Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье



Скачать 309.92 Kb.
Дата25.12.2012
Размер309.92 Kb.
ТипПрактикум


МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского
КОНТРОЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ НА ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ

ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ,

ИНТЕГРАЛ И РЯДЫ ФУРЬЕ





Рекомендовано методической комиссией факультета ВМК для студентов ННГУ, обучающихся по направлениям подготовки 010500 «Прикладная математика и информатика», 010400 «Информационные технологии» и специальностям 010501 «Прикладная математика и информатика», 080801 «Прикладная информатика»
Практикум




Нижний Новгород

2011

УДК 517.987 (077)

ББК В162р

К-15


К-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье: Практикум. – Составители: Калашников А.Л., Федоткин А.М., Фокина В.Н. – Нижний Новгород: Нижегородский госуниверситет, 2011.– 22 с.


Рецензент: кандидат физ.-мат. наук, доцент Зорин А.В.

В практикуме содержатся задачи по разделу курса “Математический анализ”. Здесь приведены задачи на функциональные последовательности и ряды, степенные ряды, интеграл и ряды Фурье. Имеются примеры на вычисление сумм, производных и интегралов от рядов. Работа будет полезна при проведении практических занятий, на коллоквиумах и экзаменах по математическому анализу по теме «Функциональные последовательности и ряды» и также ее самостоятельному изучению студентами 2-го курса факультета ВМК ННГУ.

УДК 517.987 (077)

ББК В162р
Содержание стр.






  • 1.ФУНКЦИОНАДЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ




  1. Контрольная работа №1


Исследовать на сходимость и равномерную сходимость функциональные последовательности на множествах и .

1. = arctg , = (0;) , =(;), >0.

2. = , =(1;), =(;+), >1.

3. = , = (0; 1) , =(1;+).

4. = n arcctg , = (0; 1) , =(1;).

5. = ln , = (0;) , =(;), >0.

6. = sin , = ;), =(0;), >0.

7. = sin , = (0;) , =(0;), >0.

8. = cos , =(0;), =(0;1), 0<<1.

9.
= arctg , =(0;0.5), =(0.5;1).

10. = , =0;, 0<<, =(0,).

11. = , = (,), >0, =(0,).

12. = arctg(2nx) – arctg(nx), =(0,1), =(1,).

13. = , =(0,1), =(1,).

14. = , =(0,1), =(1,).

15. = arctg , =(0,1), =(1,).

16. = ln(1+sin =(0,1), =(1,).

17. = , =0;1), =0 , 0<<1.

18. = ln (1+ = (0, 2), = (2,).

19. =sin ( , = (0, 1), = (1,).

20. = , = (0, 1), =(1,).

21. =sin , = (0, 1), =(1,).

22. =2ln( -ln( , =0,), =0,a, a>0.

23. = =0, 1), =0;a, 0<a<1.

24. =ln( =0;a, a>0, = 0;.

25. =arcsin =0;a , 0<a<1, = 0;1).

26. =ln =0;a, a>0, = 0;).

27. = , =(0;1), = (1;).

28. = , =-a;a , a>0, = (-;).

29. =n , =(0,5;1), = (1;).

30. = , =0;2, = 2;).

  1. Контрольная работа №2


В примерах с №1 по №9 найти все значения , при которых последовательность   a)сходится на множестве ; b) сходится равномерно на или его подмножестве Q. Найти предельную функцию для на Q.

1. = , =(0;1). 2. = , =(0;).

3. = , =(-;). 4. = =0;).

5. = , =0;). 6. = , =(0;1).

7. = , =(0;). 8. =xarctg( , , =(0;).

9. = , =(0;). 10. = , =(-;).

Исследовать на равномерную сходимость

11. = .

12. = , где z- целая часть z и x [0;1].

13. = .

В примере 13 исследовать на равномерную сходимость для x из [0; 10] .С №14 по №25 исследовать на равномерную сходимость и переход к пределу под интегралом для   на = :

14. = ; a) =0,1, b) =0;0.5.

15. = ; a) =0,1, b) =0;0.5

16. = a) =0,3, b) =1;3.

17. = ; =0,4.

18. = ; =0; .

19. = =0; .

20. =n ; а) =0;4 ; б) =1;3 .

21. = а) =0;3 ; б) =1;3 .

22. ( ) = ; а) =0;1; б) =0;0.5 .

23. = ; а) =0;1; б) =1;2 .

24. = ; а) =0;2; б) =1;2 .

25. = ; а) =0;2; б) =1;3.

