Неопределенный интеграл Пусть имеем функцию. Определение
|
Скачать 25.56 Kb.
|
| Неопределенный интеграл Пусть имеем функцию  .Определение. Первообразной функцией называется такая функция  , которая имеет производную в любой точке и  .Например:  ,   ,  .Если – первообразная, то  тоже первообразная. Возникает вопрос: если  , то все ли первообразные задаются формулой ?Лемма. Если функции и  первообразные для , то существует такая постоянная  , что  Доказательство: Известно, что  и  . Рассмотрим     ,  . Ч.т.д.Из леммы следует, что множество всех первообразных дается формулой  , где  некоторая первообразная для функции Определение. Совокупность всех первообразных функции называется неопределенным интегралом: .Таблица простейших интегралов 1.  ;2.  ;3.  ;4.  ;5.  ;6.  ;7.  ;8.  ;9.  ;10.  ;11.  ;11a.  ;12.  ;12a.  ;13.  ;13a.  ;14.  .Свойства неопределенного интеграла 1.  Доказательство:   . Ч.т.д.2.  Доказательство:  . Ч.т.д.3.  Доказательство:   Ч.т.д. 4.  Доказательство:   Ч.т.д. Замена переменной в неопределенном интеграле Пусть имеем интеграл  и предположим, что  где  непрерывно дифференцируемая функция. Тогда если  , то  .Другими словами  .Доказательство: Допустим, что и докажем, что . Посчитаем  , т.к.  .Данная формула имеет многократное применение, в частности  .Примеры: 1.  .2.  .3.  .4.  .5.  .Интегрирование по частям в неопределенном интеграле Рассмотрим производную от произведения  и дифференциал от произведения  . Из этого тождества следует, что множество первообразных тоже равны, т.е.   .Отсюда имеем формулу интегрирования по частям:  . Примеры: 1.  .2.  . .4.  которое после  раз интегрирования по частям вычисляется.5.    |
Похожие:
 | Неопределенный интеграл Пусть имеем функцию. Определение Определение. Первообразной функцией называется функция, если имеет производную в любой точке и | | Объем тела с помощью интегралов можно найти объем любого тела. Найдем объем тела вращения. Пусть имеем функцию, которая определена на и предположим, что она непрерывная функция рис. 1 Определение С помощью интегралов можно найти объем любого тела. Найдем объем тела вращения. Пусть имеем функцию, которая определена на и предположим,... |
| Понятие производной функции Пусть имеем функцию, определенную на множестве и пусть точка внутренняя точка, т е точка для которой существует окрестность. Возьмем... | | Применение производной Определение первообразной. Теорема об общем виде первообразных. Неопределенный интеграл |
| Лекция 14. Неопределенный интеграл Опр. Пусть задана функция. Функция называется первообразной функции на, если | | Теорема ферма Определение. Пусть имеем функцию определенную на множестве, и внутренняя точка. Точка называется точкой максимума (точкой минимума)... |
| 5. Неопределенный интеграл 1 Первообразная и неопределенный интеграл К числу важных прикладных задач относятся задачи определения закона движения частицы по известной скорости и определения скорости... | | Лекция 12. Первообразная и неопределённый интеграл. 12 Первообразная функция. Определение Определение: Функция F(x) называется первообразной функцией функции f(x) на отрезке [a, b], если в любой точке этого отрезка верно... |
| Лекция №8 (2 часа) Неопределенный интеграл План Определение неопределенного интеграла Охватывает совокупность всех первообразных от данной функции | | Конспект по датам. Лекция 1: 10 февраля Глава Неопределённый интеграл опр и свойства Определение первообразной, Свойства: что F+C тоже перв. (Док-ть), что разность двух первообр = C. Определение неопр интеграла. Свойства... |