Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68



Скачать 117.28 Kb.
Дата25.12.2012
Размер117.28 Kb.
ТипПрограмма
ПРОГРАММА ВСТУПИТЕЛЬНОГО ЭКЗАМЕНА ПО МАТЕМАТИКЕ ДЛЯ ПОСТУПЛЕНИЯ В МАГИСТРАТУРУ ПО НАПРАВЛЕНИЮ 010100.68

«МАТЕМАТИКА» ПО ПРОГРАММЕ «МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ»

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

Действительные числа. Множества на числовой прямой. Существование точных граней ограниченных числовых множеств.Элементы теории множеств. Операции над множествами. Понятие счетного множества. Несчетность множества действительных чисел.

Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши сходимости последовательности. Сходимость монотонных последовательностей. Число “e”. Предельные точки последовательности. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Верхний и нижний пределы числовых последовательностей.

Функция действительной переменной. Предельное значение функции в точке по Коши и по Гейне. Критерий Коши существования предела. Существование односторонних пределов у монотонных функций.

Непрерывность функции в точке. Классификация точек разрыва. Теоремы Вейерштрасса. Равномерно непрерывные функции. Теорема Кантора.

Производная. Геометрический и механический смысл производной. Первый дифференциал функции в точке. Производные и дифференциалы суммы, произведения и частного. Производная сложной функции и инвариантность формы первого дифференциала. Дифференцирование обратной функции.Теоремы Ролля, Лагранжа, Коши, и Дарбу. Правила Лопиталя.

Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница. Производные высших порядков элементарных функций. Формула Тейлора. Разложение по формуле Тейлора элементарных функций. Символы “O” и “o”.

Исследование графиков функций. Условие монотонности дифференцируемых функций. Условие выпуклости графика функции. Точки экстремума функций. Необходимое и достаточное условия экстремума в точке. Асимптоты. Точки перегиба. Общая схема построения графика функции.

Приближенные методы вычисления корней уравнений. Метод последовательных приближений. Метод хорд. Метод касательных. Оценки погрешностей.

Первообразная функция и неопределенный интеграл. Основные методы интегрирования. Интегрирование элементарных функций. Определенный интеграл Римана. Критерий Дарбу интегрируемости по Риману. Свойства определенного интеграла. Теоремы о среднем значений. Существование первообразной для непрерывной функции. Формула Ньтона-Лейбница. Замена переменной и интегрирование по частям.

Несобственный интеграл Римана от функций, определенных на полупрямой и на всей числовой прямой. Критерий Коши сходимости несобственного интеграла. Абсолютная и условная сходимости. Признаки сходимости. Несобственный интеграл от неограниченной функции. Главное значение несобственного интеграла .

Функции ограниченной вариации на прямой. Интеграл Римана - Стильтеса. Длина дуги, площадь фигуры, объем тела. Общая схема применения интеграла Римана к вычислению геометрических, механических и физических величин.
Приближенное вычисление интегралов Римана: формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона. Оценка погрешности.
Евклидово пространство. Алгебраические свойства, скалярное произведение, метрика. Сходящиеся последовательности и их свойства. Критерий Коши существования предела. Предельные точки множества. Открытые и замкнутые множества. Теорема Больцано - Вейерштрасса.

Функций нескольких действительных переменных. Предел функции в точке. Непрерывность функции. Теоремы Вейерштрасса. Равномерная непрерывность функций. Теорема Кантора. Частные производные функции нескольких переменных. Дифференцируемость функции в точке. Связь дифференцируемости с существованием частных производных. Геометрический смысл дифференцируемости. Дифференцируемость сложных функций и инвариантность формы первого дифференциала, Производная по направлению. Градиент.

Производная и дифференциалы высших порядков. Теорема о равенстве смешанных производных. Формула Тейлора для функции нескольких переменных.

Неявные функции. Теоремы существования, дифференцируемости неявных функций. Системы функций и векторные функции. Теоремы об обратной функции. Теоремы о зависимости и независимости системы функций.

Экстремум функции нескольких переменных. Необходимые условия экстремума в терминах первого дифференциала. Достаточные условия экстремума. Понятие об условном экстремуме. Общая схема отыскания наибольших и наименьших значений функции нескольких переменных. выпуклые функции.
Основные понятия о числовых рядах. Критерий Коши сходимости рядов. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения. Признаки Коши и Даламбера. Признаки Лейбница, Абеля и Дирихле. Арифметические операции над сходящимися рядами. Бесконечные произведения. Двойные и повторные ряды. Понятие об обобщенных методах суммирования расходящихся числовых рядов.

