Специализация: 010700/17 Теоретическая и математическая физика
Программа: 17/25 Методы и проблемы математической и вычислительной физики
Руководитель программы: проф. В.С. Буслаев
Кафедра высшей математики и математической физики
Научный руководитель: доц. А.А. Федотов
Рецензент: проф. Ф. Клопп О собственных значениях одномерного случайного оператора Шредингера
Пчелин Владимир Александрович
В данной работе изучается считающая функция количества собственных значений одномерного случайного непрерывного оператора Шредингера на конечном интервале с граничными условиями Дирихле. В качестве потенциала взята сумма дельта-функций, расставленных по одной в каждую целую точкую. При этом амплитуды дельта-функций являются независимыми одинакого распределенными случайными величинами. Кроме того нас будет интересовать предел, когда длина конечного интервала, на котором рассматривается оператор, а соответственно и количество дельта-функции на интервале, стремится к бесконечности.
Хорошо известно, что в старшем порядке считающая функция совпадает со своим математическим ожиданием. Более того, эта величина является интегрированной плотностью состояний. Поэтому нам было интересно исследовать второй порядок считающей функции. В этом порядке считающая функция уже не является неслучайной величиной.
В работе показано, что распределение отцентрированной и отнормированной считающей функции слабо стремиться к нормальному закону распределения.
В ходе доказательства основного результатабыли исследованы асимптотические свойсва операторов Маркова, порожденных изучаемым уравнением Шредингера. Доказано, что такие операторы при определенных условиях на потенциал являются асимптотически стабильными. Последнее имеет ряд непосредственных следствий. Например, оказывается, что остаток от деления считающей функции на целое число асимптотически равновероятно принимает любое из возможных своих значений.
