Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, )



Скачать 51.75 Kb.
Дата26.12.2012
Размер51.75 Kb.
ТипЗадача
Программа-минимум кандидатского экзамена по специальности 01.01.03 ''Математическая физика''

Дифференциальные уравнения в частных производных первого порядка

Уравнения в частных производных первого порядка. Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл.

([9], гл.1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, §1.)

Вариационное исчисление

Интегральный функционал. Уравнения Эйлера - Лагранжа. Естественные граничные условия. Условный экстремум, множители Лагранжа.

Уравнения Гамильтона. Условия трансверсальности. Поля экстремалей. Лагранжевы многообразия. Уравнения Гамильтона - Якоби.

([1]; [6]; [14], гл. И.)

Специальные функции

Сферические функции.

Группа вращений. Сферически симмеричные операторы. Представления группы вращений. Оператор Лапласа - Бельтрами на сфере. Сферические функции. Полиномы Лежандра. Свойства полноты.

([13], гл.6, § 1, [16], доп., ч.П; [18], §§ 24-30.)

Функции Бесселя.

Уравнение Бесселя. Функции Бесселя, Неймана, Ханкеля. Ряды и интегральные представления. Асимптотические формулы. Ряд и интеграл Фурье - Бесселя.

([13], гл.6, §2, [16], доп., ч.1.)

Интегральные операторы

Операторы Вольтерра. Операторы с непрерывными ядрами. Теоремы Федгольма. Формулы Фредгольма.

Операторы Гильберта - Шмидта в LD. Операторы со слабо полярными ядрами в l! .

Симметричные ядра. Теорема Гильберта - Шмидта.

Объемный потенциал. Потенциалы простого и двойного слоя. Применение к теории краевых задач для уравнения Лапласа.

Функции, непрерывные по Гельдеру. Сингулярный интеграл Коши. Краевая задача Римана.

Сингулярные интегральные операторы. Индекс: Фредгольмовость. Уравнения с разностным ядром на полуоси.

([5], гл. 1-3; [12], гл. 7; [14], гл.. I.)

Теория краевых задач

Усреднение функций. Обощенные производные. Пространства Соболева. Теоремы вложения. Эквивалентные нормы в пространствах Соболева. Неравенства Фридрихса и Пуанкаре.

Обобщенные решения краевых задач для эллиптического уравнения второго порядка. Фредгольмовость. Достаточные условия единственности. Спектр симметричного оператора.

Прямые методы вариационного исчисления. Теоремы сушествования минимума. Условия слабой полунепрерывности снизу. Необходимые условия минимума. Вариационные неравенства. Минимаксимальный прицип для собственных функций.

Обобщенные решения начально-краевых задач для параболических и
гиперболических уравнений. Энергетические неравенства. Метод Фурье. Метод
Галеркина. Разностные методы.

([10], гл. 1-4; [12], гл. 1-3; [14], гл.. II; [15], гл.. II.)

Гиперболические системы

Гиперболические системы первого порядка. Характеристики.
Приведение каноническому виду. Римановы инварианты. Симметричные гиперболические системы. Квазилинейные системы. Слабые решения линейных систем и квазилинейных систем типа законов сохранения. Ударные волны, условия на разрывах.

([7], лекции 9-11; [9], гл. V, §§ 2,9, гл. VI, §§ 7-10.)

Асимптотические методы

Асимптотический мтод Лапласа, метод стационарной фазы, метод перевала.

Метод ВКБ. Точки поворота.

Уравнение Гельмгольца. Лучевой метод. Волновое уравнение.

Распространение особенностей.

([2], гл. 1; [13], гл.. III, V; [19], гл.. 1-4.)

Псевдодифференциальные операторы

Псевдодифференциальные операторы в области евклидова пространства. Символ. Псевдолокальность. Композиция, замена переменных. Смволическое исчисление. Непрерывность в пространствах Соболева. ПДО на многообразиях.

([17], гл. 1,2; [20], §18.1; [21], гл.1.).

Спектральная теория

Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Спектр. Спектральная теорема. Функции операторов. Самосопряженные расширения симметрических операторов.

Эллиптический оператор на ограниченной области. Оператор Шредингера с растущим потенциалом.

Одномерный оператор Шредингера с убывающим потенциалом. Решения задачи рассеяния, теорема разложения.

([3], гл. 2-4; [14], гл. 4-8; [1], гл. 3.)

Уравнение Кортевега-Де-Фриза

Обратная задача теории рассеяния для одномерного уравнения Шредингера. Интегральное уравнение Гельфранда - Левитана - Марченко.

Уравнение Картевега-де-Фриза. Эквивалентная динамика решений уравнений Щредингера и спектральных характеристик

([8], гл. 1; [11], гл. 3,4.)

Специальная часть.

