Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события



Скачать 362.58 Kb.
страница1/7
Дата26.12.2012
Размер362.58 Kb.
ТипЛекции
  1   2   3   4   5   6   7
Теория вероятностей. Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич


  1. Случайные события.

Основные сведения.

Все явления, происходящие в окружающей нас действительности можно разбить на 2 класса: случайные и неслучайные.

Явления, исход которых можно предугадать нельзя, называют случайными. Явления, исход которых прогнозируем, называют неслучайными.
Например:
1. Над Земной поверхностью вертикально вверх ребенком подброшен мяч. Рассмотрим явление: падение мяча на поверхность Земли. Явление не случайное и исход прогнозируем.
2. Над поверхностью стола брошена монета. Рассмотрим явление: монета упадет на стол гербом вверх. Явление случайное т.к. на монете может выпасть и герб и цифра. Исход предсказать достоверно нельзя.
Теория вероятностей занимается изучением только случайных явлений. Случайные явления теории вероятностей принято называть случайными событиями. Случайные события принято обозначать заглавными буквами латинского алфавита (A,B,C,D…).
В теории вероятностей случайное событие – это первично неопределяемый объект. Другим неопределяемым объектом является стохастический эксперимент(понимают комплекс условий при выполнении которых появляются(могут появиться) случайные события).
Пример: Рассмотрим стохастический эксперимент: Над гладкой горизонтальной поверхностью подброшена дважды монета. Данный стохастический эксперимент – комплекс условий: имеется гладкая поверхность, монета, объект подбрасывающий монету. В результате проведения стохастического эксперимента могут появиться случайные события: A (оба раза выпадет герб), B (герб-цифра) и т.д.
Среди случайных событий выделяют два особых: достоверное и невозможное. Случайное событие, которое в рамках данного стохастического эксперимента произойдет обязательно называют достоверным (Ω) (или как обозначают в технической литературе (U)). Случайное событие, которое в рамках данного стохастического эксперимента никогда не произойдет, называют невозможным () ( в технической литературе U).
Пример: Рассмотрим стохастический эксперимент: игральная кость представляющая собой кубик из одного материала на гранях которого нанесены цифры, подброшен над гладкой горизонтальной поверхностью один раз.

  1. Рассмотрим случайное событие: «выпадет семь». Это событие невозможно т.к. ни на одной из граней не помечено «7».

  2. Рассмотрим другое случайное событие: «выпадет одно из числа (1-6)». Данное событие достоверно.



Операции (над случайными событиями).
В дальнейшем всюду предполагаем, что всюду встречаемые случайные события могут происходить в рамках только одного и того же стохастического эксперимента.


Сумма случайных событий A и B называется такое новое случайное событие (A+B), которое означает, что произойдёт либо A, либо B, либо A и B.
Пример: Рассмотрим стохастический эксперимент: Два стрелка (№1 и №2) делают по одной и той же мишени по одному выстрелу. В рамках данного стохастического эксперимента рассмотрим события: A (№1 попадет в мишень), B (№2 – попадет в мишень). Тогда (A+B) означает, что в мишень попадет либо №1, либо №2, либо №1 и №2. Коротко: «хотя бы один попадет в мишень».
Произведение случайных событий A и B называется такое новое событие (AB), которое означает, что A и B произойдут одновременно (т.е. произойдет и A и B).
Пример: Обратимся к примеру со стрелками. В этом случае (AB) означает, что «оба стрелка поразят мишени».
Разностью между A и B называется такое новое случайное событие (A-B), которое означает, что A и B произойдет без B.
Пример: Обратимся к примеру со стрелками. (A-B) означает, что №1 попадет без №2 (т.е. первый попадет, а №2 нет.
Отрицание случайного события A называется такое новое случайное событие (), которое означает «не A».
Пример: Обратимся к примеру со стрелками. () означает, что №1 не попадет в мишень.
Случайное событие A влечет случайное событие B(A⊂B), если из появления A следует обязательно, что появится B.
Пример: колода 36 карт перемешивается. Наудачу извлекается 1 карта. В рамках данного стохастического эксперимента рассмотрим событие: A (бубновая дама), B(карта бубновой масти). В этом случае AB т.к. извлечение бубновой дамы автоматически означает появление бубновой масти, однако BA извлечение бубновой масти не означает извлечение бубновой дамы.
Если A⊂B и в то же B⊂A, то события A и B называются эквивалентными (или равными), которыми (A=B).
25.02.2010
Классическое определение вероятностей.
Определение: Пусть в стохастическом эксперименте наблюдается (имеется) n равновозможных исходов, m из которых благоприятствуют интересующему нас событию A. Вероятностью события A называется число (обозначается P(A) ) равное отношению m к n.