Функциональные последовательности. Равномерная сходимость. Критерий Коши равномерной сходимости. Теоремы о непрерывности предельной функции и почленном интегрировании и дифференцировании. Функциональные ряды. признаки Вейерштрасса, Абеля и Дирихле равномерной сходимости. Степенные ряды. Ряд Тейлора.
Двойные, тройные и n-кратные интегралы Римана. Условие интегрируемости функции и классы интегрируемых функций. Свойства интеграла Римана. Сведение кратных интегралов к повторным. Замена переменных. понятие о несобственных кратных интегралах Римана. Главное значение несобственного интеграла.

Общая схема применения кратных интегралов Римана к задачам геометрии, механики и физики.

Способы задания кривых на плоскости и в пространстве. Касательная и нормаль, кривизна и радиус кривизны. Криволинейные интегралы первого рода. Криволинейные интегралы второго рода.

Понятие о поверхности в трехмерном пространстве и способы задания поверхности. Касательная плоскость и нормаль. Поверхностные интегралы первого и второго рода. Основные операции теории поля и их выражения в криволинейных координатах. Формулы Грина, Стокса и Остроградского и их приложения.

Интегралы зависящие от параметра. Непрерывность, инегрирование и дифференцирование по параметру. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. признаки равномерной сходимости. инетегрирование и дифференцирование несобственных интегралов по параметру. Гамма-функция, бета- функция, их основные свойства.
Ортонормированные системы в евклидовых пространствах, Ряды Фурье по ортонормированным системам. Неравенство Бесселя. Замкнутые и полные ортонормированные системы. Равенство Парсеваля. Тригонометрическая система и его замкнутость. Тригонометрические ряды Фурье. Условия равномерной сходимости и сходимости в точке. Условия почленного дифференцирования. Понятие о кратных рядах Фурье (в комплексной форме). Преобразование Фурье. Свойства преобразования Фурье. Понятие об обратном преобразовании Фурье. Интеграл Фурье.
Мера Лебега на прямой и в n-мерном пространстве. Измеримые множества. счетная аддитивность меры Лебега. измеримые функции. Сходимость почти всюду и сходимость по мере, связь между ними. Интеграл Лебега по измеримому множеству конечной меры. Связь интеграла Лебега с интегралом Римана. Теоремы Лебега, Леви и Фату о предельном переходе под знаком интеграла.
АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Простейшие задачи аналитической геометрии. Векторная алгебра. Афинные координаты. Формула преобразования координат. Уравнение линии. Уравнение плоскости. Линейные образы на плоскости и в пространстве. Различные виды задания уравнения прямой и плоскости. Углы между прямыми и плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскостей. Расстояния между точкой и прямой, точкой и плоскостью.

Приведение уравнений линии о поверхности второго порядка к каноническому виду. Метод вращений. Метод Лагранжа. Классификация и исследование линий и поверхностей второго порядка.

Множество. Отображения. Бинарные отношения. Отношение эквивалентности. Факторизация отображений. Принцип математической индукции. Арифметика целых чисел. Алгебраические структуры (группы, кольца, поля). Множества с алгебраическими операциями. Бинарные операции. Полугруппы и моноиды. Группы, симметрические группы. Морфизмы групп. Смежные классы по подгруппе. Кольца и поля. Понятие о факторгруппе и факторкольце. Типы колец. Поле. Характеристика поля.

Поле комплексных чисел. Кольцо многочленов. Делители многочленов, алгоритм Евклида. Корни многочленов. Основная теорема алгебры. Каноническое разложение многочленов над полем комплексных чисел и над полем вещественных чисел.

Матрицы, операции над ними. Элементарные преобразования матрицы и матрицы элементарных преобразований. Определители, их свойства. Теорема Лапласа. Обратная матрица, критерий обратимости матрицы. Ранг матрицы, теорема о базисном миноре. Исследование систем линейных алгебраических уравнений. Правило Крамера. Метод Гаусса.

Линейное пространство. Линейная зависимость векторов. Конечномерные линейные пространства, базис и размерность. Преобразование координат вектора при изменении базиса. Линейные подпространства, линейные оболочки. Геометрические свойства множества решений систем линейных алгебраических уравнений с точки зрения фактов линейного пространства.

Евклидово и унитарное пространства. Ортонормированный базис. Процесс ортогонализации. Определитель Грамма. Ортогональное дополнение.

Линейные операторы и действия над ними. Образ и ядро линейного оператора. Матрица линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора. Инвариантные подпространства. Собственные значения и собственные векторы. Каноническая форма матрицы линейного оператора.

Линейные операторы в евклидовом пространстве и унитарном пространстве. Сопряженный оператор. Нормальный оператор. Самосопряженный и унитарный операторы.

Билинейные и квадратичные формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Закон инерции. Критерий Сильвестра.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО

Комплексные числа. Сходящиеся последовательности комплексных чисел. Критерий Коши. Расширенная комплексная плоскость (сфера Римана). Функции одной комплексной переменной. Предел и непрерывность функции в точке. простейшие элементарные функции комплексной переменной и соответствующие им отображения (линейная функция, дробно-линейная функция, показательная и логарифмическая функции, степенная функция, функция Жуковского).

