V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности



Скачать 61.15 Kb.
Дата25.12.2012
Размер61.15 Kb.
ТипГлава

ГЛАВА V: Граница и непрерывность

§1 Понятие границы последовательности


1.1 Сходящиеся последовательности

Понятие границы функции - одно из самых важных в высшей математике. Изложение теории границ начнем с рассмотрения границы функции натурального аргумента - последовательности.

Определение 1. Пусть каждому натуральному числу поставлено в соответствие некоторое действительное число . Тогда говорят, что задана последовательность чисел или, коротко, последовательность .

Следовательно; последовательностью называется функция , определенная на множестве натуральных чисел. Числа являются членами (элементами) последовательности, - общим ее членом (элементом), а - номером члена.

Определение 2. Последовательность называется сходящейся, если для любого числа можно найти такой номер, что при всех выполняется неравенство

(1)

Число а при этом называется границей последовательности . Для обозначения сходимости последовательности к числу употребляется запись:

или
Произвольный интервал вида , гдеgif" name="object21" align=absmiddle width=36 height=18> , называется - окружением точки . Если число - граница последовательности , то для любого можно найти такой номер , что при все члены последовательности попадают в –окружение точки , ведь при указанных согласно с (1) выполняются неравенства



Если последовательность не сходится, то говорят, что она расходится.

Теорема 1. Сходящаяся последовательность имеет только одну границу.

Доказательство. Предположим обратное: пусть сходящаяся последовательность имеет, по крайней мере, две различные границы и . Тогда для любого можно найти такие номера и , что, во-первых, при всех и, во-вторых, при всех .

Предположим, , тогда при всех одновременно выполняются неравенства

откуда следует, что



то есть

Полученное противоречие доказывает теорему.

1.2 Бесконечно малые и бесконечно большие.

Среди сходящихся последовательностей выделим один важный класс.

Определение 3. Сходящаяся к нулю последовательность называется бесконечно малой.

Роль, которую играют бесконечно малые в теории границ, выясняет следующая теорема.

Теорема 2. Для того чтобы последовательность сходилась к числу , необходимо и достаточно, чтобы последовательность была бесконечной малой.

Доказательство. Необходимость. Пусть . Тогда согласно с определением 2 для любого найдется такой номер , что при всех выполняется неравенство



А это и доказывает, что - бесконечно малая.

Достаточность. Пусть - бесконечно малая. Согласно с определением 3 для любого найдется такой номер, что при всех выполняется неравенство , или .

Следовательно, согласно определению 2 имеем .

Подробно изучим свойства бесконечно малых.

Лемма 1. Алгебраическая сумма двух бесконечно малых является бесконечной малой.

Доказательство. Пусть и - бесконечно малые. Докажем, что последовательность -бесконечно малая. Зададим любое число . Поскольку и - бесконечно малые, то найдутся такие номера и , что, во-первых, при всех и, во-вторых, при всех .

Предположим,. Тогда при всех указанные выше неравенства выполняются одновременно, а потому

Это и означает, что - бесконечно малая.

Следствие. Алгебраическая сумма любого конечного числа бесконечно малых является бесконечно малой.

Лемма 2. Произведение двух (или любого конечного числа) бесконечно малых является бесконечно малой.

Рассуждая аналогично к предыдущему, предлагаем читателю доказать эту лемму самостоятельно.

Определение 4. Последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что при всех выполняется неравенство

В противном случае последовательность называется неограниченной.

Лемма 3. Произведение бесконечно малой на ограниченную - бесконечно малая.

Доказательство. Пусть - бесконечно малая, а - ограниченная последовательность. Докажем, что последовательность - бесконечно малая. Поскольку - ограниченная, то существует такое число, что при всех выполняется неравенство. Поскольку - бесконечно малая, то для любого найдется номер , чтопри всех . Но тогда при таких



Это и означает, что - бесконечно малая.

Следствие. Произведение бесконечно малой не постоянное число - бесконечно малая.

Иногда удобно использовать понятие бесконечно большой последовательности.

Определение 5. Последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа можно найти такой номер , что при всех выполняется неравенство

Обозначение: или .

Если же, начиная с некоторого номера , члены последовательности приобретают только положительные (отрицательные) значения, то будем писать

или

Установим связь между бесконечно малыми и бесконечно большими.

Теорема 3. Для того чтобы была бесконечно малой, необходимо и достаточно, чтобы была бесконечно большой.

Доказательство. Необходимость. Пусть - бесконечно малая. Возьмем любое и найдем такой номер, чтобы при всех выполнялось неравенство .

Предположим, , тогда при указанных выше выполняется неравенство



откуда и следует, что - бесконечно большая.

Достаточность. Пусть - бесконечно большая. Для любого существует такой номер , что при всех выполняется неравенство .

Тогда для последовательности при указанных выше имеем , то есть и - бесконечно малая.

Пример 1. Используя определение границы, доказать что



Δ Выберем любое число . Поскольку , то для нахождения значений , которые удовлетворяют неравенству , достаточно решить неравенство , откуда получим . Следовательно, за можно взять целую часть числа, то есть . Тогда неравенство будет выполняться для всех. Поскольку - любое, то доказано, что . Согласно определения, “а” в данном примере равно 1.

Если, например, , тогда и при имеем . Отметим, что, например, при неравенство не выполняется. Действительно, пусть

Тогда

А если взять, например, , то есть , то



Таким образом, неравенство выполняется лишь для номеров , больших, чем 99.

Если, например, , тогда значение номера увеличится. Действительно и при получим

Пример 2. Используя определение, доказать, что последовательность является бесконечно малой.

Δ Возьмем любое число . Из неравенства получим . Если взять , то для всех будет выполняться . (Если получим при имеем и т.д.). Таким образом, согласно признака, последовательность бесконечно малая. ▲




Похожие:

V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности iconЧисловые последовательности
Кратко ее обозначают символом называется общим членом последовательности. Т. к члены последовательности действительные числа, то...
V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности iconЧисловые ряды Последовательность
В теории пределов было рассмотрено понятие последовательности и понятие предела последовательности. Введем следующее определение
V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности iconСамостоятельная работа 1 Предел числовой последовательности
Укажите номер того члена последовательности, начиная с которого все члены последовательности попадут в окрестность точки
V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности iconПредел функции и непрерывность числовая последовательность. Предел числовой последовательности
Числовой последовательностью называется бесконечное множество чисел (элементов), имеющих определенные номера. Эти числа являются...
V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности iconЛекция №6 Общая топология
Сходящиеся последовательности. На топологические пространства легко переносятся понятия сходимости, непрерывности и т д
V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности icon3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды
Перестановка пределов двойной числовой последовательности. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных...
V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности iconМотив как объяснительное понятие
После того как мы обсудили парадокс последовательности и ознакомились с тремя измерениями — согласованности, последовательности и...
V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности iconМодуль к теме: «Предел последовательности» Цель
Цель: работая с данным модулем, вы познакомитесь понятием последовательность и предел последовательности, научитесь вычислять пределы...
V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности iconВопросы к коллоквиуму «Предел числовой последовательности. Предел функции»
...
V: Граница и непрерывность §1 Понятие границы последовательности 1 Сходящиеся последовательности iconВопросы к коллоквиуму по математическому анализу «Предел последовательности и предел функции»
Определение монотонной последовательности. Теорема о существовании предела у монотонной последовательности
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org