Случайные величины и их распределения



Скачать 104.5 Kb.
Дата26.12.2012
Размер104.5 Kb.
ТипДокументы
ЧАСТЬ 2

Случайные величины и их распределения


Функции распределения и их свойства

Дискретные распределения

Абсолютно непрерывные распределения. Плотности распределений

Случайные векторы. Многомерные функции распределения

Независимость случайных величин

Формула свертки ( для функций распределения и плотностей)
Случайные величины и их распределения

Пусть дано (,-вероятностное пространство.

Рассмотрим =: .
Def

Случайная величина- измеримое отображение в .
Рассмотрим вещественную ось . Можно рассмотреть борелевскую алгебру .
,

Случайная величина измерима, т.е. 1 .

Для B можно определить .

Каждому 1 случайная величина сопоставляет вероятность.gif" name="object24" align=absmiddle width=8 height=18>

-распределение случайной величины.
Пример:

Пусть принимает два значения , при чем , если , и, если .

Если ;

Если или совпадает соответственно с и .

Если Ø.
-вероятностная мера, заданная на пространстве (R,B).

Действительно, каждому элементу алгебры B сопоставляется неотрицательное число.

Если R, то .

Проверим счетную аддитивность:
Пусть , где = Ø.

Из определения распределения следует, что и .

Т.е. распределение - нормированная мера.
Замечание: Фиксируем какую-либо вероятностную меру , заданную на борелевских множествах B . Взяв =B,R и , можно убедиться , что имеет распределение .Следовательно, всегда можно построить вероятностное пространство и случайную величину, для которых будет служить распределением.

Функции распределения и их свойства.




Определение


Рассмотрим борелевское множество Bx = (-, x) и сужение функции на множество вида Вx.

Функция называется функцией распределения.

Обозначение:
Если мы знаем функцию распределения, то можно восстановить распределение случайной величины:

B=[x, y)







и т.д.

Пример


Бросаем монету.

={г, р}, где г - герб, р - решка.

-алгебра : , , {г}, {р}

вероятность Р: 0, 1, ,

(г)=-10

(р)=10

Посмотрим, как выглядит распределение:






  1. Ø,



  1. {г},




  1. {р},


Свойства функции распределения:


  1. 0F(x)1



  2. F(x) неубывающая функция

  3. F(x) непрерывна слева





  1. F(x) имеет не более чем счетное число точек разрыва.

Типы распределения случайных величин.



(Ω,,P)-вероятностное пространство.


  1. Дискретные распределения


Случайная величина имеет дискретное распределение, если существует B={x1,x2,…}:.

События Аk несовместны.





x1

x2

x3



p1

p2

p3




, В1.

Пусть В=(-∞,x)



  1. Вырожденное распределение.





2) Дискретное равномерное распределение.

x1, x2,…, xn
3) Биномиальное распределение.

~B (n, p)- запомним обозначение!

=0,1,2,…, n 0≤p≤1


4) Геометрическое распределение.
Задача: до первого появления решки подбрасываем (не обязательно) асимметричную монету. P{герб}=р, P{решка}=1-р. Пусть  - число выпавших гербов.





5) Пуассоновское распределение.

 Π(λ), λ>0 =0,1,2, …


  1. Абсолютно непрерывные распределения


абсолютно непрерывна, если существует p(t)0:

ВB1, .



Тогда для почти всех x, называется плотностью распределения случайной величины .





Если существует функция p(t): , то такая функция является плотностью распределения некоторой случайной величины.
6) Равномерное распределение.

~ U([a,b]), -∞




7) Экспоненциальное распределение

~E(λ), λ>0

≥0



-стандартное экспоненциальное распределение.

8) Распределение Коши.
Пусть ~, а =tg. Тогда  имеет распределение Коши:


9) Нормальное распределение.

~N(a,σ2), -∞0

Рассмотрим η~N(0,1)
-плотность распределения стандартного нормального закона.

  1. Сингулярные распределения







функция

распределения

точки роста

дискретные


разрывная

мера 0

абсолютно

непрерывные

непрерывная

мера>0

сингулярные

непрерывная

мера 0



Распределение случайных векторов:
Рассмотрим вероятностное пространство (, ,).

Определим Другими словами,

Имеем отображение:R.

Чтобы назвать данный вектор случайным , необходимо условие измеримости:B можно найти {.

Получается, что нет существенной разницы между случайными величинами и случайными векторами. Каждая из компонент будет случайной величиной.

Def


Измеримое отображение из R называется случайным вектором, компонентами которого являются случайные величины.
B можно ввести многомерное распределение.

- распределение случайного вектора.

Перейдем к более простым функциям. Можно в качестве борелевских множеств брать множества вида .

Если взять определенный набор таких , то имеем:



F=F=.

F- функция распределения случайного вектора.

