1. Основные законы электрического поля Электрическое поле



Скачать 316.69 Kb.
страница2/6
Дата26.12.2012
Размер316.69 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6

1.2. Теорема Гаусса для вакуума.


Картину поля можно представить как совокупность силовых линий. Такая картина напоминает поток жидкости или газа. Поэтому когда имеют дело с векторными полями, возникает вопрос о балансе силовых линий, точнее вопрос о равенстве числа линий входящих и выходящих из пространства ограниченного произвольной поверхностью. Естественно, что если выходит количество входящих и исходящих линий равно, то внутри поверхности нет источника поля, в противном случае он есть и по разности потоков можно судит о производительности такого источника, т.е. о величине заряда.

Поток жидкости величина более-менее понятная, это количество жидкости прошедшей через плоскость перпендикулярную потоку. По аналогии, поток силовых это количество силовых линий прошедших через перпендикулярную плоскость. Теперь вспомним, что плотность силовых линий пропорциональна напряженности поля Е. Таким образом поток напряженности электрического поля . Эта формула справедлива когда плоскость перпендикулярна направлению вектора . Если плоскость и вектор напряженности будут сориентированы иначе, то величину потока следует искать как , где α – угол между вектором и вектором направленным перпендикулярно рассматриваемой плоскости.

После того как мы дали определение потоку напряженности электрического поля, вернемся к вопросу о балансе потока вектора . Чтобы найти ответ на этот вопрос рассмотрим простейший источник поля – точечный заряд величиной Q. Охватим его некой замкнутой поверхностью и найдем поток вектора . Выберем элементарную поверхность с площадью ds. Эта площадка может быть по-разному ориентирована относительно силовых линий поля, поэтому элементарный поток находится как .

Далее, с целью сокращения записи, элементарную площадь ds будем рассматривать как вектор , где - единичный вектор, направленный от цента наружу замкнутой поверхности. С учетом введенных обозначений поток вектора напряженности можно рассматривать как скалярное произведение . Суммарный поток через всю замкнутую поверхность это сумма всех элементарных потоков пронизывающих поверхность.

Предел такой суммы записывается специальным образом

Для поля созданного одиночным зарядом

где угол между единичными векторами.


Под знаком интеграла находится так называемый элементарный сферический угол . Сумма всех сферических углов равна 4π, т.е.


Отсюда следует, что

, (1.2)
т.е. поток вектора через поверхность s пропорционален заряду находящемуся внутри поверхности.

Введем новую величину,

, (1.3)
которую назовем вектором электрической индукцией (часто называют электрическим смещением) для вакуума. Единица измерения электрической индукции Кулон/метр2, (К/м2).

Формулу (1.2), с учетом (1.3) можно записать так
, (1.4)
т.е. поток вектора электрической индукции равен заряду, породившему этот поток.

Если заряд не одиночный, а распределен в пространстве, то картина поля выглядит более сложной, и рассчитать значение интеграла сложнее. Хотя если заряды находятся на расстоянии значительно меньшем чем величина R, то результаты получаются примерно равными.

Необходимость введения дополнительного вектора для описания электрического поля станет понятной чуть позднее. Хотя и сейчас полученным выражениям можно найти соответствующую аналогию из теории цепей. Представим себе движение токов в проводнике по траекториям соответствующим силовым линиям (именно так, в силу малой массы электронов, происходит их движение в вакууме). Выделим вокруг одной из линий тонкую трубку с площадью поперечного сечения ds. Тогда (1.3) напоминает закон Ома. Здесь вектор является аналогом плотности тока, вектор аналогом напряжения, а соответствует проводимости трубки деленной на площадь ds. Нет нужды лишний раз говорить о том, что вовсе не проводимость. Мы говорим об аналогии формул, т.е. о том, что формулы, полученные сейчас, похожи на формулы, которые мы изучали в теории цепей.

Продолжим дальнейшее рассмотрение. Обратимся к формуле (1.4). Может быть это не очевидно, но она напоминает первый закон Кирхгофа. В самом деле, пусть имеется узел, к которому подключено бесконечное множество ветвей. Ток каждой ветви равен . Это могут быть как входящие, так и выходящие токи. Первый закон Кирхгофа можно сформулировать так: алгебраическая сумма токов ветвей, не содержащих источники тока, равна току источника, подключенного к узлу. В данном случае ток источника численно равен заряду, который охватывает поверхность S.
Задача 1. Поле формируется двумя зарядами Q1 и Q2. Знак и величина зарядов не имеет значения. Какую величину заряда нужно подставить в правую часть теоремы Гаусса?

Ответ прост. Теорема Гаусса связывает поток вектора или с поверхностью, которая охватывает заряд, создающий этот поток. Поэтому если мы интересуемся потоком от Q1, то мы охватываем замкнутой поверхностью этот заряд, и в правой части (1.2) или (1.4) записываем Q1, а под интегралом соответственно вектора или . То же самое, для Q2. Если нас интересуют потоки от обоих зарядов, то в правой части названных равенств фигурирует сумма Q1 и Q2, а под интегралом результирующая напряженность или индукция от двух зарядов.
Задача 2. На рис.1.2. внутри поля выделена поверхность S для проведения интегрирования в соответствии с теоремой Гаусса. Из рисунка видно, что напряженность поля быстро меняется по мере изменения координат. Вопрос в том, какое значение вектора или нужно подставлять под интеграл?

Рис.1.2. Поверхность S в электрическом поле.
Ответ не должен вызывать затруднений. Теорема Гаусса говорит о потоках вектора или , т.е. в упомянутую формулу нужно подставить вектора и , где x, y, z координаты точек расположенных на поверхности S.

1   2   3   4   5   6

Похожие:

1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЗаконы сохранения электрического заряда. Теорема Гаусса (вывод)
Электрическое поле. Напряженность поля. Теорема Гаусса и ее применение для расчета поля заряженной пластины
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconМодель урока «Электрическое поле» Тема. Электрическое поле
Основной характеристики электрического поля – напряженности. Изучение принципа суперпозиции электрических полей. Продолжение формирования...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconВопросы к коллоквиуму №1 для специальности дс за III семестр
Поле и вещество – две основные формы существования материи. Электричес-кое поле. Напряженность электрического поля. Суперпозиция...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле icon«Электрическое поле. Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей»
Тема: «Электрическое поле. Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей»
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЛекции: 32 час практические (семинарские) занятия: 32 часа лабораторные занятия: нет
Поток векторного поля. Закон Гаусса для электрического поля в вакууме. Электрическое поле заряженных тел: сферы, шара, нити, цилиндра,...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле icon13. электрическое поле в проводящих средах 13 основные теоретические положения
Поэтому для поддержания неизменного электрического поля (постоянной разности потенциалов) и компенсации тепловых потерь энергии нужен...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЗакон Кулона. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Суперпозиция электрических полей. Электрический диполь
Основные задачи электростатики. Единственность решения основных задач электростатики. Метод изображений
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЛекция №14. Электрическое поле в диэлектриках Проводники и диэлектрики. Свободные и связанные заряды
Диполь в однородном и неоднородном электрическом поле. Диэлектрики в электростатическом поле. Вектор поляризации. Электрическое смещение....
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconКонспект этапа урока «Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей»
Недостаточно утверждать, что электрическое поле существует. На­до ввести количественную характе­ристику поля. После этого электри­ческие...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconВопросы, выносимые на экзамен по дисциплине " теоретические основы электротехники"
Электрическое поле и его основные характеристики. Основные величины, характеризующие электрическое поле
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org