Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр



Скачать 56.79 Kb.
Дата27.12.2012
Размер56.79 Kb.
ТипДокументы
Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу

Прикладная математика, 3 семестр, преподаватель Е.П. Бокмельдер
Числовые ряды


  1. Числовой ряд. Сходимость и сумма. Пример Критерий Коши сходимости ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда.

  2. Ряды с неотрицательными членами. Признаки сравнения, Даламбера, Коши.

  3. Интегральный признак Коши-Маклорена, оценка остатка ряда.

  4. Ряды с неотрицательными монотонными членами: необходимое и достаточное условие сходимости. Знакочередующиеся ряды: признак Лейбница.

  5. Преобразование Абеля. Знакопеременные ряды, абсолютная и условная сходимости. Признаки Абеля, Дирихле. Пример:

  6. Свойства сходящихся рядов. Умножение рядов: теорема Коши (формулировка).

  7. Группировки членов ряда. Перестановки членов ряда. Теорема Римана.

  8. Бесконечные произведения; сходимость, связь с рядами, абсолютная сходимость.


Функциональные ряды


  1. Функциональные последовательности и ряды. Поточечная и равномерная сходимость. Пример неравномерной сходимости. Критерий Коши равномерной сходимости.

  2. Признаки Вейерштрасса и Абеля-Дирихле равномерной сходимости ряда.

Пример:

  1. Равномерная сходимость и предельный переход. Непрерывность суммы функционального ряда. Признак Дини равномерной сходимости.

  2. Равномерная сходимость и интегрирование.

  3. Равномерная сходимость и дифференцирование.

  4. Степенные ряды. Радиус и круг сходимости.

  5. Свойства вещественных степенных рядов в интервале сходимости.

  6. Теорема Абеля. Суммирование рядов методом Абеля. Пример:

Суммирование расходящихся рядов по методу Чезаро.

  1. Единственность разложение функции в степенной ряд. Ряд Тейлора. Пример функции, не разлагающейся в степенной ряд.

  2. Разложение элементарных функций в ряд Тейлора-Маклорена.. Элементарные функции комплексного переменного.

  3. Приближенные вычисления с помощью рядов.

  4. Пространство . Метрика равномерной сходимости. 1-ая теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами (формулировка). Полнота и сепарабельность пространства .


  5. Сходимость в среднем и сходимость в среднеквадратичном в пространстве . Связь с другими видами сходимости.


Интегралы, зависящие от параметра


  1. Собственные интегралы, зависящие от параметра. Непрерывность интеграла по параметру.

  2. Интегрирование и дифференцирование по параметру под знаком интеграла.

  3. Несобственные интегралы, зависящие от параметра, равномерная сходимость, критерий Коши.

  4. Признаки равномерной сходимости Вейерштрасса, Абеля, Дирихле, Дини.

  5. Предельный переход под знаком несобственного интеграла, зависящего от параметра, непрерывность по параметру.

  6. Интегрирование несобственного интеграла по параметру (случай отрезка и полупрямой).

  7. Дифференцирование интегралов по параметру.

  8. Интегралы Эйлера. - функция и ее свойства.

  9. - функция и ее свойства. Связь с - функцией.

  10. Вычисление интегралов с помощью интегралов Эйлера.


Ряды Фурье.


  1. Ортонормированные системы непрерывных функций на отрезке. Тригонометрическая система, ее ортогональность на отрезке длины Единственность разложения функции в тригонометрический ряд.

  2. Тригонометрический ряд Фурье. Простейшие результаты о сходимости в точке.

  3. Ядра Дирихле и Фейера. Теорема Фейера и ее следствия.

  4. Ряды Фурье по ортонормированным системам. Наилучшее приближение. Минимальное свойство коэффициентов Фурье (теорема о наилучшем среднеквадратичном приближении. Неравенство Бесселя. Стремление к нулю коэффициентов Фурье.

  5. Замкнутые и полные ортонормированные системы. Тригонометрический ряд Фурье; сходимость в среднем, равенство Парсеваля.

  6. Ряды Фурье по синусам и по косинусам на интервале

  7. Теорема о локализации и признак Дини.

  8. Условия равномерной сходимости ряда Фурье.

  9. Условия почленного дифференцирования ряда Фурье. Оценка коэффициентов Фурье.

  10. Ряд Фурье в интервале произвольной длины.

  11. Равномерное приближение непрерывной функции тригонометрическими и алгебраическими многочленами. 1-ая и 2-ая теоремы Вейерштрасса.

  12. Интеграл Фурье и его свойства.