1. Вариационные принципы механики.
Вариационные принципы для полей. Теорема Нетер. Законы сохранения в классической механике. ([!]; [6]; [14], гл. II.)

2. Уравнение Гельмгольца
Уравнение Гельмгольца. Внутренние задачи Дирихле и Неймана для круга и шара. Внешние задачи. Принципы предельного поглощения и предельного излучения.

([13], гл.6, §§ 1,2, [15], гл.П, §2; [16], гл. VII, доп.)

3. Интегральные операторы. Функции, непрерывные по Гельдеру.
Сингулярный интеграл Коши. Краевая задача Римана. Сингулярные интегральные операторы. Индекс: Фредгольмовость. Уравнения с разностным ядром на полуоси.

4. Монотонные операторы. Их приложение к задаче Дирихле для квазилинейных эллиптических уравнений.

([10], гл. 1-4; [12], гл. 1-3; [14], гл.. II; [15], гл.. П.)

5. Гиперболические системы
Слабые решения линейных систем и квазилинейных систем типа законов сохранения. Ударные волны, условия на разрывах.

([7], лекции 9-11; [9], гл. V, §§ 2,9, гл. VI, §§ 7-10.)

6. Распространение особенностей.

([2], гл. 1; [13], гл.. III, V; [19], гл.. 1-4.)

7. Псевдодифференциальные операторы
Эллиптические ПДО. Параметрикс эллиптических операторов, фредгольмовость.

([17], гл. 1,2; [20], §18.1; [21], гл. 1.)

8. Спектральная теория
Нестационарная теория рассеяния, волновые операторы, оператор
рассеяния. Применение к оператору Шредингера.
([3], гл. 2-4; [14], гл. 4-8; [1], гл. 3.)

9. Уравнение Кортевега-де-Фриза
Задача Коши для уравнения КдФ.
([8], гл. 1; [11], гл. 3,4.)

Литература

  1. Ахиезер Н.И. Вариационное исчисление. - Харьков: Вища школа, 1981.

  2. Бабич В.М, Булдырев B.C. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. - М.: Наука, 1972.

  3. Берёзин Ф.А., Шубин М.А. Уравнение Шредингера. - МГУ, 1983.

  4. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. - Л.: Изд-во ЛГУ, 1980.

  5. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. -М.: Наука, 1973.

  6. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. -М. 1961.

  7. Годунов С.К. уравнения математической физики. - М.: Наука, 1971.

  8. Захаров В.Е., Манаков С.В., Новиков С.П., Питаевский Л.П. (под ред. С.П.Новикова) Теория солитонов. Метод обратной задачи. - М.: Наука, 1980.

  9. Курант Р. Уравнения с частными производными. - М.: Мир, 1964.

  10. Ладыженская О.А. Краевые задачи математической физики. - М.: Наука,
    1973.

  11. Марченко В. А. Операторы Штурма - Лиувилля и их приложения. - Киев: Наукова думка, 1977.

  12. Михлин С.Г. Линейные уравнения в частных производных. -М., Высшая
    школа, 1977.

Похожие:

Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconЗадача Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений Пусть требуется найти решение задачи Коши:, a ≤ x ≤ b. (1)
На отрезке [a,b] зададим конечное множество точек. Будем искать приближенное решение задачи (1) в выбранных точках xi
Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconЗадача Коши, теорема о существовании и единственности решения. Общее, частное решение (интеграл)
...
Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconРешение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Предлагается решить задачу Коши для уравнения, которое можно разрешить относительно старшей производной
Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconВосстановление неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений первого порядка в форме коши л. Г. Быстров ОАО «кб электроприбор»
Дана матрица-столбец, элементами которой являются квазиполиномы. Требуется построить нормальную систему уравнений в форме Коши [1]:...
Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconЗадача и примеры численных методов ее решения. Постановка исходной задачи
Численный методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconЗадача Коши для дифференциального уравнения первого по­рядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разде­ляющимися переменными, однородные и приводящиеся к ним
Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconРешение дифференциального уравнения методом (задачи Коши) Эйлера
Это простейший численный метод решения задачи Коши. Его точность невелика и применяется он в основном для прикидочных расчетов. Численный...
Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconЗадача Коши для дифференциального уравнения первого порядка. Формулировка теоремы существования и единственности решения задачи Коши
Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися переменными, однородные и приводящиеся к однородным
Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconСлоения на аналитические кривые и смежные вопросы
Голоморфные функции нескольких комплексных переменных и их простейшие свойства: теорема о неявной функции; об обратном операторе;...
Задача Коши. Характеристические кривые и полосы. Характеристическая система уравнений. Решение задачи Коши. Полный интеграл. ([9], гл. 1, :§§ 4,5, гл. 2, §§ 1-8; [15], гл. 1, ) iconМетоды математической физики
Сведение задачи Коши и краевой задачи к интегральным уравнениям. Типы интегральных уравнений
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org