1. Основные законы электрического поля Электрическое поле



Скачать 316.69 Kb.
страница6/6
Дата26.12.2012
Размер316.69 Kb.
ТипДокументы
1   2   3   4   5   6

1.5. Граничные условия


Как было показано выше, поляризация диэлектриков приводит к ослаблению напряженности электрического поля внутри диэлектрика. На его поверхности возникает связанный заряд. С другой стороны, если поле действует вдоль поверхности раздела двух диэлектриков на этой поверхности не должны возникать связанные заряды. Словом, представляет интерес влияние диэлектриков на электрическое поле. Например, как изменится значение вектора , при переходе из одного диэлектрика в другой? Или как меняется напряженность поля при переходе из проводника в диэлектрик?


Граничные условия для нормальной составляющей вектора


Рассмотрим рисунок, на котором изображена граница раздела двух сред с разными диэлектрическими проницаемостями ε1 и ε2. Кроме того, будем считать, что на поверхностях сред имеются свободные заряды, с плотностью σ1 и σ2. Указанные среды находятся в электрическом поле с индукцией .


Найдем, как связаны между собой вектора электрического поля в указанных средах.

Предположим, что граница перехода из одной среды в другую имеет толщину Δh, и по мере перемещения по границе вектор плавно изменяется от до . Выделим в этой границе цилиндр, так, чтобы его верхняя и нижняя грани находились в разных средах. Запишем для цилиндра теорему Гаусса.

Выразим интеграл через сумму потоков проходящих через верхнее и нижнее основание и боковую поверхность цилиндра.
(1.25)
где - поток вектора через боковую поверхность;

и - единичные, нормальные к верхнему и нижнему основаниям цилиндра, векторы;

Δs – площади оснований цилиндра.
Теперь вспомним, что на самом деле толщина границы раздела двух сред равна нулю. Это значит, что в (1.25) Δh следует устремить к нулю.

При поток . Уравнение после замены скалярных произведений проекциями принимает вид


Величина - это поверхностная плотность заряда. Естественно, что она не может быть разной на границе раздела, т.к. это одна и та же поверхность, т.е. σ12=σ.
Уравнение можно записать так
(1.26)
Если , то . Таким образом, нормальная составляющая вектора имеет разрыв только тогда, когда поверхностная плотность зарядов не равна нулю. Тогда из уравнения для нормальной составляющей вектора следует
, (1.27)
т.е. нормальная составляющая вектора имеет разрыв, если конечно, имеется изменение диэлектрической проницаемости .

Граничные условия для тангенциальной составляющей вектора



Рассмотрим пространство, в котором существует электрическое поле. Вектор напряженности электрического поля в каждой точке пространства имеет свою величину и направление. В соответствии с (1.19) в таком поле интеграл по замкнутому контуру
(1.28)
Воспользуемся этим уравнением для определения закона изменения тангенциальных составляющих векторов поля на границе раздела двух сред. Вновь рассмотрим рисунок изображающий границу раздела двух сред.


Запишем уравнение (1.28) для выделенного прямоугольного контура

,
где , - вектора напряженности электрического поля в средах 1 и 2;

, - единичный вектор касательный к поверхности раздела;

U12 , U21 –напряжения на границе раздела двух сред
Пусть . Тогда U12→0 и U21→0. Уравнение принимает вид
, (1.29)
т.е. тангенциальная составляющая вектора разрыва не имеет. Но вектор может иметь разрыв, т.к.
(1.30)

или

(1.31)


Граничные условия на границе проводник-диэлектрик


При отсутствии тока в проводнике, выполняются условия:

  1. Потенциалы всех точек проводника равны;

  2. Напряженность поля внутри проводника равна нулю;

В таком случае

Нормальная составляющая вектора в проводнике равна нулю, а в диэлектрике, в соответствии с (1.25), Dn=σ. Соответственно E n=σ/εa.

Тангенциальные составляющие напряженности поля, как в проводнике, так и в диэлектрике, равны нулю, т.е. Eτ=0 согласно с (1.28).

