Последовательности



Скачать 189.38 Kb.
страница1/2
Дата25.12.2012
Размер189.38 Kb.
ТипКонспект
  1   2

Конспект лекций Логинов А.С. ЭТФ 1 семестр loginov_1999@mail.ru

Глава 2. Последовательности


§1. Основные понятия, относящиеся к последовательностям

1. Ограниченная последовательность. Точная верхняя (нижняя) грань. Монотонные последовательности

Определение. Последовательность {an} определяется как отображение множества натуральных чисел в множество действительных чисел, {an}: nan .

Ограниченность сверху. b nN: an b. Такое b называется верхней гранью последовательности {an}. Таким образом, последовательность называется ограниченной сверху, если у ней существует хотя бы одна верхняя грань.

Ограниченность снизу. a nN: an a. Существует нижняя грань.

Ограниченность. c nN: |an| c. Существуют верхняя и нижняя грани.

Примеры: {(-1)n}, sin n,

Определение точной верхней грани. b = sup {xn}:

  1. nN: xn b ( b есть верхняя грань )

  2. >0 nN: xn > b -  ( никакое меньшее число не является верхней гранью )

Аналогично определяется inf.

Пример. Написать на кванторах утверждение b sup {xn}.

b sup {xn} означает отрицание b = sup {xn}. Таким образом, выполнено

или отрицание 1), или отрицание 2).

Другими словами:

или

  1. nN: xn > b

или

2) >0nN: xn b -

Монотонно возрастающая последовательность {an} .


nN: an  an+1

Строго монотонно возрастающая последовательность {an}.

nN: an < an+1.

Аналогично даются определения монотонных убывающих последовательностей.

2. Предел последовательности

запись на кванторах

{xn} сходится (у последовательности есть конечный предел)

Если последовательность не является сходящейся, то говорят, что она расходится. Построить отрицание предыдущего высказывания.

Замечание.

Бесконечно малая последовательность {xn}:.

Замечание. {xn}a xn=a+n, где n- бесконечно малая последовательность.

3. Несобственные пределы







Последовательность, удовлетворяющая одному из этих условий называется бесконечно большой (б.б.).

Замечание. Бесконечно большая последовательность расходится.

Геометрическое определение предела

Интервал (a-, a+) называется - окрестностью точки a.

Окрестность несобственных точек -, +, .

Окрестностью - называется множество вида (-,b) .

Окрестностью + называется множество вида (b,+) .

Окрестностью называется множество вида {x: |x|>b} =(-,-b) (b,+). Отметим, что при отрицательных b это множество всех вещественных чисел.

Геометрическое определение предела (общее для чисел и символов). Число или символ a называется пределом последовательности {xn}, если вне любой окрестности имеется лишь конечное число членов этой последовательности.

§2. Теоремы о пределах последовательностей

1.Простейшие свойства сходящихся последовательностей

Отбрасывание или добавление конечного числа членов последовательности не нарушает сходимости последовательности и величины ее предела.

Т1. Сходящаяся последовательность имеет единственный предел

Т2. Сходящаяся последовательность ограничена.

Доказательство: . Возьмем =1 по определению предела для него Nn>N:a-1<xn<a+1. В таком случае для числа b=max{|x1|,…,|xN|,|a-1|,|a+1|} будет выполнено n:|xn|<b.

Т3. (О трех последовательностях)



Т4.



Следствие 1.

Следствие 2.

Замечание.

2. Монотонные последовательности

Т5. Всякая ограниченная сверху, монотонно возрастающая последовательность {xn} имеет конечный предел

Доказательство. Пределом будет число b=. Берем произвольное >0. Из определения точной верхней грани следует, что найдется N такое, что

b- < xN b <b+. Все последующие члены последовательности будут располагаться в этой -окрестности числа b в силу монотонности последовательности.

Замечание 1. Аналогично доказывается, что всякая ограниченная снизу монотонно убывающая последовательность сходится.

Замечание 2. Если {[an,bn]} система вложенных стягивающихся к нулю отрезков и с[an,bn], то .

Доказательство:



Пример. Число e

Индукцией по n доказывается формула ( Бином Ньютона ):

.

Для последовательности xn= получим



.

Для n+1 будет, соответственно,

+

.

При переходе от n к n+1 каждое слагаемое в этой сумме увеличивается и растет их общее число, поэтому xn<xn+1. Каждая скобка <1 и , поэтому

. Монотонно возрастающая ограниченная последовательность сходится к некоторому числу, которое обозначается e. Это трансцендентное число называется числом Эйлера e=2.718281828459045…

§3. Некоторые свойства последовательностей связанные со свойством непрерывности вещественных чисел

1.Подпоследовательность. Теорема Больцано-Вейерштрасса

Определение. Дана последовательность {xn} и последовательность натуральных чисел {nk}, 1 n1<n2<…< nk <nk+1<…, тогда последовательность {yk}, называется подпоследовательностью последовательсти {xn}.

Пример: xn= sin n, nk=2k, = sin 2k.

Замечание. Отметим, что из условия nk < nk+1 следует, что k nk (индукция по k) .

Теорема 1. Если (a - число или символ), то для любой ее подпоследовательности {yk}, ,будет .

Доказательство: Вне любой окрестности a содержится лишь конечное число членов {xn}, следовательно, и конечное число подпоследовательности {}.

