1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство



Скачать 222.25 Kb.
страница1/3
Дата26.12.2012
Размер222.25 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3

Билет 1


1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство.

2. Непрерывные случайные величины. Нормально распределенные случайные величины: определение, обозначение, характеристическая функция, ее применение для вычисления числовых характеристик нормального распределения.

3. Многомерная функция распределения, ее свойства для n=2.

4. Теорема Ляпунова.

5. В урне 3 белых и 1 черный шар. Шары последовательно извлекаются из урны без возвращения до тех пор, пока не появится черный шар. Найти вероятность, что было вынуто не более трех шаров.

6. Плотность совместного распределения случайных величин ξ и η определяется равенствами ,если , и в остальных случаях. Найти маргинальные распределения случайных величин, числовые характеристики с.в., условные распределения.

7. Станок обрабатывает три вида деталей, причем время обработки распределяется между ними в соотношении 1:5:4. С максимальной нагрузкой станок работает при обработке первой детали – 75%, второй – 50%, третьей – 20%. Найти вероятность того, что в случайно выбранный момент времени станок будет работать с максимальной нагрузкой. Какова вероятность того, что при этом обрабатывается деталь третьего вида?

8. С. величины  и  независимы и P{=k}=P{=k}=pqk-1, q=1-p, k=1,2,… Найти P{=k|+=m}, m > 2.

9. Случайные величины X,Y независимы и одинаково распределены по закону Пуассона с параметром 1. Найти плотность распределения с.в. X+Y.
Билет 2

1. Алгебра и σ – алгебра событий. Примеры. Измеримые пространства.

2. Непрерывные случайные величины – основные определения. Основные свойства плотности распределения.

3. Характеристическая функция нормально распределенной скалярной случайной величины .

4. Неравенства Чебышева.

5. У мальчика 4 трехкопеечных монеты. Он хочет выпить газированной воды из автомата. Вероятность, что автомат глотает монету и не наливает воды равна 0.1. Какова вероятность, что мальчик попьет, не истратив все монеты?

6. Некоторое изделие выпускается двумя заводами. Продукция выпускается заводами в равных количествах. Доля брака первого завода – 4%, второго – 3%. Изделия двух заводов перемешали и пустили в продажу. Какова вероятность купить 2 бракованных изделия? Какова вероятность, что они изготовлены на первом заводе?

7. . Найти закон распределения с.в. Y и ее числовые характеристики.

8. gif" name="object6" align=absmiddle width=293 height=38>. Найти маргинальные функции

распределения с.в., их числовые характеристики. Найти вероятность события

9. Двумерная с.в. задана своим рядом распределения



3

8

12

3

0.17

0.13

0.25

5

0.10

0.30

0.05

Найти 1) ; 2) вероятность события . Являются ли независимыми с.в. X,Y

Билет 3

1. Классическая вероятность событий. Свойства вероятности, вытекающие из классического определения.

2. Экспоненциальное распределение: определение, обозначение. Производящая функция распределения, ее использование для вычисления числовых характеристик.

3. Дискретная двумерная с. величина, ее описание. Формулы согласованности для двумерной дискретной с.в.

4. Центральная предельная теорема для одинаково распределенных с. величин.

5. События А и В независимы. Являются ли независимыми события А и , В и ?

6. Сборщик получает 45% деталей с завода № 1, 30% - с завода № 2, остальные- с завода № 3. Вероятности того, что детали отличного качества составляют для заводов 0.7, 0.8, 0.9 соответственно.Найти вероятность того, что наудачу выбранная деталь окажется отличного качества. Какова вероятность того, что эта деталь изготовлена заводом № 1?

7. Случайные величины независимы. Найти , если имеют одно и то же дискретное распределение , к=0,1,2,…

8. С.величина ξ имеет показательное распределение с параметром . Найти плотность распределения с.величины =1-e-, ее числовые характеристики. Вычислить вероятность события {}.

9. Двумерная с.в. задана своим рядом распределения



3

8

12

3

0.17

0.13

0.25

5

0.10

0.30

0.05

Найти 1)маргинальные функции распределения; 2) ; 3) числовые характеристики с.в. Являются ли X и Y независимыми?

Билет 4

  1. Аксиоматическое определение вероятности. Аксиомы непрерывности.

2. Равномерное распределение. : определение, обозначение. Характеристическая функция распределения, ее использование для вычисления числовых характеристик.

3. Условное распределение для двух непрерывных с. в. Условные функции распределения и плотности распределения.

4. Теорема Линдеберга.

5. Вероятность того, что деталь не стандартна, р=0.1. Найти, сколько деталей надо отобрать, чтобы с вероятностью, равной 0.9944, можно было утверждать, что относительная частота появления нестандартных деталей среди отобранных отклонится от постоянной вероятности р по абсолютной величине не более чем на 0.03.