Такую функцию часто называют совместной функцией распределения случайных величин
Рассмотрим F и ее свойства:

1 F ;
2 F, где .
3 F при ;
3 F при ;
4 F непрерывна слева по любому , где .
Известно , что . Имея F( можем

записать аналогичное соотношение:


Пусть n=2; - двухмерная случайная величина. Рассмотрим для нее виды распределений.

=

. Если существует такой набор точек, то тогда вектор имеет дискретное распределение.

Пусть имеем набор точек: ,. и вероятности

имеем дискретное распределение.
Абсолютно непрерывное распределение:
В. = . (*)

Говорим, что вектор имеет абсолютно непрерывное распределение, если существует

p(u, v): выполняется (*).

p(u, v)- совместная плотность распределения случайных величин .
.

Можно переписать определение:

F.

Рассмотрим F;
FF(.
Пусть имеем и F.Как выразить F?
F= F- маргинальное распределение.
Пусть имеется p(u, v) и . Как выглядит и существует ли плотность у случайной величины ?

F(x)=F(-это неотрицательная функция. Следовательно (по определению) .
Формулы свертки.
Пусть независимые случайные величины. Введем =. Пусть известны F,F.Что тогда можно сказать о F?

  1. Пусть π(), ~ π () независимы. Как будет выглядеть распределение случайной величины ?

, n=0,1,…

, m=0,1,…

=0,1,2,…
=

~ π()
Пусть и независимы. Если


x

x



p

p


:

независимы.

y

y



r

r


:

Рассмотрим =.

F= -общая формула свертки для дискретных случайных величин.
Если и независимы , p(x) и g(y)- плотности распределения и соответственно.

Пусть =. Введем - борелевское множество на плоскости.

{.

Рассмотрим событие .

F==.

Таким образом, получаем, что

F. Здесь использовалось то, что и имеют плотности.

- формула свертки.

Пример: Рассмотрим равномерное распределение на отрезке .

Т.е. ~U() и ~U().

Пусть , и независимы , =. Можно утверждать, что

.

При имеем .

Аналогично при имеем .

Т.о., .

.


Независимые случайные величины.



Определение


Случайные величины независимы, если функция распределения случайного вектора :

Если существует плотность, то



Для дискретных величин имеем:

Критерий независимости: , где - произвольные функции.

Определение


Вектора называются независимыми, если

.
Имеем случайные величины . Как проверить какие из них независимы? Посмотрим можно ли представить функцию распределения случайного вектора в виде произведения функций меньшей размерности:
.
Можно сделать вывод: вектора независимы, т.е. любой элемент из первого вектора независим с любым элементом из второго и третьего.
Пусть  и  независимы.

=f(), =g() – независимы.



Эквивалентное определение независимости:
 , -независимы. B, C 1


Этот факт справедлив и для большей размерности.

Похожие:

Случайные величины и их распределения icon1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство
Непрерывные случайные величины. Нормально распределенные случайные величины: определение, обозначение, характеристическая функция,...
Случайные величины и их распределения iconНепрерывные случайные величины. § Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины
...
Случайные величины и их распределения iconБилет №1 Случайные величины, функции распределения, их свойства. Абсолютно непрерывные и дискретные распределения. Типовые распределения: биноминальное, пуассоновское, нормальное. Схема Бернулли и полиномиальная схема: основные формулы
...
Случайные величины и их распределения iconСеминар №1 дискретные случайные величины ряд распределения случайной величины
Наибольшее из 2-х выпавших очков (если на костях выпало одинаковое число очков, то это число считать наибольшим)
Случайные величины и их распределения iconЗакон Гаусса. Правило 3-х сигм. Непрерывные случайные величины
Непрерывные случайные величины в результате испытания могут принимать любые значения из некоторого интервала
Случайные величины и их распределения iconНепрерывные случайные величины. Закон Гаусса. Правило 3-х сигм
Закон Гаусса. Пусть х – значение непрерывной случайной величины, dx- малый интервал, то вероятность dP того, что х находится в интервале...
Случайные величины и их распределения iconЛекция Случайные величины и их распределения
Поэтому пора во всех таких «похожих» экспериментах вместо самых разных элементарных исходов использовать, например, числа. То есть...
Случайные величины и их распределения icon§ 15. Непрерывные случайные величины. Плотность вероятности. Случайная величина х
Случайная величина х называется непрерывной, если ее функция распределения F(x) непрерывна на всей числовой оси
Случайные величины и их распределения iconИнформатика и вычислительная техника Теоретическая информатика Математические основы информатики
Зависимые и независимые случайные события и случайные величины и их математическое описание
Случайные величины и их распределения iconЗадача №2. Для непрерывной случайной величины X, имеющей плотность распределения, где n номер
Вероятность попасть в корзину при каждом броске считать постоянной и равной N/(N+5). Найти закон распределения случайной величины...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org