Программа дисциплины «Линейная алгебра»



Скачать 382.23 Kb.
страница4/5
Дата26.12.2012
Размер382.23 Kb.
ТипПрограмма дисциплины
1   2   3   4   5

8Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

8.1Тематика заданий текущего контроля



Контрольная работа №1 предназначена для проверки качества освоения студентами следующих компонент курса (в соответствии с программой):
Алгебра матриц.
Матрицы. Строки, столбцы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.

Умножение строки на столбец. Умножение матриц. Транспонирование матриц.

Свойства арифметических операций над матрицами. Связь с транспонированием.

Понятие линейного векторного пространства.

Решение матричных уравнений.

Векторы на плоскости и в пространстве. Линейная зависимость векторов.

Скалярное произведение, длина вектора, величина угла между векторами.
Квадратные матрицы и определители второго и третьего порядков.
Определение определителя. Миноры, алгебраические дополнения. Свойства определителей. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу).

Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения двух матриц. Обратная матрица. Линейные системы с двумя и тремя неизвестными. Геометрическая интерпретация этих систем. Правило Крамера.
Определитель nго порядка, его свойства и способы вычисления.
Преобразования матриц и системы линейных уравнений.
Различные формы записи системы линейных уравнений. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Элементарные преобразования строк (столбцов) матриц. Элементарные преобразования строк (столбцов) произведения двух матриц. Строчный и столбцовый ранги матриц. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк.

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений.

Главные элементы приведенной матрицы. Главные и свободные неизвестные.

Условие совместности системы линейных уравнений.
Контрольная работа № 1 (типовой вариант)
1. Для матриц , и вычислите матрицу .

2. Найдите значения параметров , при которых векторы




линейно зависимы.


3. Найдите все значения параметра , при каждом из которых векторы
gif" name="object8" align=absmiddle width=238 height=66> линейно зависимы .

4. Найдите наибольшее значение определителя
.

5. Найдите все матрицы , удовлетворяющие матричному уравнению , где

.
6. Найдите общее решение системы уравнений
7. Решите неравенство .

8. Для матрицы найдите обратную матрицу и сделайте проверку.

9. Решите систему линейных уравнений
10. Докажите, что для матриц выполнено равенство .
11. Найдите общую точку двух прямых AB и CD , если .
12. Выясните, является ли трапецией многоугольник из задачи 11, и найдите его площадь.
13. Найдите матрицу из уравнения .

14. Вектор представляется в виде каждой из двух линейных комбинаций и , где ; . Напишите формулы, выражающие числа как функции от .

Контрольная работа №2 предназначена для проверки качества освоения студентами следующих компонент курса (в соответствии с программой):
Линейные зависимости векторов в линейном пространстве.
Линейная зависимость (независимость) конечных наборов векторов.

Элементарные преобразования конечных наборов векторов. Обратимость элементарных преобразований. Ранг конечного набора векторов.

Линейное подпространство линейного пространства. Линейная оболочка конечного набора векторов. Размерность линейной оболочки. Условие принадлежности вектора линейной оболочке. Условие совпадения двух линейных оболочек.

Конечномерное пространство. Базис и координаты векторов. Свойства координат векторов. Изменение координат векторов при изменении базиса. Формулы перехода от старого базиса к новому.

Сумма и пересечение линейных подпространств.

Критерий линейной зависимости конечного набора столбцов. Равенство строчного и столбцового рангов матриц.

Структура общего решения линейной однородной системы.

Размерность пространства решений линейной однородной системы.

Теорема об общем решении линейной неоднородной системы.

Алгоритм нахождения базисов в сумме и пересечении линейных оболочек конечных наборов векторов.
Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц.
Характеристический многочлен квадратной матрицы.

Использование теоремы о сумме и произведении собственных значений матрицы.

Линейная независимость собственных векторов, отвечающих различным собственным значениям.

Разложение вектора-столбца в линейную комбинацию собственных векторов матрицы.

Понятие о корневых векторах матрицы.
Ранг матрицы.
Вычисление ранга матрицы. Ранг произведения матриц.
Линейные операторы.
Определение линейного оператора. Матрица линейного оператора.

Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базисов.

