Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика



страница1/14
Дата26.12.2012
Размер0.66 Mb.
ТипКурс лекций
  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14
ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика

(краткий конспект лекций, созданный при участии студентов 321 группы Гавриловой Кристины, Ямаловой Дианы и Большакова Валерия)

Лекция 1. (07.09.10)

§1.Случайные события, операции над событиями, вероятность, вероятностные пространства.

Будем рассматривать эксперимент, который заканчивается одним из многих исходов. Мы можем описать все возможные исходы, но каким конкретно исходом закончится эксперимент, заранее мы сказать не можем. Введём ряд определений и обозначений.

-множество исходов нашего эксперимента (множество элементарных событий);

-элементарные события, элементы множества исходов;

Пусть на определена - σ -алгебра подмножеств ;

Если случайное событие.

Будем говорить, что событие произошло, если эксперимент заканчивается исходом , если – не произошло.

Рассмотрим и -случайные события ()сумма событий и ;

Примеры случайных событий.

Рассмотрим однократное подбрасывание игрального кубика: = { gif" name="graphics13" align=absmiddle width=128 height=24 border=0>}

Если множество конечное или счётное, то в качестве σ –алгебры будет множество всех подмножеств (если n элементов, то в σ –алгебре 2ⁿ событий)

С={ }-выпала чётная грань, D= { }-выпала грань, делящаяся на 3.

Пусть - произведение случайных событий и ;

- событие, обратное к событию .

- достоверное событие, событие, которое всегда происходит.

= Ø - невозможное событие.

Пусть имеются два случайных события и () и . Тогда события и называют несовместными событиями. Например, и – пара несовместных событий.

Рассмотрим набор событий , для которых выполнены 2 условия:

1.

2. = -достоверное событие

Тогда полная система событий.

Ещё один пример.

Рассмотрим отрезок [0,1]. Случайно «бросаем» на него точку. Тогда . Множество точек на отрезке более чем счётно. В качестве σ- алгебры берут множество измеримых по Лебегу подмножеств.

Определим основное понятие «вероятность»:

Пусть имеются . Функция  удовлетворяет 3 условиям:

  1.  



  2. Не более чем счётное число случайных событий =

В этом случае называется вероятностью, а три условия - аксиомами.

Тройка элементов вероятностное пространство.

Пример.

  1. Однократное подбрасывание монеты.

О - орёл, Р - решка.

Ω={O, Р}, ={{O}, {P}, {O,P},Ø}.

({O})= ({P})=⅟₂ , (Ω)=1 , (Ø)=0;

({O})=⅕ , ({P})=⅘ , (Ω)=1 , (Ø)=0.

Чёткого способа задания нет. Но если есть симметрия, то пользуемся ей.

  1. Дважды подбрасываем игральный кубик.

Ω = {(i, j): 1≤ i, j ≤ 6}. Всего 36 возможностей.

F=.

Будем предполагать, что кубики правильные - честные.

({(i,j)})=⅟₃₆; ({})=k⁄₃₆.

§2.Свойства вероятности

Имеется произвольное вероятностное пространство ()

Свойства:

1) P() =1 - P (A) ,

2) 0 P(A) 1 ,

3) P() = 0

4) P (A ∪ B ) = P(A) + P(B) – P(AB)

4*) ;

5) ;

6) («событие А предшествует событию В» или «событие А влечёт за собой событие В»)

7) Пусть имеется последовательность расширяющихся событий

8) Пусть имеется последовательность вложенных событий

Свойства 7),8) принято называть свойствами непрерывности вероятности.

Доказательство:

1) A,  – несовместные события  P(A ) = P(A) + P(); P(A ) = P (Ω) = 1 P() = 1 – P(A).

2)Левое неравенство – аксиома 1.

Правое: 1 = P(A) + P(), P()  P(A) + P() P(A)

3) =   P() = 1 - P (Ω) = 0

4) A ∪ B = A ∪ AB ∪ , где A, AB,  - попарно несовместные события

3 акс: P (A ∪ B ) = P(A) + P(AB) + P () + P(AB) - P(AB), где P(A) + P(AB) = P(A),

P () + P(AB) = P(B).

6) B = AB ∪  = A ∪ , где A и  – несовместные.

P (B) = P (A) + P () P(A), т.к. P () 0.

5) ,где ,,… и попарно несовместные.

По 3ей аксиоме:

7) где -попарно несовместные события.

По 3ей аксиоме:

8)1 2 3 …;  =  = ∪ i P () = , где P () = 1 – P(B)

 = (1 – P(Bn)) =1 - P(Bn)

Вывод: P(B) = P(Bn)

  1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconКурс лекций для специальности Прикладная математика и информатика
Определение комплекснозначная случайная величина. Тогда ее математическое ожидание определяется равенством
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconПрограмма дисциплины математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения. Дополнительные главы для направления 010500. 62 «Прикладная математика и информатика»
Для направления 010500. 62 – «Прикладная математика и информатика» подготовки бакалавра. 2 курс
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconМетодические указания по выполнению самостоятельных работ для специальности 010500. 62-«Прикладная математика и информатика»
Теория принятия решений. Методические указания по выполнению самостоятельных работ для специальности 010500. 62-«Прикладная математика...
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconКурс «Основы кибернетики» для студентов специализаций 01. 02. 08. 01 (математическая кибернетика) и 01. 02. 13. 01(программное и аппаратное обеспечение информационной безопасности)
Курс является обязательным для всех студентов, обучающихся по специальности 01. 02 – прикладная математика и информатика. При этом...
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconКурс «Основы кибернетики» для студентов специализаций 01. 02. 08. 01 (математическая кибернетика) и 01. 02. 13. 01(программное и аппаратное обеспечение информационной безопасности)
Курс является обязательным для всех студентов, обучающихся по специальности 01. 02 – прикладная математика и информатика. При этом...
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconРусский язык Математика Информатика или Физика Полную информацию вы можете получить по адресу
«Прикладная информатика», квалификация – бакалавр прикладной информатики, профили «Прикладная информатика в бухгалтерском учете»...
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconПрограмма наименование дисциплины: Теория графов Рекомендуется для направления (ий) подготовки (специальности (ей))
Курс «Теория графов» является дисциплиной по выбору в бакалаврской программе направления «Прикладная математика и информатика». Курс...
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconКурс лекций "концепции современного естествознания "
Рф и предназначен для студентов 2 курса дневного отделения Факультета социологии Санкт-Петербургского государственного университета...
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconРабочая программа По дисциплине "Методы оптимизации " Для направления 010500 «Прикладная математика и информатика»
Рабочая программа по дисциплине «Методы оптимизации» составлена с учетом требований Государственного образовательного стандарта высшего...
Курс лекций для специальности Прикладная математика и информатика iconУчебно-методический комплекс для студентов заочного обучения специальности Прикладная информатика ( в экономике) Издательство
Требования к обязательному минимуму содержания основной образовательной программы подготовки информатик-экономист по специальности...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org