В примерах с 26 по 30 исследовать на равномерную сходимость и переход к пределу под знаком производной на множестве для  .

26. = ; =0;1 ; 27. = =-1;1.

28. = =-1;2 : 29. = =0;3.

30. = ; =-2;2.

  • 2. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫ



  1. Контрольная работа №3


Найти области абсолютной и условной сходимости при члене ряда =:

1. 2. ; 3. 4. 5. ; 6. ; 7. ; 8. ; 9. 10. 11. 12. 13. ; 14. ; 15. 16. ; 17. ; 18. ; 19. ; 20. ; 21. ; 22. ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. 27. ;

28 ; 29. ; 30.
  1. Контрольная работа №4


Используя признак Вейерштрасса, доказать равномерную сходимость на множестве при равном

1. , =0; ); 2. , =(- ; ); 3. , =(- ; ) 4. , =(- ; ); 5. , =(- ; ); 6. , =(- ; ); 7. , =[1; ); 8. , =[0;0.1]; 9 . , =[1; );

10. , =[0;0.1 11. , =(-1;1)]; 12. , =(1;3); 13. , =[3;7]; 14. , =[2;4); 15. ; =[0;6); 16. , =[- ];

17. , =-1;1] ; 18. ; =(- ; );

19. , =[2; ); 20.arctg =(- ; ); 21. ; =[0; ) ; 22. , =[0; );

23. ; =(- ; ); 24. (arctg , =[0; );

25. , =(- ; ); 26. sin ; =[0; );

27. sin ln(1+ ), =(0; ); 28. ; =(- ; );

29. , =(- ; ); 30. , =[0; );

  1. Контрольная работа №5


По определению или критерию Коши, исследовать на равномерную сходимость на c членом равном:

1. , E=(-q;q), 0 =(-1;1); 2. , = ; 3. ; 4. , = 5. 6. , = ; 7. , = = ; 8. , =(0; );

9. ; = ;

10. , =[0; ); 11. ; ; = ;

12.(-1) ; = ; 13.arctg ; =[-1;1];

14 . , =[0; ); 15. sin , =(-2;2), =[-1;1];

16. , = ; 17. sin , =[0; ) =[0;1];

18. , =[0; ); 19. ; ; =[0; ).

20. ; 21. ; = ; =[0;1].

22. ; =(0; ); =[h; ); 23. , = ; = .

24.sin , =(0; ); 25. ( ,

26. , =(1; ); 27.( ), = .

28. ; 29. ( , =[0; ).

30.
  1. Контрольная работа №6


Используя различные признаки, исследовать на равномерную сходимость на с членом равном

1. ln (1+ ) , =[0; ); 2. , =[0; );

3. , =(0; ); 4. , = .

5.arctg , =[0; ); 6. , =[0; );

7 , 8. e sin , =[0; ); 9. , =[0; ); 10. , = ; 11. , 12. , =[0; ); 13. , =[0; ); 14. , =[0; );

15.ln (1+ , 16.arctg , =[1; );

17. , 18. ,

19. , E=[ ; ); 20. , E=[1; );

21 , =[0; ); 22. =[0; )

23. =[0; ) 24. ; = ; 25. = ; 26.sin( , 27. , 28 , 29. , ; 30. , =[0;1);


  1. Контрольная работа №7


Исследовать на равномерную сходимость на E , E c членом 1. , E =(0;1), E =(1; ); 2. , E =( ; ); E =(0; );

3. , E =( ; ),;E =(0; ); 4. sin , E =(0; ), E =(0; );

5. sin , E =(0; ),;E =( ; ); 6. , E =( ; ),;E =(0; );

7. , E =[0;2 ]; 8. ,E =( ; ), 9. , E =(0;1); 10. sin , E =(0;1), E =(1; );

11 E =(0; ),E =(0; ) ; 12. E =(0; ), 13. , E =(0; ); E =( ; ); 14. , E =( ; );

15. , E =(0;1);E =(1; ); 16. , E1=(0;1); E2=(1; );

17. E =(0; ), E =( ;1); 18. sin , E =(0;1), E =(1; );

19. sin , E =(0;1), E =(1; ); 20. , E =(0; );

21. , E =(0; );E =( ; ); 22. , E =(0;1), E =(1; ); 23.nx tg( , E =[-2;2]; E =[-3;3]; 24. , E =[-5;5];

25. , E =(0;1), E =(1; ); 26. sin , E =(0;1), E =(1; );

27. , E =[0; ]; 28. , E =(0;1), E =(1; );

29. E =[10; ); 30. E =(0;1), E =(1; );


  1. Контрольная работа № 8


В №1 по №10 исследовать на существование предела и найти его : 1. , 2. ,

3. , 4. , 5. , 6. , 7. , 8. ,

9. , 10. .