Ядро и образ линейного оператора. Их размерность.

Собственные векторы и собственные значения линейного оператора.

Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду.
Элементы аналитической геометрии на плоскости.
Общее уравнение прямой на плоскости. Вычисление угла между прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Проектирование точек на прямые. Симметрия относительно прямой.

Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве.

Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Условие коллинеарности двух векторов.

Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам.

Скалярное произведение векторов. Вычисление в координатах.

Площадь параллелограмма и треугольника. Вычисление в координатах.
Контрольная работа № 2 (типовой вариант)

1. Линейный оператор в базисе (здесь ) имеет матрицу . Найдите матрицу этого оператора в базисе (здесь ) ,

2. Укажите базис , в котором матрица оператора из задачи 1 диагональна.

3. Оператор ставит в соответствие каждой матрице строку . Докажите, что этот оператор линеен.

Найдите матрицу этого оператора в базисах , где ; и , где .

4. Найдите координаты вектора в базисе из задачи 3 .

5. Представьте вектор в виде суммы двух собственных векторов матрицы.


6. Найдите базис в линейной оболочке пяти векторов пространства

.

и разложите каждый из этих векторов по выбранному Вами базису .

7. Вектор в базисе из векторов имеет координатный столбец , а в базисе из векторов имеет координатный столбец . Выразите столбец как функцию от столбца .

8. В прямоугольной декартовой системе координат заданы координаты трех последовательных вершин параллелограмма ABCD: . Найдите координаты четвертой вершины, параллелограмма и координаты точки пересечения медиан треугольника ABC, напишите уравнение медианы этого треугольника, проведенной из вершины C , вычислите тангенс угла B.

9. Заданы вершины треугольника . Найдите координаты точки,

симметричной точке C относительно прямой AB, вычислите площадь треугольника ABC.
10. Точки лежат на одной прямой. Найдите значение параметра a и расстояние от точки до этой прямой .
11. Найдите точку пересечения прямой, проходящей через точки и , с плоскостью, проходящей через точки , и .

12. Найдите координаты точки, симметричной точке относительно плоскости из задачи 11 .
Контрольная работа №3 предназначена для проверки качества освоения студентами следующих компонент курса (в соответствии с программой):
Евклидовы пространства.
Скалярное произведение.

Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов.

Независимость попарно ортогональных ненулевых векторов. 10

Ортогональное дополнение линейного подпространства в евклидовом пространстве. Ортогональная проекция вектора на подпространство (задача наилучшего приближения).

Процесс ортогонализации конечного набора векторов.

Матрица Грама. Ее преобразование при изменении базиса.
Сопряженные линейные операторы.
Определение оператора, сопряженного данному линейному оператору.

Матрица сопряженного оператора. Самосопряженный оператор

Собственные значения и собственные векторы самосопряженных операторов.

Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.

Вычисление степеней матриц.
Элементы аналитической геометрии в пространстве.
Прямоугольная система координат в пространстве.

Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении.

Векторы. Условие компланарности трех векторов.

Разложение вектора пространства по трем некомпланарным векторам.

Скалярное произведение векторов. Вычисление в координатах.

Векторное произведение векторов. Вычисление в координатах.

Смешанное произведение векторов. Вычисление в координатах.

Площадь параллелограмма и треугольника. Вычисление в координатах и с использованием матрицы Грама. Объем параллелепипеда. Вычисление в координатах. Использование матрицы Грама.

Общее уравнение прямой в пространстве. Вычисление угла между прямыми.

Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой.

Общее уравнение плоскости в пространстве. Вычисление угла между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей.

Расстояние от точки до плоскости.

Взаимное расположение прямых и плоскостей.

Проектирование точек на прямые и плоскости.

Симметрия относительно прямой и плоскости.

Преобразование координат точки при замене системы координат.
Контрольная работа № 3 (типовой вариант)
1. Найдите величину угла между векторами и , если матрица Грама базиса равна

.

2. В условиях предыдущей задачи найдите площадь треугольника, построенного на векторах , и объем тетраэдра, построенного на базисных векторах.

