курса «Теория функций комплексного переменного» для специальности 220600 «Организация и технология защиты информации» Факультет: физико-математический
Кафедра: математического анализа
Курс:III.
Отделение: дневное
Лекции: 20 часов
Практические занятия: 40 часов
Всего: 98 часов Рабочая программа обсуждена на заседании кафедры 8.09.2000 года
И.о. зав. кафедрой математического анализа ___________________доцент Редькина Т.В. Одобрено Ученым советом физико-математического факультета
Председатель Совета ______________________________________ доцент Падалка В.В. Пояснительная записка.
Данная программа включает материал по курсу теории функций комплексного переменного для студентов физико-математического факультета, обучающихся по специальности. В соответствии с учебным планом для изучения курса выделяется 98 часов, из которых 60 часов аудиторных (20 лекционных и 40 практических занятий). Изучение курса спланировано в 6 семестре. Предусматривается проведение двух контрольных работ. Курс заканчивается зачетом.
ПРОГРАММА
Предмет теории. Понятие функции комплексного переменного. Предел, непрерывность и равномерная непрерывность.
Производная функции комплексного переменного. Условия дифференцируемости. Понятие аналитической (голоморфной) функции. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформное отображение.
Степенные ряды в комплексной области. Теорема Абеля. Круг и радиус сходимости степенного ряда. Голоморфность суммы степенного ряда. Ряд Тейлора.
Показательная функция комплексного переменного и ее свойства. Логарифмы комплексных чисел.
Спрямляемые и гладкие жордановы кривые. Определение криволинейного интеграла от функции комплексного переменного. Теорема о существовании интеграла от непрерывной функции по спрямляемой жордановой кривой. Вычисление интеграла по гладкой жордановой кривой. Свойства интеграла.
Односвязные и п-связные области. Интегральная теорема Коши для односвязных и многосвязных областей. Интегральная формула Коши.
Интеграл типа Коши. Бесконечная дифференцируемость интеграла типа Коши и голоморфных функций. Целые функции. Теорема Лиувилля.
Первообразная, ее существование. Формула Ньютона-Лейбница. Гармонические функции и их связь с аналитическими функциями.
Теорема о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора. Теорема Лорана. Изолированные особые точки и их классификация. Мероморфные функции.
Принцип единственности. Нули голоморфной функции. Принцип максимизма модуля для голоморфной функции.
Понятие вычета. Вычисление вычета относительно полюса. Теорема Коши о вычетах. Полная сумма вычетов. Принцип аргумента. Вычисление интегралов с помощью вычетов.
Литература
Основные
Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1967.
Сидоров Ю.А., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного перемененного.
Александров И.А., Соболев В.В. Аналитические функции комплексного переменного. – М.: Высшая школа, 1984.
Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1972.
Евграфов М.А. Аналитические функции. – М.: Наука, 1968.
Маркушевич А.И. Краткий курс теории аналитических функций. – М.: Наука, 1966.
Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1967.
Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Ч.1. – М.: Наука, 1976.
Маркушевич А.И., Маркушевич Л.А. Введение в теорию аналитических функций. – М.: Просвещение, 1977.
Евграфов М.А. и др. Сборник задач по теории аналитических функций. – М.: Наука, 1972.
Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Арамонович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. – М.: Наука, 1975.
Дополнительные:
Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. – М.: Наука, 1965.
Хапланов М.Г. Теория функций комплексного переменного. – М.: Просвещение, 1965.
Балк М.Б., Виленкин Н.Я., Петров В.А. Математический анализ: теория аналитических функций. – М.: Просвещение, 1985.
Александров И.А., Соболев В.В. Лекции по теории функций комплексного переменного. Выпуск I, II. – Тюмень. Изд-во Тюмен-го ун-та, 1976-1977.
Стоилов С. Теория функций комплексного переменного. Ч.1. – Москва.: Изд-во иностр. лит-ры, 1962.