6. В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй 5 белых и 4 черных шара. Из первой урны перекладывают во вторую один шар, после чего из второй урны извлекается один шар. Найти вероятность , что этот шар белый. Какова вероятность, что при этом из первой урны во вторую был переложен черный шар?

7. Известно, что при бросании 2 игральных костей сумма выпавших очков нечетна. Х- сумма выпавших очков. Найти закон распределения, математическое ожидание, дисперсию с. величины Х. Построить график функции распределения и ряда распределения. Найти вероятность события {Х<2}.

8. Случайные величины  и  независимы и нормально распределены с параметрами 0 и 1; 0 и 2 соответственно. Вычислить вероятность попадания с.величины (,) в эллипс с полуосями 1 и 2 и центром в начале координат.

9. Случайные величины X,Y независимы и одинаково распределены по закону Пуассона с параметром 1. Найти плотность распределения с.в. X+Y.

Билет 5

1. Условная вероятность. Показать, что условная вероятность удовлетворяет аксиомам вероятности. Формула умножения вероятностей.

2. Дискретные случайные величины: определение, ряд распределения, функция распределения , примеры.

3. Характеристическая функция, ее свойства.

4. Последовательность независимых событий. Теорема Бореля-Кантелли.

5. Брак в продукции завода в среднем составляет 1.5%. Изделия высшего сорта среди стандартных составляют 80%. Какова вероятность потребителю получить изделие высшего сорта?

6. В цехе работают 3 станка. Вероятности изготовления стандартной детали на станках равны 0.75, 0.92, 0.86 соответственно. Рабочий выбирает для работы станки с вероятностями 0.5, 0.3 и 0.2 соответственно. Найти вероятность, что изготовлена нестандартная деталь. Какова вероятность, что при этом она изготовлена на 2 станке.

7. D- треугольник с вершинами в точках (0, 0), (0,2), (1,0). Найти условные математические ожидания , построить линии регрессии. Являются ли X,Y зависимыми?

8. С.величины  и  независимы и P{=k}=P{=k}=pqk-1, q=1-p, k=1,2,… Найти P{<}.

9. Найти плотность распределения с.в , если с. величины , независимы и равномерно распределены на интервале (0,1).

Билет 6

1. Формула полной вероятности (с выводом).

2.Пуассоновское распределение: определение, обозначение, производящая функция распределения и ее использование для нахождения числовых характеристик распределения.

3. Условное математическое ожидание. Кривые регрессии на примере двумерной нормальной с. величины.

4. Последовательность независимых с. величин. Необходимое и достаточное условия независимости с. величин.

5. В записанном телефонном номере 135-3.-.. три последние цифры стерлись. Найти вероятность события: стерлись одинаковые цифры.

6. По команде одно из трех орудий стреляет по мишени. Вероятность попадания для орудий равна соответственно 0.8, 0.8, 0.6. Команда стрелять подается в два раза чаще первому орудию, чем второму и третьему по отдельности. Найти вероятность, что мишень окажется пораженной. Какова вероятность , что мишень поразило третье орудие?

7. Закон распределения с. величины задан в виде следующей таблицы: .

Найти а) одномерные распределения Р1, Р2; б) условное распределение с.величины при условии, что , условные функции распределения с.в.

8. С.величина распределена равномерно на отрезке [0,1]. Найти плотность распределения с.величины =-ln(1-).Вычислить вероятность события .

9. Найти α-квантиль и медиану экспоненциального распределения.

Билет 7

1. Формула Байеса ( с выводом).
2. Геометрическое распределение: определение, обозначение. Характеристичексая функция и ее применение для вычисления числовых характеристик.

3. Непрерывные n- мерные с. величины. Свойства совместной плотности распределения.

4. Закон больших чисел (общий случай).

5. Следует ли из независимости с. величин их несовместность? Из несовместности – независимость?

6. На сборку поступили транзисторы с двух заводов- изготовителей, причем 1 завод поставил 30% транзисторов, остальное- второй. Вероятность отказа в работе транзистора для первого завода составляет 0.1, для второго- 0.15.В блок поставлено два наудачу взятых транзистора. Найти вероятность, что блок неисправен. Какова вероятность, что оба транзистора при этом изготовлены на 1 заводе? ( Блок не работает, если неисправен хотя бы один транзистор).

7. С.величины  и  независимы и имеют показательное распределение с параметром =1. Найти плотность распределения с.величины |-|.

8. C.величины i, i=1,2, независимы и имеют стандартное нормальное распределение. Являются ли независимыми с.величины 1= 1+2, 2=1-2?