3. В базисе из задачи 1 линейный оператор имеет матрицу

, а вектор . Найдите матрицу сопряженного оператора в том же базисе и координаты векторов и в базисе .
4. В некотором ортонормированном базисе линейный оператор имеет матрицу

. Найдите ортонормированный базис, в котором матрица оператора диагональна.

5. В условиях задачи 4 представьте вектор в виде суммы двух собственных векторов оператора .

6. Для матрицы вычислите матрицу .
7. В параллелепипеде заданы координаты четырех вершин: . Найдите координаты точки . Вычислите площадь треугольника и объем параллелепипеда.
8. В условиях задачи 7 найдите расстояние от точки до прямой , координаты проекции точки на прямую и координаты точки, симметричной точке относительно прямой .
9. В условиях задачи 7 найдите расстояние от точки до плоскости , вычислите координаты вектора , являющегося проекцией вектора на плоскость , и найдите величину угла между прямой и плоскостью .
10. В условиях задачи 7 найдите величину угла между плоскостями и .
11. В условиях задачи 7 напишите формулы перехода от базиса к новому базису .
12. Линейный оператор является оператором проектирования векторов трехмерного пространства на плоскость из задачи 7 . Найдите матрицу этого оператора в базисе , укажите собственные числа и собственные векторы этого оператора. Выясните, является ли этот оператор самосопряженным. Проверьте равенство .

Домашнее задание №1 предназначено для проверки качества освоения студентами всех компонент курса (в соответствии с программой) оно включает в себя следующие темы:
Алгебра матриц.
Матрицы. Строки, столбцы. Сложение матриц. Умножение матрицы на число.

Умножение строки на столбец. Умножение матриц. Транспонирование матриц.

Свойства арифметических операций над матрицами. Связь с транспонированием.

Решение матричных уравнений.

11

Квадратные матрицы и определители второго и третьего порядков.
Определение определителя. Миноры, алгебраические дополнения. Свойства определителей. Вычисление определителей разложением по строке (столбцу).

Определитель транспонированной матрицы. Определитель произведения двух матриц. Вычисление определителя с помощью элементарных преобразований

Обратная матрица. Линейные системы с двумя и тремя неизвестными. Геометрическая интерпретация этих систем. Правило Крамера. Определители высших порядков, их свойства и вычисление.
Линейные зависимости векторов в линейном пространстве.
Получение простейших следствий аксиом линейного пространства. Проверка линейной зависимости (независимости) конечных наборов векторов. Вычисление ранга конечного набора векторов. Нахождение базы набора. Изучение линейных подпространств линейного пространства и линейных оболочек конечных наборов векторов. Нахождение размерности линейной оболочки. Проверка принадлежности вектора линейной оболочке. Условие совпадения двух линейных оболочек.

Базис и координаты вектора. Свойства координат векторов. Изменение координат векторов при изменении базиса. Формулы перехода от старого базиса к новому.

Нахождение суммы и пересечения линейных подпространств.
Преобразования матриц и системы линейных уравнений.
Различные формы записи системы линейных уравнений. Матрица и расширенная матрица системы линейных уравнений. Приведение матрицы к ступенчатому виду элементарными преобразованиями строк. Главные элементы приведенной матрицы. Главные и свободные неизвестные. Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Условие существования ненулевого решения однородной линейной системы. Критерий линейной зависимости конечного набора столбцов.

Структура общего решения линейной однородной системы.

Размерность пространства решений линейной однородной системы.

Структура общего решения линейной неоднородной системы.

Алгоритм нахождения базисов в сумме и пересечении линейных оболочек конечных наборов векторов.
Системы линейных уравнений с невырожденной квадратной матрицей.
Обратная матрица невырожденной квадратной матрицы. Вычисление обратной матрицы с помощью алгебраических дополнений, транспонирования и деления на определитель исходной матрицы. Построение обратной матрицы элементарными преобразованиями. Матричная запись решения линейной системы с невырожденной матрицей. Правило Крамера.
Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц.
Характеристический многочлен квадратной матрицы. Применение теоремы о сумме и произведении собственных значений матрицы. Разложение вектора-столбца в линейную комбинацию собственных векторов матрицы. Построение базиса из корневых векторов матрицы. Нахождение рангов матриц.
Линейные операторы.
Определение линейного оператора. Построение матрицы линейного оператора. Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базисов.

