Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства



Дата27.12.2012
Размер30.9 Kb.
ТипЛекция



18.11.12, М.



Лекция № 17 (30.04.10)
Глава 8. Линейные операторы
§ 8.1. Определения и простейшие свойства

8.1.1. Определение линейного оператора

Определение. Отображение : Kn Kn называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям:

1. (a + b) = (a) + (b) для любых двух векторов a и b;

2. (a) = (a) для любого вектора a и любого скаляра .

Определение. Пусть (u): u1, u2, …, un – какой-нибудь базис Kn, а  − некоторый линейный оператор. Рассмотрим (u1) – это новый вектор нашего пространства. Следова­тельно, его можно разложить по этому же базису, и аналогично поступим с образами дру­гих векторов базиса:

(u1) = a11u1 + a21u2 +…+ an1un;

(u2) = a12u1 + a22u2 +…+ an2un;

…………………………………

(un) = a1nu1 + a2nu2 +…+ annun.

Матрица



называется матрицей данного линейного оператора в данном базисе.

Это матрица, в столбцах которой стоят координаты образов векторов данного ба­зиса в том же базисе, т. е. столбцы матрицы A − это изображения векторов (u1), (u2), …, (un). (Обратите внимание на то, что матрица A является транспонированной по отноше­нию к матрице коэффициентов написанных выше разложений. Таким образом, матрица линейного оператора выписывается по столбцам, а не по строкам.)
8.1.2. Примеры

1, 2.  = 0, .

Первый оператор (нулевой) задается так: x 0 для любого вектора x.
Оба отображе­ния, очевидно, удовлетворяют условиям:

(a + b) = (a) + (b);

(a) = (a).

Разлагая образы векторов базиса, имеем:

(u1) = 0u1 + 0u2 +…+ 0un

и аналогично для других базисных векторов. Следовательно, матрица нулевого оператора нулевая. Для тождественного оператора :

(u1) = u1 = 1u1 + 0u2 +…+0un;

(u2) = u2 = 0u1 + 1u2 +…+0un

и т. д. Таким образом, матрица тождественного оператора единичная (в любом базисе).


3. Возьмём какую-нибудь квадратную матрицу A размера (n, n). Рассмотрим ото­бражение : Kn Kn, сопоставляющее каждому вектору x (рассматриваемому как мат­рица-столбец размера (n, 1)) новый вектор по правилу:

.

Проверим, что  − линейное отображение:

(x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = (x) + (y) (дистрибутивность произведения мат­риц).

Найдем :

;

…………………….
.
.

Из этого примера можно сделать вывод, что любая квадратная матрица А может служить матрицей подходящего линейного оператора в n-мерном пространстве относи­тельно стандартного базиса.
8.1.3. Простейшие свойства линейных операторов
1. Любой линейный оператор нулевой вектор переводит в нулевой вектор.

Доказательство. Пусть : Kn Kn − линейный оператор. Тогда

(0) = (0 + 0) = (0) + (0);

(0) + (−(0)) = ((0) + (0)) + (−(0));

0 = (0) + ((0) + (−(0)));

0 = (0) + 0;

(0) = 0, QED.


2. Любой линейный оператор противоположный вектор переводит в противопо­ложный.

Доказательство:

(−a) = ((−1)a) = (−1) (a) = −(a), QED.

3. Для любого линейного оператора

(a + b) = (a) + (b).

Доказательство:

(a + b) = (a) + (b) = (a) + (b), QED.

4. .

5. (ab) = (a) − (b).

Доказательство:

(ab) = (a + (−b)) = (a) + (−b) = (a) + (−(b)) = (a) − (b), QED.

6.  инъективен тогда и только тогда, когда только нулевой вектор переходит в нулевой.

Доказательство. Ввиду п. 1 достаточно доказать, что если (x) = 0x = 0, то  инъективен.

Пусть (a) = (b). Надо доказать, что тогда a = b. Но

(ab) = (a) − (b) = 0;

ab = 0;

a = b, QED.

Похожие:

Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства iconПрограмма курса «Линейная и общая алгебра»
Линейные операторы. Определение линейного оператора, примеры, простейшие свойства. Действия над линейными операторами, их свойства....
Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства iconУрок 5 Тема: Простейшие линейные программы. Арифметические выражения. Оператор присваивания. Вопросы для повторения
Линейная программа (конструкция следования) содержит в себе операторы ввода, вывода и присваивания. Операторы линейного алгоритма...
Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства iconЗанятие Ввод вывод. Операторы Read (Readln), Write (Writeln). Простейшие линейные программы 11 Операторы Write и WriteLn 11
Занятие Язык программирования Паскаль. Знакомство со средой программирования Турбо Паскаль. Основные понятия. Первая программа. Оператор...
Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства iconDf. Вектор – это элемент векторного пространства (пространство с аксиомами для векторов). Df
Вопрос Линейные операторы (ЛО) в конечномерном пространстве и их матричное представление. Характеристический многочлен, собственные...
Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства icon4. линейные операторы
Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,...
Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства iconЛекция I. Функциональные пространства. 3 часа
Евклидово пространство, норма вектора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Норма оператора в евклидовом пространстве. Линейные...
Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства icon1. Линейные отображения и их простейшие свойства
Определение Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р. Отображение называется линейным отображением V в V1 или гомоморфизмом,...
Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства iconАксиомы вещественных чисел
Простейшие свойства арифметических операций (вывод из аксиом). Определения разности и частного
Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства iconЛекция №12. Линейные операторы. Введение
Из школьного курса геометрии известны такие операции: параллель-ный перенос прямой, вращение плоскости вокруг точки, растяжение (сжа-тие)...
Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства iconОсновные понятия и определения 4 Линейные пространства 4
Данная работа рассматривает основные понятия, свойства, определения и теоремы, связанные с одним из классов линейных операторов –...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org