНКО Николай Владимирович Рецензент И.В. Соломин Корректор Ю.С. Ольховцева
и трудом 
.
,
– количество произведенных товаров и услуг.
. Если цена единицы капитала (основных фондов) равна Pk , а единицы труда - 
, то должно выполняться условие 
.
,
.
.
,
.
.
,
. 
.
.
.
.
,
,
- неопределенный постоянный множитель.
.
,
.
:
.
.
.
,
.
, 
.
.
,
;
.
