Основные теоремы о непрерывных функциях Теорема I
|
Скачать 33.6 Kb.
|
| Основные теоремы о непрерывных функциях Теорема 1. (I теорема Больцано-Коши). Пусть функция  определена и непрерывна на  и на концах принимает значения разных знаков, т.е.  , тогда существует точка  , такая что  .Замечание. О единственности точки  ничего не утверждается.Доказательство: Допустим, что  ,  . Разделим отрезок пополам, т.е. рассмотрим точку  . Возможны 3 случая: 1)   ;2  ) ,(рассмотрим отрезок  );3)  .(рассмотрим отрезок  );Рассмотрим отрезок , где  и  .Теперь разделим  пополам и тоже самое проделаем для данного отрезка. Продолжим этот процесс до  -ого шага.Получим отрезок  , где  ,  . Разделим отрезок пополам и рассмотрим 3 случая:1) 2)  (рассмотрим отрезок  );3)  (рассмотрим отрезок  ).Либо этот процесс через конечное число шагов закончится, когда  ,  , либо продолжится до бесконечности. Получим последовательность вложенных отреков:  и т.к.  , то выполняются все условия теоремы о вложенных отрезках. Из этой теоремы следует, что  . К тому же можно сказать, что  монотонно возрастает и стремится к  ( и  ),  монотонно убывает и стремится к ( и ), и как известно  ,  . Из-за непрерывности функции следует, что если  , с другой стороны , то получим, что  , а также  , с другой стороны , то получим, что  . Получили, что  . Ч.т.д.Теорема 2. (II теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на . Обозначим:  ,  и допустим, что  . Тогда, для  ,  , что  .Иначе говоря, значения непрерывной функции охватывают весь отрезок  .Доказательство: Введем дополнительную функцию  . Понятно, что если непрерывна на , то  будет также непрерывна на и  . Т.к.  , то   и  , т.к.  , т.е. для функции на отрезке выполняются все условия I теоремы Больцано-Коши. Следовательно, обязательно существует такая точка , что  , и т.к.  Теорема 3. (I теорема Вейерштрасса). Любая непрерывная на отрезке функция ограниченная.Доказательство: показать, что функция  – ограниченная, означает показать, что  что  . Пусть это условие нарушается, тогда для любого натурального числа  существует  что  . Т.к.  ограниченная то по теореме Больцано-Вейерштрасса  тогда  при  .С другой стороны,  а – непрерывная, то  . Оказывается, что с одной стороны,  (к конечному числу), а с другой стороны  . Пришли к противоречию, т.е. – ограниченная. Ч.т.д.Например, функция  определена на отрезке  , но неограниченная, т.к.в точке  функция не является непрерывной.Если функция непрерывна на , то – ограниченная функция, т.е. если обозначить  , то множество  будет ограниченным. Тогда  .Возникает вопрос, достигает ли функция значений  ?Теорема 4. (II теорема Вейерштрасса). Любая непрерывная на отрезке функция достигает своего наибольшего и наименьшего значения, т.е.  , что  и  .Доказательство: допустим это не так, т.е.  и  Обозначим через  . Функция – непрерывна на отрезке , т.к.  – непрерывная функция и  . Следовательно, по I теореме Вейерштрасса, функция – ограниченная, т.е. , что  . Следовательно,    . А это противоречит, тому, что  не должна быть верхней гранью, но  . Пришли к противоречию.С помощью данной теоремы перефразируем II теорему Больцано-Коши: Пусть функция определена и непрерывна на . Обозначим  и  , тогда значения функции охватывают весь отрезок  , т.е  , , что . |
Похожие:
 | Основные теоремы о непрерывных функциях Теорема I Теорема (I теорема Больцано-Коши). Пусть функция определена и непрерывна на и на концах принимает значения разных знаков, т е., тогда... | | Программа по математике для вступительного экзамена в аспирантуру на математическом факультете Омгу по специальности 01. 01. 04- «Геометрия и топология» Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о средних значениях, теорема о неявных функциях, формула Тейлора). Основные... |
| Программа для поступающих в аспирантуру по специальности 05. 13. 18 Математическое Основные теоремы дифференциального исчисления (теорема о средних значениях, теоремы об экстремуме функций, формула Тейлора ) | | Дифференциальная геометрия и топология Теорема о неявных функциях (формулировка), теорема об обратном отображении, теорема "об образе" |
| Теорема дедукции § Формулировка теоремы и некоторые следствия Теорема Замечания. Применяя к утверждению теоремы снова несколько раз теорему дедукции, можно, очевидно, получить новые следствия | | Программа составлена кандидатом физ мат наук Барановым В. Н Симплексы и триангуляция множеств. Нумерации и лемма Шпернера. Теорема Брауера. Теоремы о неподвижной точке в бесконечномерных пространствах.... |
| Вопросы к переводному экзамену в 10 класс по курсу математики ... | | Вопросы к экзамену по теории чисел 2011-12 уч г. 1 Теорема о рациональных числах и непрерывных дробях Теорема о сходимости последовательности подходящих дробей бесконечной цепной дроби (доказать) |
| Разложение непрерывной функции в ряд многочленов. Теорема Вейерштрасса Определение равномерной сходимости и теорема о непрерывности предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций... | | «Теорема Пифагора» Применение теоремы Пифагора для решения нестандартных задач; демонстрация разнообразия доказательств теоремы |