Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области



Дата25.12.2012
Размер68.9 Kb.
ТипДокументы




УДК 517.946

ИНТЕГРАЛЬНАЯ ФОРМУЛА ДЛЯ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО ТИПА В НЕОГРАНИЧЕННОЙ ОБЛАСТИ
Жураев Д.А.

Самаркандский государственный университет, кафедра: Дифференциальные уравнения, ассистент
Научный руководитель – к.ф-м.н., доцент З. Маликов
Рассмотрена интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Гельмгольца в неограниченной области с растущими решениями систем.

В работе [1] доказана интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа первого порядка, с постоянными коэффициентами в ограниченной области.

Для гармонических функций в неограниченной области в работе [2] приведена интегральная формула со специальным ядром. При помощи этих конструкций для систем уравнений эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами факторизуемым оператором Лапласа, в работе доказана справедливость интегральной формулы в неограниченной области. Конструкция построения фундаментальных решений позволяет доказать интегральную формулу в неограниченной области. Используя, методику работы и , построим интегральной формулы с растущими решениями.

Пусть трехмерное вещественное евклидово пространство, , . ограниченная односвязная область, граница которой состоит из гладкой поверхности . транспонированный вектор ,



диагональная матрица, .


Обозначим через и линейные алгебры многочленов от и с коэффициентами из поля или .

Пусть и натуральные числа; ,

, для всех ,

(это условие означает, что операторы - эллиптические)..

Тогда означает класс матриц с элементами из линейных функций с постоянными коэффициентами комплексной плоскости , для которых выполняется условие:

,

где эрмитово сопряженная матрица к , вещественное число.

Пример.





Легко проверяется соотношения , где .

Рассмотрим в области систему дифференциальных уравнений

(1)

где характеристическая матрица.

Обозначим через класс вектор-функций, являющийся решением систем дифференциальных уравнений (1) в , и непрерывных на .

Если , то верна следующая интегральная формула типа Коши [1]



где

. (2)

Здесь внешняя единичная нормаль, проведенная в точке , поверхности фундаментальное решение уравнения Гельмгольца.

Формула (2) верна, если вместе поставим функцию

, (3)

где регулярное решение уравнения Гельмгольца.

Обозначим, через целую функцию, принимающую вещественные значения при вещественном и удовлетворяющую условиям:

(4)

Функцию при определим следующим равенством:

, (5)

В работе доказано, что функции , построенные по формуле (5) представимы в виде (3).

Тогда формула (2) имеет следующий вид



где

(6)

Формулу (6) обобщим для случая, когда неограниченная область.

Пусть, неограниченная область, с кусочно-гладкой границей (простирается до бесконечности).

Обозначим через часть , лежащую внутри круга радиуса с центром в нуле:

.

Теорема 1. Пусть , конечносвязная неограниченная область в , с кусочно-гладкой границей .

Если при каждом фиксированном имеет место равенство

, (7)

то верна формула (6).

Доказательство. Действительно, при фиксированном и учитывая (6), имеем



Учитывая условие (7), при , получаем (6).

Пусть, неограниченная область лежит внутри слоя наименьшей ширины, определяемой неравенством

,

причем простирается до бесконечности.

Предположим, что для некоторого площадь удовлетворяет условию роста

, (8)

Пусть, удовлетворяет условию роста

(9)

В равенство (5) положим

(10)

где

.

Тогда верно интегральное представление (6).

При фиксированном и , оценим функцию и ее производные и . Для оценки воспользуемся равенством

, (11)

Действительно,



Так как



Следовательно,

,

не обращается в нуль в области и



Выберем теперь с условием . Тогда выполняется условие (8) и верна интегральная формула (6). Условие (10) можно ослабить.

Обозначим

.

Справедлива следующая

Теорема 2. Пусть , удовлетворяет условию роста

(12)

где -некоторая константа.

Тогда справедлива формула (6).

Доказательство. Рассечем области линией на две области

и .

Рассмотрим область . В формуле (5) вместе поставим

(13)

Здесь определяется из (10). При этих обозначениях верна оценка (8).

Действительно,



так как

и .