9. Случайная величина Х задана плотностью распределения . Найти моменты порядков 1-4, асимметрию и эксцесс.

Билет 8

1. Схема Бернулли, формула Бернулли.

2. Биномиальное распределение. : определение, обозначение, производящая функция распределения и ее использование для нахождения числовых характеристик.

3. Условная дисперсия, свойства условной дисперсии.

4. Закон больших чисел (для одинаково распределенных с. величин). Теорема Бернулли.

5. Случайная точка А равномерно распределена на отрезке [0,1] и делит этот отрезок на 2 части. Пусть 1 -длина большей части, 2- длина меньшей части. Найти Р{1 < x}, Р{2 < x} при любых x.

6. В первой урне 3 белых и 2 черных шара, во второй- 3 белых и 5 черных. Из первой урны во вторую перекладывают 2 шара, после чего из второй урны извлекают шар. Какова вероятность, что этот шар белый? Какова вероятность,что во вторую урну при этом переложили белый и черный шары?

7. Найти плотность распределения с.величины = 1: (1+ 2),если i, i=1,2, независимы и равномерно распределены на [0,1].

8. Совместное распределение с.величины (1,2 )дается числами р11=1/8, р12=1/12, р13=7/24, р21=5/24, р22=1/6, р23=1/8, где рij=Р{1=xi,2=yi}, i=1,2, j=1,3; x1=-1,x2=-1; y1=-1, y2=0, y3=1. Найти а) одномерные распределения Р1, Р2; б) совместное распределение с.величин 1=1+2, 2=12.

9. Случайная величина задана плотностью распределения . Найти значение параметра а, числовые характеристики с.в., функцию распределения, построить графики функций распределения и плотности вероятности.

Билет 9

1. Формула Пуассона.

2. Случайная величина. Функция распределения с. величины, основные ее свойства.

3.Условное математическое ожидание, его свойства.

4. Усиленный закон больших чисел ( общий случай).

5. Числа p и q случайным образом выбраны на отрезке [2,6] и [0,4] соответственно. Найти вероятность того, что корни уравнения действительные.

6. На общий конвейер поступают узлы, изготовленные двумя рабочими. Производительность второго рабочего вдвое больше , чем первого. Вероятность допустить брак для первого рабочего составляет 0.075, а для второго - 0.09. Найти вероятность того, что поступивший на общий конвейер узел, будет иметь брак. Какова вероятность, что бракованный узел изготовил второй рабочий?

7. C. величина  равномерно распределена на [0,2]; 1=cos, 2=sin. Найти M1, M2, cov(1,2). Являются ли 1,2 независимыми?

8. С.величина ξ имеет стандартное нормальное распределение. Пусть , если и в остальных случаях. Найти закон распределения .

9. Определить вероятность того, что при 900 бросаниях игральной кости «6» выпадет от 130 до 300раз.
  1   2   3

Похожие:

1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство iconЭвентологические принципы
Эвентологическое пространство, пространство исходов бытия [4] — пространство, элементами которого служат возможные состояния бытия;...
1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство iconТема Вероятностное пространство
Случайные события, пространство элементарных событий, алгебра событий. Вероятность и ее свойства, способы задания вероятностей. Вероятностные...
1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство iconЛекция Аксиоматика теории вероятностей
...
1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство icon1 Геометрическое определение вероятности
Геометрическое определение вероятности обобщает классическое на случай бесконечного множества элементарных исходов. Пусть представляет...
1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство iconОсновы теории экстремальных задач
Линейное пространство (ЛП). Алгебраический базис и размерность лп. Нормированное пространство (НП). Открытые и замкнутые множества...
1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство iconУрок 4 Конечное вероятностное пространство. Классическая модель
Напомним, что задачи, приводящие к вероятностной модели, в которой вероятностное пространство Ω конечно, и все элементарные исходы...
1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство icon4. Геометрическая вероятность. Условные вероятности. Независимые события и их свойства
Произвольное пространство элементарных событий. Алгебра и σ алгебра множеств. Борелевские множества. Вероятность
1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство icon4. Геометрическая вероятность. Условные вероятности. Независимые события и их свойства
Произвольное пространство элементарных событий. Алгебра и σ алгебра множеств. Борелевские множества. Вероятность
1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство iconСобытия, аксиомы теории вероятностей, вероятностное пространство
Подбрасывание монеты. Имеем конечное число элементарных событий. Если в результате выпал орел, то такое событие обозначим 1, а если...
1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство iconВопросы к экзамену Вероятностное пространство: пространство элементарных событий, алгебра событий, аксиомы вероятности
Классическое определение вероятности. Вероятностные схемы (подбрасывание монеты, схема выбора с возвращением, схема выбора без возвращения,...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org