Лекция №17 (30. 04. 10) Глава Линейные операторы § Определения и простейшие свойства
|
Скачать 30.9 Kb.
|
Лекция № 17 (30.04.10) Глава 8. Линейные операторы § 8.1. Определения и простейшие свойства 8.1.1. Определение линейного оператора Определение. Отображение : Kn Kn называется линейным оператором, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1. (a + b) = (a) + (b) для любых двух векторов a и b; 2. (a) = (a) для любого вектора a и любого скаляра . Определение. Пусть (u): u1, u2, …, un – какой-нибудь базис Kn, а − некоторый линейный оператор. Рассмотрим (u1) – это новый вектор нашего пространства. Следовательно, его можно разложить по этому же базису, и аналогично поступим с образами других векторов базиса: (u1) = a11u1 + a21u2 +…+ an1un; (u2) = a12u1 + a22u2 +…+ an2un; ………………………………… (un) = a1nu1 + a2nu2 +…+ annun. Матрица  называется матрицей данного линейного оператора в данном базисе. Это матрица, в столбцах которой стоят координаты образов векторов данного базиса в том же базисе, т. е. столбцы матрицы A − это изображения векторов (u1), (u2), …, (un). (Обратите внимание на то, что матрица A является транспонированной по отношению к матрице коэффициентов написанных выше разложений. Таким образом, матрица линейного оператора выписывается по столбцам, а не по строкам.) 8.1.2. Примеры 1, 2. = 0, . Первый оператор (нулевой) задается так: x  0 для любого вектора x. Оба отображения, очевидно, удовлетворяют условиям:(a + b) = (a) + (b); (a) = (a). Разлагая образы векторов базиса, имеем: (u1) = 0u1 + 0u2 +…+ 0un и аналогично для других базисных векторов. Следовательно, матрица нулевого оператора нулевая. Для тождественного оператора : (u1) = u1 = 1u1 + 0u2 +…+0un; (u2) = u2 = 0u1 + 1u2 +…+0un и т. д. Таким образом, матрица тождественного оператора единичная (в любом базисе). 3. Возьмём какую-нибудь квадратную матрицу A размера (n, n). Рассмотрим отображение : Kn Kn, сопоставляющее каждому вектору x (рассматриваемому как матрица-столбец размера (n, 1)) новый вектор по правилу:  .Проверим, что − линейное отображение: (x + y) = A(x + y) = Ax + Ay = (x) + (y) (дистрибутивность произведения матриц). Найдем  : ;…………………….  . .Из этого примера можно сделать вывод, что любая квадратная матрица А может служить матрицей подходящего линейного оператора в n-мерном пространстве относительно стандартного базиса. 8.1.3. Простейшие свойства линейных операторов 1. Любой линейный оператор нулевой вектор переводит в нулевой вектор. Доказательство. Пусть : Kn Kn − линейный оператор. Тогда (0) = (0 + 0) = (0) + (0); (0) + (−(0)) = ((0) + (0)) + (−(0)); 0 = (0) + ((0) + (−(0))); 0 = (0) + 0; (0) = 0, QED. 2. Любой линейный оператор противоположный вектор переводит в противоположный. Доказательство: (−a) = ((−1)a) = (−1) (a) = −(a), QED. 3. Для любого линейного оператора (a + b) = (a) + (b). Доказательство: (a + b) = (a) + (b) = (a) + (b), QED. 4.  .5. (a − b) = (a) − (b). Доказательство: (a − b) = (a + (−b)) = (a) + (−b) = (a) + (−(b)) = (a) − (b), QED. 6. инъективен тогда и только тогда, когда только нулевой вектор переходит в нулевой. Доказательство. Ввиду п. 1 достаточно доказать, что если (x) = 0 x = 0, то инъективен. Пусть (a) = (b). Надо доказать, что тогда a = b. Но (a − b) = (a) − (b) = 0; a – b = 0; a = b, QED. |
Похожие:
 | Программа курса «Линейная и общая алгебра» Линейные операторы. Определение линейного оператора, примеры, простейшие свойства. Действия над линейными операторами, их свойства.... | | Урок 5 Тема: Простейшие линейные программы. Арифметические выражения. Оператор присваивания. Вопросы для повторения Линейная программа (конструкция следования) содержит в себе операторы ввода, вывода и присваивания. Операторы линейного алгоритма... |
| Занятие Ввод вывод. Операторы Read (Readln), Write (Writeln). Простейшие линейные программы 11 Операторы Write и WriteLn 11 Занятие Язык программирования Паскаль. Знакомство со средой программирования Турбо Паскаль. Основные понятия. Первая программа. Оператор... | | Df. Вектор – это элемент векторного пространства (пространство с аксиомами для векторов). Df Вопрос Линейные операторы (ЛО) в конечномерном пространстве и их матричное представление. Характеристический многочлен, собственные... |
 | 4. линейные операторы Пусть Xn и Ym – линейные пространства. Отображение a называется линейным оператором из Xn в Ym, если оно сохраняет линейные зависимости,... | | Лекция I. Функциональные пространства. 3 часа Евклидово пространство, норма вектора. Линейные операторы в евклидовом пространстве. Норма оператора в евклидовом пространстве. Линейные... |
| 1. Линейные отображения и их простейшие свойства Определение Пусть V и V1 – векторные пространства над полем Р. Отображение называется линейным отображением V в V1 или гомоморфизмом,... | | Аксиомы вещественных чисел Простейшие свойства арифметических операций (вывод из аксиом). Определения разности и частного |
| Лекция №12. Линейные операторы. Введение Из школьного курса геометрии известны такие операции: параллель-ный перенос прямой, вращение плоскости вокруг точки, растяжение (сжа-тие)... | | Основные понятия и определения 4 Линейные пространства 4 Данная работа рассматривает основные понятия, свойства, определения и теоремы, связанные с одним из классов линейных операторов –... |