Соответствующую обозначим через .

Так как



то при фиксированного , для и ее производные верна асимптотические оценки



Пусть в области удовлетворяет условию роста

(14)

Выберем в (13) из неравенства .

Тогда для области выполняется условие (12), следовательно, верна следующая интегральная формула

(15)

Если удовлетворяет в условию роста (12), то при аналогично получим следующую интегральную формулу



где

(16)

Здесь определяется формулой (5), в которой заменяется функцией

(17)

где

.

В полученных при этом формулах интегралы (согласно (9)) равномерно сходится при , когда . Положим в этих формулах и объединяя полученные формулы, найдем



где

(18)

(интегралы по сечению взаимно уничтожается)

.

Здесь определяется формулой (5), в которой определяется из (17), где положено . Согласно принципу продолжения, формула (15) верна для . При условие (12) формула (15) верна для . Пологая получим доказательство теоремы.
Список литературы

1. Тарханов Н.Н. Об интегральном представлении решений систем линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка в частных производных и некоторых его приложениях // Некоторые вопросы многомерного комплексного анализа. Институт физики АН СССР, Красноярск, 1980 г. С. 147-160.

2. Ярмухамедов Ш. О продолжении решения уравнения Гельмгольца. ДАН, Узбекистан 1997 г. Т. 357. № 3. C. 320-323.

3. Маликов З., Ниёзов И. Интегральная формула для систем эллиптического типа первого порядка с постоянными коэффициентами в неограниченной области. Узбекский Математический Журнал, № 3-4, Узбекистан, 2001. С. 28-32.

4. Ярмухамедов Ш. Формула Грина в бесконечной области и ее применение.- Изв. АН СССР. Сер. Физ-мат. 1981, №5. С.36-42.

5. Алексидзе М. А. Фундаментальные функции в приближенных решениях граничных задач, Наука, Москва, 1991 г. – С. 164.

6. Yarmukhamedov Sh., Yarmukhamedov I. Cauchy problem for the Helmholtz equation // Inverse and Ill-Posed Problems Series Proceedings of the International Conference Samarkand, Uzbekistan. Utrecht. Boston 2003. P. 143-172.

Похожие:

Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconУдк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла
Ключевые слова: уравнений Максвелла, некорректные задачи, регулярное решение, матрицы Карлемана
Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconБбк 22. 161 Удк 517. 53 + 517. 574 Нулевые подмножества для весовых классов голоморфных функций
Анонсируются условия, при которых подмножество области на комплексной плоскости является нулевым подмножеством для весового класса...
Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconТочные решения обобщенных уравнений типа рассматривается класс уравнений типа
Рассматривается класс уравнений типа. Используя переменную бегущей волны и метод простейших уравнений, построены точные решения для...
Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconРешение систем линейных уравнений в среде Mathcad
Для решения систем уравнений, систем неравенств и смешанных систем в Mathcade используется механизм, называемый solve block
Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconО численном решении класса задач оптимального управления для систем леонтьевского типа
Динамические балансовые модели экономической системы, представленные в виде вырожденной линейной системы уравнений (системы леонтьевского...
Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconХарактеристические многообразия для уравнений гиперболического типа
Характеристическая нормальная форма для гиперболических систем первого порядка. (1 лекция)
Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconУдк 323. 17(479. 2=946. 113) ббк 63. 3(531. 7Абх) Ш19 Ш19 Шамба Т. М., Непрошин А. Ю. Абхазия. Правовые основы государственности и суверенитета
Книга предназначена для специалистов в области истории, юриспруденции, социологии, политологии и всех, кто интересуется историко-правовыми...
Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconПрименимость компактно поддерживаемых нейронных сетей для решения дифференциальных уравнений в частных
В работе рассматриваются численные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных (дучп). Предложено использование...
Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconРазработка и применение численного метода решения линейных эллиптических уравнений в неограниченной области
В трехмерном случае метод требует действий. Приведены результаты тестовых расчетов, подтверждающие эффективность метода
Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области iconРешение систем линейных алгебраических уравнений и неравенств. Выпуклые многогранники и многогранные области
...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org