Граничные условия на границе диэлектрик-диэлектрик


На границе двух диэлектриков нормальные составляющие векторов равны, т.е. Dn1=Dn2, т.е. нормальная составляющая вектора непрерывна. Тангенциальные составляющие, в соответствии с (1.30) связаны отношением

т.е. имеют разрыв.

С составляющими вектора все обстоит иначе. Нормальная составляющая вектора имеет разрыв. В соответствии с (1.26)

Тангенциальная составляющая вектора непрерывна (1.29), т.е.
,

1.6. Поле заряженной оси


Под заряженной осью понимают бесконечно тонкий, бесконечно длинный проводник, имеющий внешний заряд.

Задача заключается в том, чтобы найти напряженность поля, создаваемого заряженной осью. При этом предполагается, что плотность заряда на единицу длины известна, и равна τ. Известна также диэлектрическая проницаемость окружающей среды εa.

Очевидно, что вектор напряженности, создаваемый заряженной осью, лежит в плоскости перпендикулярной заряженной оси и перпендикулярен ей.

Для нахождения решения охватим ось цилиндрической поверхностью так, чтобы ее ось совпадала с заряженной осью.


Воспользуемся Теоремой Гаусса. Очевидно, что поток вектора через основания цилиндра равен нулю, поскольку угол между векторами и равен π/2. Поэтому остается найти только поток через боковую поверхность цилиндра.

Направление векторов элементарных площадей и напряженностей везде совпадают. Поэтому поток вектора через боковую поверхность
,

где h – высота цилиндра.

Величина электрического заряда, охваченного поверхностью . Из теоремы Гаусса следует равенство



или

.
Потенциал в любой точке определяется как


1.7. Емкость


Если два проводника имеют равные, но противоположные по знаку заряды Q, то между ними создается электрическое поле.

Если напряжение между проводниками U, то под емкостью между двумя телами понимают отношение абсолютных величин
.
Задача 1. В коаксиальном кабеле с твердой изоляцией (ε2=6) вследствие перегрева образовался между жилой и изоляцией воздушный зазор (ε1=1) шириной b-а=0,5 см. Кабель проходит в земле. Радиусы жилы и оболочки (внутренней и внешней) соответственно а = 0,5 см, с = 2 см, d = 2,5 см. Требуется определить емкость кабеля на единицу длины.
Решение.

Для подсчета емкости кабеля следует предположить, что на жиле имеется заряд q. Затем нужно найти разность потенциалов между жилой и оболочкой U, необходимую для подсчета емкости.


Напряженность поля между жилой и оболочкой кабеля можно легко найти с помощью теоремы Гаусса, причем нужно интегрировать по равнопотенциальной поверхности, имеющей форму цилиндра радиусом r и длиной l. Эту поверхность силовые линии пересекают под прямым углом, α=0, и в силу симметрии напряженность поля по всей поверхности будет одинакова. Поэтому поток вектора напряженности через эту поверхность

В соответствии с теоремой Гаусса этот поток можно выразить через охватываемый заряд



т.е.


Для образовавшегося воздушного зазора ε=1, т.е.

Для твердой изоляции


Потенциал произвольной точки, находящейся между жилой и оболочкой на расстоянии r от оси кабеля


Для области b≤r≤c

Для области arb

Так как оболочка заземлена, напряжение между жилой и оболочкой равно потенциалу жилы:

Следовательно емкость на единицу длины кабеля


1.8. Уравнения Пуассона и Лапласа


Уравнение (1.16) позволяет найти вектор по заданной плотности заряда. Однако найти его решение можно только в самых простых случаях, например, когда вектор имеет только одну составляющую. Для того, чтобы решить его в общем виде воспользуемся (1.23)
,
которое с учетом (1.8) можно записать так:

Таким образом (1.16) принимает вид:
,
а в тех точках поля, где заряд отсутствует


Уравнения можно записать иначе
(1.32)

и

(1.33)
Первое уравнение называется уравнением Пуассона, второе уравнением Лапласа. Иногда они записываются с помощью оператора (набла квадрат). В этом случае уравнение Пуассона выглядит так:
,

или
.
Уравнение Лапласа записывается так:
.
или
.
Уравнение Лапласа играет в электростатике важную роль. Дело в том, что в большинстве случаев электростатические поля возбуждаются заряженными проводниками. Заряды распределяются по проводнику бесконечно тонким слоем по его поверхности, являясь пограничным слоем для поля. Внутри проводника напряженность поля равна нулю, иначе в проводнике протекал бы ток. Напротив, в диэлектрике поле существует, но нет свободных зарядов, поэтому ток тоже отсутствует. Во всех случаях уравнение Лапласа позволят определить параметры поля.