В №11 по №20 найти область существования и непрерывности суммы ряда с членом

11. ; 12. ; 13. ; 14.n4 ;

15. ; 16 ; 17.arcsin ;

18. ; 19. ; 20. .

В примерах с №21 по №30 найти область E определения суммы ряда и исследовать ее на дифференцируемость с членом

21. ; 22. x ; 23. ; 24. ; 25. ; 26. e ; 27. ; 28. arctg ;

29. ; 30. .

В №31 по №35 доказать интегрирование на [c;d] с

31. , [1;2]; 32. , [0;2π]; 33. (-1) , [-1;0]; 34. , [0; π]; 35. , [-1;2].

Найти интеграл от ряда.

В №36 по №40 доказать непрерывность суммы ряда на E с 36. , 37.e (1+n ) ,

38. , 39. ; E= (0;1) 40. , ;
  • 3.СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ

  • Контрольная работа №9


Для найти радиус, интервал сходимости и исследовать на сходимость, абсолютную сходимость в концах интервала сходимости c

1. ; 2. ; 3. ; 4. ; 5.n!x ;

6. ; 7. (x+2) ;

8. ; 9. ln ; 10. ; 11. ( ;

12. 3 ( )(x+3) ; 13. 5 (x-1) ;

14. ; 15. ; 16. (1+ )(x+2) ; 17.tg ( ; 18. ; 19. , a>0,b>0;

20. ( ) (x+3) ; 21. ( (x+2) ; 22. ; 23..x ;

24.(2-x) ; 25. (x+2) ;

26 ; 27. (x+1) ; 28 ; 29. ; 30. ; 31. (x+2) ; 32. (x-1) ; 33. (x-1) ;

34. 4 ( ) ; 35.( ) (x+1) .
  1. Контрольная работа №10


Используя различные приемы (дифференцирование, интегрирование и др.) найти сумму рядов и указать области их сходимости при равном:

1 (n+1)x ; 2. ; 3. ; 4. ; 5. ; 6.nx ;

7. x ; 8. ; 9.

10. (2n )x ; 11.2nx(x -2) ; 12.(n+1)(x +1) ; 13. ; 14. ; 15. ;

16. ; 17. ; 18. ;

19. ; 20.( ) ; 21. ;

22. ; 23. ; 24. x 25. ; 26. ; 27. ;

28.n ; 29. ; 30. ; 31.n ; 32. ; 33. (lnx) ;

34. ; 35. (x ) ;
  1. Контрольная работа №11


Разложить f(x) в степенной ряд в окрестности x0,используя известные разложения элементарных функций или дифференцированием, интегрированием функций. Найти радиус и интервал сходимости при f(x) равной:

1. , =1; 2. , =0; 3. , =3; 4.(1-x ) , =0; 5. , =2; 6.ln , =0; 7. (1+x )arctg x, =0; 8. (1-x)arcsin x, =0 9. , =0; 10.ln , =0;

11. dt, =0; 12. dt, =0;

13. dt, =0; 14. (x , =-1;

15.(x , =0; 16. x , =0 ; 17. dt, =0; 18. dt, =0;

19. dt, =0; 20.arctg , =0; 21. , =3; 22.x , =0; 23.4 , =1; 24.sin2xcos , =0;

25. shx+sinx, =0; 26.x arccos4x, =0; 27. , =0; 28.ln( ), =2; 29.ln , =1 30.ln( ), =5; 31.xarccos(x- ), =0; 32. , =0;

33.x arctg , =0; 34. , =0;

35.ln(3+x) , =0; 36.ln x, =1; 37.cos , = ; 38.sin , =2; 39.xcos , =0; 40. , =0;
  1. Контрольная работа №12


В примерах с 1 по 16, используя разложения в степенной ряд и оценку его остатка, вычислить с точностью до = 0,01 значения функций:

1.cos1; 2.sin2; 3.cos10; 4.sin1; 5. ; 6.ln 1,1 ;

7.tg 1 ; 8. ; 9.arctg( ); 10.ln10 ; 11.arcsin( ); 12.e; 13. ; 14. sh1; 15. sh2; 16.ln1,5.