Ядро и образ линейного оператора. Нахождение их размерности. Нахождение

характеристического многочлена линейного оператора, собственных векторов и собственных значений линейного оператора. Приведение матрицы линейного оператора к диагональному виду. Вычисление степеней матриц.
Линейные, билинейные и квадратичные формы.
Преобразование матрицы билинейной формы при изменении базиса.

Приведение квадратичной формы к диагональному виду.

Критерий Сильвестра положительной определенности квадратичной формы.
Евклидовы пространства.
Скалярное произведение. Длина вектора и угол между векторами. Ортогональность векторов. Построение ортогонального дополнения линейного подпространства в евклидовом пространстве. Нахождение ортогональной проекция вектора на подпространство Процесс ортогонализации конечного набора векторов. Матрица Грама. Ее преобразование при изменении базиса. Применение матрицы Грама к вычислению длин и углов.
Сопряженные линейные операторы.
Определение оператора, сопряженного данному линейному оператору. Нахождение матрицы сопряженного оператора. Построение ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора.

Приведение квадратичной формы к каноническому виду.

Элементы аналитической геометрии (векторный анализ).
Прямоугольная система координат на плоскости и в пространстве. Расстояние между точками. Деление отрезка в данном отношении. Векторы. Равенство векторов. Координаты вектора. Сложение векторов. Умножение вектора на число. Условие коллинеарности двух векторов. Разложение вектора плоскости по двум неколлинеарным векторам. Условие компланарности трех векторов. Разложение вектора пространства по трем некомпланарным векторам. Скалярное произведение векторов. Вычисление в координатах. Векторное произведение векторов. Вычисление в координатах. Смешанное произведение векторов. Вычисление в координатах. Площадь параллелограмма и треугольника. Вычисление в координатах. Использование матрицы Грама. Объем параллелепипеда. Вычисление в координатах. Использование матрицы Грама.
Элементы аналитической геометрии (прямые и плоскости).
Общее уравнение прямой на плоскости и в пространстве. Вычисление угла между прямыми. Условие параллельности и перпендикулярности прямых. Параметрическое и каноническое уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой. Общее уравнение плоскости в пространстве. Вычисление угла между плоскостями. Условие параллельности и перпендикулярности плоскостей. Расстояние от точки до плоскости. Взаимное расположение прямых и плоскостей. Проектирование точек на прямые и плоскости. Симметрия относительно прямой и плоскости. Преобразование координат точки при замене системы координат. Линейные отображения и их геометрические свойства.


1   2   3   4   5

Похожие:

Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconПрограмма дисциплины «Линейная алгебра»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 Экономика,...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconРабочая программа учебной дисциплины наименование дисциплины Линейная алгебра Рекомендуется для направления подготовки
Дисциплина «Линейная алгебра» является основой для изучения других математических курсов, а также дает необходимый математический...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconРабочая учебная программа дисциплины (модуля) Линейная алгебра Направление подготовки 080100 Экономика Профиль подготовки
Дисциплина «Линейная алгебра» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла подготовки бакалавра по направлению...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconРабочая программа дисциплины " Линейная алгебра " предназначена для студентов 1 курса по специальности
Рабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса
Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconРабочая программа дисциплины " Аналитическая геометрия и линейная алгебра " предназначена для студентов 1 курса по специальности
Рабочая программа дисциплины "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса
Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconПрограмма дисциплины «Линейная алгебра»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 080100. 62 «Экономика»...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconУчебная программа Дисциплины б8 «Линейная алгебра» по направлению 011800 «Радиофизика» Нижний Новгород 2011 г
Дисциплины направлено на изучение разделов линейной алгебры, необходимых для понимания других разделов математики и физики
Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconРабочая программа дисциплины Теория игр Направление подготовки 080100 Экономика
Математический цикл) ооп. При освоении данной дисциплины необходимо (как предшествующее) освоение дисциплин "Математический анализ",...
Программа дисциплины «Линейная алгебра» iconЛинейная алгебра
«Линейная алгебра» представляет собой одну из основных дисциплин математического цикла знаний федерального государственного образовательного...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org