1.0. Теорема единственности

Уравнение Лапласа как уравнение в частных производных допускает бесчисленное множество линейно независимых частных решений; в этом находит свое математическое отражение бесконечное разнообразие полей, которые могут быть возбуждены заряженными проводниками. Обычно требуется определить поле, если известны форма и расположение проводников и диэлектриков и неоднородные граничные условия:

а) потенциалы проводников,

б) суммарный заряд каждого проводника, потенциал которого не известен.

При этом необходимо иметь критерий, который позволил бы отобрать из всевозможных решений уравнения Лапласа то решение, которое соответствует именно данной задаче. Такой критерий устанавливается теоремой единственности: решение, удовлетворяющее уравнениям поля и граничным условиям данной задачи, является единственным.

Из теоремы единственности вытекают два следствия, имеющие важное прикладное значение.

Следствие 1. Электростатическое поле (и соответствующее ему решение) в некотором объеме, ограниченном равнопотенциальными поверхностями, не изменится, если эти поверхности станут проводящими, т. е. превратятся в границы проводников, которым сообщены соответствующие потенциалы.

Следствие 2. Электростатическое поле по одну сторону поверхности S (необязательно равнопотенциальной) не изменится, если по другую сторону этой поверхности изменить параметры среды и распределение зарядов так, чтобы сохранились граничные условия на поверхности S.

Вновь распределенные заряды называются изображениями преобразованных зарядов, а основанный на таком преобразовании метод расчета называется методом изображений. Оба следствия позволяют значительно расширить область применения интегральных форм уравнений электростатики для расчета полей.
1   2   3   4   5   6

Похожие:

1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЗаконы сохранения электрического заряда. Теорема Гаусса (вывод)
Электрическое поле. Напряженность поля. Теорема Гаусса и ее применение для расчета поля заряженной пластины
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconМодель урока «Электрическое поле» Тема. Электрическое поле
Основной характеристики электрического поля – напряженности. Изучение принципа суперпозиции электрических полей. Продолжение формирования...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconВопросы к коллоквиуму №1 для специальности дс за III семестр
Поле и вещество – две основные формы существования материи. Электричес-кое поле. Напряженность электрического поля. Суперпозиция...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле icon«Электрическое поле. Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей»
Тема: «Электрическое поле. Напряжённость электрического поля. Принцип суперпозиции полей»
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЛекции: 32 час практические (семинарские) занятия: 32 часа лабораторные занятия: нет
Поток векторного поля. Закон Гаусса для электрического поля в вакууме. Электрическое поле заряженных тел: сферы, шара, нити, цилиндра,...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле icon13. электрическое поле в проводящих средах 13 основные теоретические положения
Поэтому для поддержания неизменного электрического поля (постоянной разности потенциалов) и компенсации тепловых потерь энергии нужен...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЗакон Кулона. Электрическое поле. Напряженность электрического поля. Суперпозиция электрических полей. Электрический диполь
Основные задачи электростатики. Единственность решения основных задач электростатики. Метод изображений
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconЛекция №14. Электрическое поле в диэлектриках Проводники и диэлектрики. Свободные и связанные заряды
Диполь в однородном и неоднородном электрическом поле. Диэлектрики в электростатическом поле. Вектор поляризации. Электрическое смещение....
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconКонспект этапа урока «Напряженность электрического поля. Принцип суперпозиции полей»
Недостаточно утверждать, что электрическое поле существует. На­до ввести количественную характе­ристику поля. После этого электри­ческие...
1. Основные законы электрического поля Электрическое поле iconВопросы, выносимые на экзамен по дисциплине " теоретические основы электротехники"
Электрическое поле и его основные характеристики. Основные величины, характеризующие электрическое поле
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org