1. Основные законы электрического поля Электрическое поле



Скачать 316.69 Kb.
страница4/6
Дата26.12.2012
Размер316.69 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6

1.4. Теорема Гаусса в дифференциальной форме


Теорема Гаусса в интегральной форме выражает связь между потоком вектора через поверхность S ограничивающую некоторый объем, и алгебраической суммой зарядов, находящихся внутри этого объема. С помощью теоремы Гаусса в интегральной форме нельзя определить, как связан исток линий Q в данной точке поля с плотностью свободных зарядов в этой же точке поля. Ответ на этот вопрос дает дифференциальная форма записи теоремы Гаусса. Чтобы прийти к ней, разделим обе части уравнения

на одну и ту же скалярную величину — на объем V, находящийся внутри замкнутой поверхности S:

Это выражение остается справедливым для объема V любой величины. Устремим объем V к нулю:


При стремлении объема к нулю интеграл также стремится к нулю, но отношение двух бесконечно малых величин V есть величина конечная. Предел отношения потока векторной величины сквозь замкнутую поверхность, ограничивающую некоторый объем, к объему V называют дивергенцией вектора . Дивергенция записывается как .

В правой части выражения находится объемная плотность свободного заряда .

Таким образом, теорему Гаусса в дифференциальной форме записывают следующим образом (первая форма записи):
, (1.10)
т. е. исток линий в данной точке поля определяется значением плотности свободных зарядов в этой точке. Если объемная плотность зарядов в данной точке положительна (), то из бесконечно малого объема, окружающего данную точку поля, линии вектора исходят (исток положителен, рис.1.4). Если в данной точке поля , то в бесконечно малый объем, внутри которого находится данная точка, линии вектора входят. И, наконец, если в какой-либо точке поля , то в данной точке объема нет ни истока, ни стока линий т. е. в данной точке линии вектора не начинаются и не заканчиваются.



Рис.1.4.
Иллюстрация понятия дивергенции.
Если среда однородна и изотропна (обладает одинаковыми свойствами во всех направлениях), то ее . Тогда вспомнив, что можно записать, что . Вынесем за знак дивергенции:
,

или

(1.11)
Эта формула представляет собой вторую форму записи теоремы Гаусса. Она справедлива только для однородной и изотропной сред. Для неоднородной среды является функцией координат, и потому она не может быть вынесена за знак дивергенции.

Теорему Гаусса в дифференциальной форме записывают так (третья форма записи):
. (1.12)
Следовательно, истоком вектора , в отличие от истока вектора , являются не только свободные, но и связанные заряды.

Дивергенция вектора может быть выражена через его частные производные. Естественно, что в различных системах координат раскрывается по-разному.

1.4.1. Вывод выражения для в декартовой системе координат


Выделим в пространстве весьма малый параллелепипед с ребрами dх, dу, dz. Расположим ребра параллелепипеда параллельно осям декартовой системы (рис.) с единичными векторами . Для нахождения истока вектора из данного объема составим разность потоков, выходящих из данного объема и входящих в него, и разделим разность потоков на объем параллелепипеда, равный.



Рис.1.5. Иллюстрация к вычислению дивергенции
Левую грань площадью dхdz пронизывает только одна составляющая вектора , т. е. составляющая , остальные ( и ) скользят по грани. Поток вектора , входящий в эту грань, равен .

Так как есть функция координат, то и ее составляющие также являются функциями координат. Правая грань площадью dхdz отстоит от левой грани на расстоянии dу. Проекция вектора на ось у равна
,

где - скорость изменения в направлении оси y;

- приращение «игрековой» составляющей напряженности поля на пути dy.
Поток, выходящий из правой грани площадью dxdz, равен

Исток через грани площадью dxdz равен

Таким же путем получим разность потоков через грани площадью dydz

Разность потоков через грани dx dу (верхнюю и нижнюю стенки объема) равна

Для нахождения сложим разности потоков через все грани и поделим сумму на объем параллелепипеда dх dу dz, получим
(1.13)
Из полученной формулы и (1.11) следует уравнение
. (1.14)
которое справедливо для однородных и изотропных сред, и уравнение
, (1.15)
которое справедливо для неоднородных сред.

Аналогичное уравнение можно получить для вектора
. (1.16)
Эти уравнения при заданных ρсвоб и ε0 позволяют найти вектора и в любой точке пространства.

1   2   3   4   5   6

Похожие:

1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЗаконы сохранения электрического заряда. Теорема Гаусса (вывод)
Электрическое поле. Напряженность поля. Теорема Гаусса и ее применение для расчета поля заряженной пластины
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconМодель урока «Электрическое поле» Тема. Электрическое поле
Основной характеристики электрического поля – напряженности. Изучение принципа суперпозиции электрических полей. Продолжение формирования...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconВопросы к коллоквиуму №1 для специальности дс за III семестр
Поле и вещество – две основные формы существования материи. Электричес-кое поле. Напряженность электрического поля. Суперпозиция...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле icon«Электрическое поле. Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей»
Тема: «Электрическое поле. Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей»
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЛекции: 32 час практические (семинарские) занятия: 32 часа лабораторные занятия: нет
Поток векторного поля. Закон Гаусса для электрического поля в вакууме. Электрическое поле заряженных тел: сферы, шара, нити, цилиндра,...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле icon13. электрическое поле в проводящих средах 13 основные теоретические положения
Поэтому для поддержания неизменного электрического поля (постоянной разности потенциалов) и компенсации тепловых потерь энергии нужен...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЗакон Кулона. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Суперпозиция электрических полей. Электрический диполь
Основные задачи электростатики. Единственность решения основных задач электростатики. Метод изображений
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЛекция №14. Электрическое поле в диэлектриках Проводники и диэлектрики. Свободные и связанные заряды
Диполь в однородном и неоднородном электрическом поле. Диэлектрики в электростатическом поле. Вектор поляризации. Электрическое смещение....
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconКонспект этапа урока «Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей»
Недостаточно утверждать, что электрическое поле существует. На­до ввести количественную характе­ристику поля. После этого электри­ческие...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconВопросы, выносимые на экзамен по дисциплине " теоретические основы электротехники"
Электрическое поле и его основные характеристики. Основные величины, характеризующие электрическое поле
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org