Производная функции комплексной переменной. Аналитические функции. Условия Коши-Римана и гармонические функции. Дифференцирование элементарных функций.

Интеграл от функции комплексной переменной. Теорема Коши. Первообразная функции комплексной переменной. Интеграл Коши и интегральная формула Коши.

Степенные ряды. Аналитические функции и их разложения в степенные ряды. Свойства максимума модуля аналитических и гармонических функций.

Изолированные особые точки аналитических функций и их классификация. Ряд Лорана. Изучение аналитических функций в окрестности бесконечно удаленной особой точки.

Вычеты и основная теорема о вычетах. применение к вычислению интегралов. Лемма Жордана.

Конформные отображения односвязных областей. Примеры. Теорема Римана (без доказательства). Преобразование Лапласа и понятие и понятие об операционном исчислении.


ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ.

Поле направлений, изоклины, ломаные Эйлера. Численное решение дифференциального уравнения, как задача математического моделирования, Методы первого, второго и старших порядков. Теорема о независимых интегралах уравнения первого порядка.

Теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий. Дифференцируемость решений по начальным условиям и параметрам. Уравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним. Однородные уравнения и приводящиеся к ним. Уравнения Бернулли и Риккати, методы их решения, наличие особых решений. Уравнения в полных дифференциалах и приводящиеся к ним. Уравнения первого порядка, неразрешённые относительно производной. Постановка задачи Коши и поля направлений, теорема о существовании и единственности решений задачи Коши. Уравнения Лагранжа и Клеро.
Задача Коши, граничные задачи. Общий интеграл, общее решение, промежуточные интегралы, понижение порядка уравнения с помощью интегралов. Интегрирование уравнений, приведение уравнения “n” порядка к системе уравнений первого порядка. Теорема Пикара - Коши для нормальной системы. Свойства решений нормальной системы. Теорема о степени гладкости решений. Теорема Пеано. Теорема Коши о существовании голоморфных решений нормальной системы. Теоремы о непрерывной зависимости решений от начальных условий и параметров. Теория интегралов нормальной системы. Линейные модели и принцип линеаризации. Теорема Пикара-Коши для линейных уравнений и систем. Фундаментальная система решений, теорема о её существовании. Общее решение однородных уравнений и систем. Общее решение неоднородных уравнений и систем. Метод вариации постоянных. Формула Остроградского - Лиувилля. Линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами. Характеристические уравнения, построение фундаментальной системы решений. Линейный осциллятор, понятие о резонансе. Линейные уравнения с периодическими коэффициентами.

УРАВНЕНИЯ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ.

Особенности решений, сравнение с обыкновенными уравнениями, примеры. Задача Коши. Уравнения первого порядка: линейные уравнения (характеристики, теорема об общем решений, решение задачи Коши), квазилинейные уравнения (решение в неявной форме, общее и специальное решение, решение задачи Коши). Геометрические представления в трёхмерном пространстве (непрерывное векторное поле, линии поля, геометрические свойства интегральных поверхностей, характеристики и интегральные поверхности).
Классификация уравнений с частными производными второго порядка и приведение их к каноническому виду. Задача Коши. Теорема Кооши - Ковалевской.

Уравнения гиперболического типа, физические задачи, приводящие к ним. Постановка основных задач. Задача Коши для волнового уравнения и распространение волн в неограниченном пространстве. Существование и единственность решения. Задача с данными на характеристиках. Краевые задачи для уравнения колебании. Интеграл энергии, теоремы единственности и устойчивости. Методы решения краевых задач. Метод разделения переменных. Терема существования решения. Собственные значения и собственные функции задачи Штурма-Лиувилля. Специальные функции и их применение к решению задач математической физики.

Уравнения параболического типа. Физические задачи, приводящие к уравнениям параболического типа. Принцмп максимума. Постановка основных задач. Теоремы единственности и устойчивости. Фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Интеграл Пуассона. Методы решения основных задач. Теоремы существования решения.

Уравнения эллиптического типа. Уравнения Лапласа и Пуассона, постановка основных краевых задач. Свойства гармонических функций. Задача Дирихле, теремы единственности и устойчивости. Задача Неймана, неединственность решения. Фундаментальные решения уравнения Лапласа. Функция Грина. Формула Пуассона для шара и круга. Уравнение Гельмгольца. Теория потенциала. Сведение краевых задач для уравнений эллиптического типа к интегральным уравнениям. Теоремы существования решений основных краевых задач. Понятие обобщенного решения задач математической физики.