  13. Преобразование Фурье, понятие об обратном преобразовании Фурье. Аналог признака Дини (без доказательства).

  14. Синус и косинус- преобразования Фурье.

  15. Свойства преобразований Фурье.

  16. Преобразование Лапласа. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (изучить самостоятельно по книге Колмогорова и Фомина «Элементы теории функций и функционального анализа»).



Упражнения


  1. Доказать, что если ряд сходится, то ряд также сходится.

  2. Пусть Доказать равенство

  3. Пусть даны два расходящихся ряда и с неотрицательными членами. Что можно сказать о сходимости рядов и

  4. Доказать, что если ряды и сходятся, то сходятся также ряды (Указание: применить неравенство Коши-Буняковского).

  5. Доказать, что если ряд сходится, то ряд Дирихле сходится равномерно при

  6. Показать, что функция непрерывна и имеет непрерывную производную в области

  7. Законно ли почленное интегрирование ряда на отрезке

  8. Показать, что ряд удовлетворяет уравнению

  9. Найти суммы рядов и используя формулы Эйлера.

  10. С помощью дифференцирования по параметру найти

  11. Пользуясь формулой с помощью дифференцирования по параметру вычислить интеграл

  12. Доказать, что интеграл Дирихле имеет при производную, но ее нельзя найти с помощью правила Лейбница.

  13. С помощью дифференцирования по параметру вычислить , с учетом того, что .

  14. Найти преобразование Фурье функции .

  15. Исследовать на непрерывную дифференцируемость функцию и возможность дифференцирования по параметру под знаком интеграла, если .

  16. Найти производную функции .

  17. Доказать достаточный признак равностепенной непрерывности семейства функций , заданных на отрезке «Если - равномерно ограниченное семейство, то семейство - равностепенно непрерывно на отрезке

  18. Доказать, что интеграл сходится равномерно при для любой последовательности последовательность сходится равномерно на при .

  19. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале , считая ее периодической с периодом . Записать для нее равенство Парсеваля.

  20. Разложить в ряд Фурье функцию . Записать равенство Парсеваля.

  21. При каком значении параметра функции ортогональны на отрезке

  22. Найти преобразование Фурье функции

  23. Представить интегралом Фурье функцию

  24. Представить интегралом Фурье функцию

  25. Представить интегралом Фурье функцию , продолжая ее четным образом на интервал


Задачи подобны вариантам контрольных работ.
Демонстрационный вариант контрольной работы по рядам и интегралам Фурье.


  1. Разложить в ряд Фурье функцию в интервале Записать равенство Парсеваля.

  2. Разложить в ряд Фурье функцию . Записать равенство Парсеваля.

  3. При каком значении параметра функции ортогональны на отрезке

  4. Найти преобразование Фурье функции

Похожие:

Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconВопросы и упражнения к коллоквиуму по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр
Основные понятия о числовых рядах. Необходимый признак сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости рядов
Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconПеречень вопросов к экзамену по математическому анализу (1-4 семестр) для студентов математического факультета (заочное отделение) по направлению 010501. 65 «Прикладная математика и информатика»

Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconВопросы к экзамену по математическому анализу 1 семестр, специальность математика
Функции, отображения, образы, прообразы и их свойства. Инъекция, сюръекция, биекция. Примеры. Композиция отображений
Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconПеречень вопросов к экзамену по математическому анализу (1-4 семестр) для студентов математического факультета (заочное отделение) по направлению 010501. 65 «Прикладная математика и информатика»
Интеграл как функция верхнего предела: непрерывность, дифференцируемость, формула Ньютона-Лейбница
Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconВопросы к экзамену по математическому анализу второй семестр, весна2003

Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Криволинейный интеграл 1-го рода: определение, вычисление и физический смысл. Пример
Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconВопросы к экзамену по математическому анализу
Определение дифференцируемости функции. Теорема о связи непрерывности с дифференцируемостью (с док-вом)
Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconВопросы к экзамену по математическому анализу для 1 курса д/о
Различные формулировки свойства непрерывности множества действительных чисел, их эквивалентность
Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconОтветы на вопросы к зачету по математическому анализу. (1 курс / 2 семестр)
Если функция f(X) определена и непрерывна на промежутке (a, b) и F(X) – ее первообразная, т е. F’(X) = f(X) при, то,, где с – произвольная...
Вопросы и упражнения к экзамену по математическому анализу Прикладная математика, 3 семестр iconВопросы для экзамена по математическому анализу 2 -ой семестр
Последовательность. Предел последовательности. Свойства предела последовательности
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org