P (A) = 

Приведенное определение называется классическим. Это одно из первых определений, появившееся вместе с теорией вероятностей. С помощью этого определения можно рассчитать не сложные задачи, однако, уже с конца IXX - начала XX столетия, появились задачи, на исследование которых было недостаточно данного определения. Поэтому с этого времени пытались обобщать определения в частности на тот случай, когда n является . Одна из попыток – статистическое определение вероятностей (Р.Мизес). Кроме того еще ранее было дано геометрическое определение вероятностей.
Статистическое определение вероятностей.
Если мы проанализируем классическое определение вероятностей, то обратим внимание на тот очевидный факт, что P(A) вычисляется до появления A. Т.е. до появления A определяются n-равновозможных исходов и m-исходов. При статистическом определении поступают иначе:
Определение: Пусть проделано n наблюдений (экспериментов) в каждом из которых A могло появиться и нет. Пусть в этих n экспериментах A наблюдалось  раз. Отношение  называют относительной частотой появления A. Само число  – частотой появления A. Из многочисленных экспериментальных наблюдений замечено, что при возрастании числа n отношение  стремится к некоторому числу .
Например: Монета подброшена над горизонтальной гладкой поверхностью 10 раз: 6 раз выпал герб – 4 раза выпало число. Пусть A – появление герба при бросании монеты, тогда относительная частота появления герба будет равняться =0,6.

Пусть этот эксперимент проделали 100 раз. В 55 случаях выпал герб(не важно в каком порядке). В этом случае относительная частота появления герба будет равна  0,5.

Данные подобных стохастических экспериментов приведены в книге Гнеденко Б. В. – «Курс теории вероятностей»
Определение: Пусть  – относительная частота появления A при проведении n стохастических экспериментов. Число , к которому стремится  при возрастании n, называется статистической вероятностью.
Геометрическая вероятность.

Пусть в одно-, двух- или трехмерном пространстве выделена область G имеющая конечную меру. Областью в одномерном пространстве является отрезок, в двухмерном – плоская фигура, в трехмерном – тело. Предполагается, что в качестве меры отрезка выступает его длинна, в качестве меры плоскости фигуры – площадь фигуры, в качестве меры тела – его объем.

Пусть в области G выделена подобласть g (g⊂G). Меру области m(G), меру g обозначим m(g).
Определение: Пусть в пространстве (одно-, двух-, трехмерном) выделена область g имеющая конечную меру m(G). В области G выделена область g имеющая конечную меру m(g). Пусть внутри области G наудачу брошена точка: A – точка попадет в область g. Вероятностью события A называется число P(A), равное отношению m(g) к m(G): . Т.е. P(A)=.

Пример: Линия электропередач соединяет пункты A и B, между которыми находится пункт C. Расстояние от A до B: 100 км, от A до C: 25 км. На линии произошел обрыв провода. Вычислим вероятность того, что обрыв случился на участке AC.
G – Участок AB.

g – Участок AC.
Требуется вычислить вероятность Е(обрыв произошел на AC).

P (E) ===0, 25.
04.03.10
  1   2   3   4   5   6   7

Похожие:

Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события iconПрограмма курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
Событие – качественная характеристика эксперимента. Определение случайного события. Невозможное и достоверное события. Несовместные...
Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события iconИнформатика и вычислительная техника Теоретическая информатика Математические основы информатики
Зависимые и независимые случайные события и случайные величины и их математическое описание
Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события iconКонтрольная №1
Основные понятия теории вероятностей. Случайные события и случайные величины. Совместное распределение нескольких случайных величин....
Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события icon1. Пространство элементарных исходов. События. Измеримое пространство
Непрерывные случайные величины. Нормально распределенные случайные величины: определение, обозначение, характеристическая функция,...
Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события iconПеречень вопросов к экзамену теории вероятностей (5-6 семестр) для студентов математического факультета (заочное отделение) по направлению 010501. 65 «Прикладная математика и информатика»
Случайные эксперименты, случайные события, свойства устойчивости частот. Вероятностное пространство как математическая модель случайного...
Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события icon5 Глава I. Случайные события

Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события iconЛабораторная работа №6 Определение массы навески. Знакомство со статистическим анализом Элементы теории вероятностей
Попробуем разобраться с логическими основами методов статистического анализа. И начнем с элементов теории вероятностей, которая является...
Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события iconСлучайные события и их вероятности
Цели урока: ввести понятия события, достоверного, невозможного и случайного событий; дать определение вероятности; закрепить эти...
Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события iconКогда Михаил Иванович попросил меня написать несколько слов о папе, я задумался: а каким он был, Евгений Андреевич?

Лекции читает Семенчин Евгений Андреевич Случайные события iconЛекции читает: Скобкин С. С
Предшествующие курсы, обязательные для изучения данной дисциплины: «Экономика предприятия», «Микроэкономика»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org