ЛИТЕРАТУРА


  1. Курош А.Г. Курс высшей алгебры: Учеб. М.: Наука, 1975. 431 с

  2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия: Учеб. М.: Наука, 2001. 232 с.

  3. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра: Учеб. М.: Наука, 2001. 295 с.

  4. Проскуряков И.В. Сборник задач по линейной алгебре: Учеб. пособие. М.-СПб: Наука-Лань, 2008. 336 с.

  5. Койбаев В.А. Лекции по алгебре. Владикавказ: Изд-во СОГУ, 2007.

  6. Кострикин А.И. Введение в алгебру. М.: Наука, 1977.

  7. Бахвалов С.В., Моденов П.С., Пархоменко А.С. Сборник задач по аналитической геометрии: Учеб. пособие. М.: Наука, 1964. 440 с.

  8. Икрамов Х.Д. Задачник по линейной алгебре: М.: Наука, 1975, 320 с.

  9. Основная

  10. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.: Учеб. Пос. В 2-х ч.: М.: Наука, 2003.

  11. Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Учеб.: В 2 ч. М.: Из-во Моск. ун-та, 2004.

  12. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: Учеб.: В 3 т. М.: Наука, 2005.

  13. Никольский С.М. Курс математического анализа: Учеб.: В 2 т. М.: Наука, 1983. 2 т.

  14. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного: Учеб. пособие. М.: Наука, 1979. 76 с.

  15. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной: Учеб. М.: Наука, 1999. 319 с.

  16. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа: Учеб. М.: Наука, 1981. 542 с.

  17. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной: Учеб. пособие М.: Наука, 1974. 480 с.

  18. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу: Учеб. пособие М.: Наука, 1979. 527 с.

  19. Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу: Учеб. пособие: В 2 ч. М.: Наука, 1984-1986. 2 ч.

  20. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. М.: Наука, 1981.

  21. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учеб. пособие: В 3 т. М.: Наука, 1969-1970. 3 т.

  22. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965. 520 с.

  23. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985. 231 с.

  24. Понтрягин Л.С. Обыкновенные дифференциальные уравнения .М.: Наука, 1982. 231 с.

  25. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1977. 735 с.

  26. Смирнов В.И. Курс высшей математики: Учеб.: В 4 т. Т. 2. М.: Наука,1981. 655 с. Т 4. М.: Наука, 1981. ч.2.

  27. Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных: Учеб. пособие. М.: Наука, 1983. 424 с.

  28. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике: Учеб. пособие. М.: Наука, 1980. 686 с.

  29. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики: Учеб. М.: Наука, 1982. 336 с.

  30. Владимиров В.С. Уравнения математической физики: Учеб. пособие. М.: Наука, 1981. 512 с.

  31. Кошляков Н.С. и др. Уравнения в частных производных математической физики: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 1970. 710 с.





Похожие:

Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по направлению подготовки
Цель вступительного экзамена в магистратуру по направлению 022000. 68 Экология и природопользование – проведение конкурсного отбора...
Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconПрограмма вступительного испытания в магистратуру Собеседование по направлению подготовки 010100 «Математика»
Программа предназначена для подготовки выпускников бакалавриата и специалистов к вступительному собеседованию в магистратуру математического...
Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconПрограмма вступительного экзамена для поступающих в магистратуру по направлению «История» Издательство
История мировых цивилизаций (Всеобщая история): Программа вступительного экзамена для поступающих в магистратуру по направлению «История»...
Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconТребования и содержание вступительного экзамена по иностранному языку в магистратуру мгимо (У) по направлению «Международные отношения»
К моменту поступления в магистратуру мгимо (У) у поступающих должны быть сформированы следующие компетенции
Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconПрограмма междисциплинарного экзамена для поступления в магистратуру по направлению 240100 «Химическая технология» по кафедре
Вопросы к междисциплинарному вступительному экзамену в магистратуру по образовательной программе (профилю)
Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconПрограмма вступительных испытаний по математике для поступающих в магистратуру по направлению
Целью экзамена по математике является контроль уровня общей математической культуры поступающих в магистратуру и проверка их подготовленности...
Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconПрограмма экзамена-собеседования для поступления в магистратуру по специальности: «Культурология» Часть Теория культуры Тема Теория культуры как специальная дисциплина современной культурологии
Программа экзамена-собеседования для поступления в магистратуру по специальности
Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconПрограмма междисциплинарного вступительного экзамена в магистратуру по направлению подготовки

Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по направлению 010100 «Математика» Дисциплина: Математический анализ
Точки разрыва. Ограниченность функции, непре­рывной на отрезке. Существование наибольшего и наименьшего значений функции. Прохождение...
Программа вступительного экзамена по математике для поступления в магистратуру по направлению 010100. 68 iconПрограмма вступительного экзамена в магистратуру по иностранному языку
В программу вступительного экзамена включены практические курсы по иностранным языкам
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org