Теорема 2. (Больцано, Вейерштрасс) Из любой ограниченной последовательности можно выбрать сходящуюся подпоследовательность.

Доказательство. Пусть [a,b] {xn}.

Разделим отрезок [a,b] пополам, обозначим [a1,b1] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a1,b1], его индекс обозначим n1.

Разделим отрезок [a1,b1] пополам, обозначим [a2,b2] тот из полученных двух отрезков, который содержит бесконечно много членов последовательности {xn}. Возьмем какой-нибудь член последовательности, лежащий в [a2,b2] и имеющий индекс больший, чем n1, его индекс обозначим n2. Продолжая этот процесс, мы построим подпоследовательность . Система отрезков [ak,bk] представляет собой систему вложенных, стягивающихся к нулю отрезков ( bk-ak=(b-a)/2k). Общую точку обозначим c. Так как c[ak,bk], то . Откуда следует, что (Следствие 2 из Теоремы 4 §2).

Определение. Предел подпоследовательности называется частичным пределом (в том числе )

Замечание 1. Частичных пределов у последовательности может быть много.

Пример: Последовательность всех рациональных чисел {rn} имеет своим частичным пределом любое вещественное число.

Замечание 2. Для того, чтобы a (число или символ) было частичным пределом последовательности {xn} необходимо и достаточно, чтобы любая окрестность a содержала бесконечно много членов последовательности {xn}.

Следствие. Если некоторая окрестность a содержит конечное число членов последовательности, то a не является частичным пределом.

Замечание 3. У любой последовательности существует хотя бы один частичный предел (конечный или бесконечный)

Доказательство: Рассмотреть два случая: Ограниченная последовательность. В этом случае утверждение теоремы является следствием теоремы Больцано-Вейерштрасса. В случае неограниченной последовательности для выделения подпоследовательности имеющей пределом  используется определение предела последовательности, имеющей несобственный предел. Например, пусть , тогда. Условие nk> nk-1 можно обеспечить используя то, что в любой окрестности + имеется бесконечно много членов последовательности.

2.Верхний и нижний пределы последовательности

Определение. (Наибольший частичный предел последовательности {xn} называется ее верхним пределом, , где X – множество всех частичных пределов. Можно показать, что . Аналогично, определяется нижний предел .

Замечание. Если , (число или символ), то . Это является непосредственным следствием теоремы 1.

Теорема. У любой последовательности существует как верхний, так и нижний пределы. (без доказательства)

1) Если последовательность неограниченна сверху, то

2) Ограничена сверху. A- множество частичных пределов



.

Осталось показать, что b есть частичный предел. Действительно, в любой окрестности b есть хотя бы один частичный предел, следовательно, бесконечно много членов {xn}.

3. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши для последовательности.

Условие Коши:>0Nn>Np:|xn+p - xn|<

Определение. Фундаментальною последовательностью называется последовательность, удовлетворяющая условию Коши.

Т. (Критерий Коши). Для того, чтобы последовательность {xn} сходилась необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальна.

Доказательство: Необходимость. Последовательность сходится . Пусть >0 . Для =/2Nn>N:|xn -a|</2 для тех же n (n>N) и p будет выполнено |xn+p -a|< /2. Таким образом, для n>Np:|xn+p - xn| |xn+p - a|+|a - xn| < /2+/2=.

Достаточность. Пусть >0. Для

=/2N1n>N1p:|xn+p - xn|</2 (1)

Таким образом, все члены последовательности начиная с номера N1+1 оказались в окрестности числа , следовательно, последовательность ограничена. По теореме Больцано-Вейерштрасса существует сходящаяся подпоследовательность , пусть . Для ранее выбранного 

(2).

Выберем натуральное число m так, чтобы m >K и m > N1, тогда число N=nm будет больше N1 и, согласно (1)

n>N:|xn - xN|</2 , (3)

с другой стороны из (2)

(4)

Из (3), (4) получим, что при n >N будет выполнено

|xn-a|< ч.т.д.

  1   2

Похожие:

Последовательности iconЧисловые последовательности
Кратко ее обозначают символом называется общим членом последовательности. Т. к члены последовательности действительные числа, то...
Последовательности iconСамостоятельная работа 1 Предел числовой последовательности
Укажите номер того члена последовательности, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки
Последовательности icon3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды
Перестановка пределов двойной числовой последовательности. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных...
Последовательности iconМодуль к теме: «Предел последовательности» Цель
Цель: работая с данным модулем, вы познакомитесь понятием последовательность и предел последовательности, научитесь вычислять пределы...
Последовательности iconВопросы к коллоквиуму «Предел числовой последовательности. Предел функции»
...
Последовательности iconАкростихе или об абецедарии
Последовательности. Буквенные последовательности: абецедарии и акростихи. Мезостихи и телестихи. Фонетические последовательности....
Последовательности iconВопросы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции»
Определение монотонной последовательности. Теорема о существовании предела у монотонной последовательности
Последовательности iconV: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности
Понятие границы функции одно из самых важных в высшей математике. Изложение теории границ начнем с рассмотрения границы функции натурального...
Последовательности iconГлава Комплексы в полуабелевых категориях
О когомологической последовательности для короткой точной последовательности комплексов в
Последовательности iconЧисловая последовательность
В этой Главе элементы числовой последовательности будем обозначать (), а сами последовательности
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org