В примерах с 17 по 30, используя ряд Маклорена для , записать интеграл через числовой ряд при равной:

17.e , a=0, b= ; 18. , a= , b= ; 19 . a=1, b=2; 20. , a=0, b= ; 21. , a=0, b= ; 22. , a=0, b= ;

23. ( ) ; a=1, b=2; 24. , a=0, b=2; 25. a=0, b=1; 26. , a= 1, b= 3;

27. , a=0, b=1; 28. , a=0, b=1;

29. ( ) , a=0, b=0,5; 30. ( ) , a=0, b=0,5;

В №31 по №40, используя ряд Маклорена, найти производную в x0 = 0 от =

31.e , ; 32. , 33. , ;

34.(cosx) chx, ; 35. , ; 36. , ;

37. , ; 38.(sinx)chx, ; 39. , ; 40. , ;

  • 4. РЯДЫ И ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ

  • Контрольная работа №13


В примерах с 1 по 30 разложить функцию и указать промежутки, где сумма ряда Фурье равна функции и найти сумму ряда в точках .

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

10.

11.

12.

13.

14.

15. 16

17.

18.

19.

20.

21.

22.

23.

24.

25.

26.

27.

28.

29.

30.

С 31 по 40 разложить в ряд Фурье периодические функции:

31. 32. 33.

34. 35. 36. 37. 38. ,

39. , 40. ,
  1. Контрольная работа №14


В примерах с 1 по 14 разложить в интервале в ряд Фурье а) по косинусам, б)по синусам функцию ;

1. 2. 3. 4. 5. 6. .

7. 8. 9.

10. 11. 12.

13. 14.

Разложить в примерах с 15 по 30 в ряд Фурье а) по синусам, б) по косинусам для , определенной на :

15. 16. 17. 18. 19. 20.

21. 22. 23. 24. 25.

26. ; 27. ; 28. ;

29. ; 30. ;
  • Контрольная работа № 15


В примерах с 1 по 16 функцию представить интегралом Фурье:

1. 2.

3. 4. 5. 6. 7. 8.

9. 10.

11 12.

13. 14.

15. 16.
В примерах с 17 по 29 найти интеграл Фурье функции продолжив её нечетным образом на интервал , если

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28. 29.f(x) = , для 0 и f(x) = 0 вне отрезка [0;1] .
В примерах с 30 по 40 найти интеграл Фурье функции , продолжив её четным образом на интервал , если

30. 31.

32. 33.

34. 35.

36. 37.

38. 39.

40.


  • Литература





  1. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: в 2 т. – М.: Высшая школа, 1981. - Т.1. – 687 с.

  2. Ильин В.А., Садовничий В.А, Б.Х. Сендов. Математический анализ. Продолжение курса. - М.: Изд-во МГУ, 1987. – 387 с.







Похожие:

Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье iconЧисловые ряды. Функциональные последовательности и ряды
Понятие числового ряда. Критерий Коши. Необходимое и достаточное услорие сходимости рядов с неотрицательными членами
Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье iconВысшего профессионального образования
Функции нескольких переменных. Приложения к общей экономической теории. Кратные интегралы. Неявная функция. Выпуклые функции. Функциональные...
Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье icon3 – 4-й семестры Функциональные последовательности и ряды
Перестановка пределов двойной числовой последовательности. Теорема Дини о равномерной сходимости монотонной последовательности непрерывных...
Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье icon1. 4 Тригонометрические ряды. Преобразование Фурье
Также их можно ввести через бесконечные ряды или как решения определенных дифференциальных уравнений. Например, sin и cos удовлетворяют...
Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье iconТема Числовые ряды. Функциональные ряды
Если при исследовании ряда на сходимость по признаку Д`Аламбера установлено, что, это означает, что
Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье iconУчебно-методический комплекс дисциплины математический анализ (наименование дисциплины)
Свойства дифференцируемых функций. Множества точек и последовательности в n-мерном пространстве. Функции нескольких переменных. Экстремумы...
Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье icon«Функциональные ряды» иметодические рекомендации к ней для студентов очной формы обучения для инженерных направлений
Задание Используя разложение подынтегральной функции в степенной ряд, вычислить указанный интеграл
Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье iconСуммируя числовые ряды…
Эйлера-Маскерони. Есть еще странные ряды типа 1-1+1-1+1-1+1-, сумма которых считается по-разному (варианты: 1,0,1/2). Замечу, что...
Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье iconРяды и интеграл фурье основные сведения
Функция f(X), определенная на всей числовой оси называется периодической, если существует такое число, что при любом значении Х выполняется...
Ббк в162р к-15 к-15 Контрольные задачи на функциональные последовательности и ряды, интеграл и ряды Фурье iconРяды Фурье. Преобразование Фурье

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org