Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств



Скачать 114.45 Kb.
Дата29.12.2012
Размер114.45 Kb.
ТипДокументы

ВОПРОСЫ


к зачету по математике
10 класс

Введение в теорию множеств


1. Множество. Элемент множества. Характеристическое свойство.

Перечислить способы задания. Множества: конечные и бесконечные.

Отношение включения. Универсальное множество. Применение диаграмм Эйлера-Венна для доказательства теорем о множествах. Привести примеры.

2. Операция пересечения множеств. Доказать коммутативность и ассоциативность пересечения, дистрибутивность относительно объединения.

Операция объединения множеств. Доказать коммутативность и ассоциативность объединения, дистрибутивность пересечения относительно объединения множеств.

Мощность (кардинальное число) конечного множества. Понятие бесконечного множества. Привести примеры.

3. Упорядоченная пара. Дать определение операции декартова произведения множеств. Доказать некоммутативность декартова произведения.

Декартов квадрат множества. Дать определение отношения между элементами множества. Привести примеры.

4. Соответствие между элементами множеств. Область определения и множество значений соответствия. Способы задания. Образ и прообраз элемента множества.

Одно-многозначные, много-многозначные, много-однозначные и одно-однозначные соответствия. Функциональные соответствия. Области определения и значений.

Отображения. Сложная функция. Привести примеры.

5. Взаимно-обратные соответствия. Доказать теорему об их графиках.

Обратная функция. Доказать необходимое и достаточное условия обратимости. Доказать признак обратимости функции. Привести пример немотонной функции, имеющей обратную.

Общие свойства функций

6. Действительная функция одного действительного переменного. Способы задания. Монотонность, ограниченность, четность (нечетность), периодичность функции. Понятие сложной функции, или суперпозиции функций. Привести примеры.

7. Доказать арифметические теоремы и теоремы о графиках четных и нечетных функций.

Привести примеры.

8. Периодические функции. Основной период функции. Доказать лемму о периоде: всякий период функции кратен ее основному периоду. Доказать теорему о периоде функции y=(kx) по периоду функции y=f(x). Привести примеры.

Периодические функции. Доказать теоремы о периоде суммы и разности периодических функций.

Периодические функции. Доказать теорему о периоде сложной функции от периодической функции. Привести примеры.
Тригонометрия

9. Градусное и радианное измерение углов. Обобщение понятия угла. Направленные углы. Числовая окружность. Доказать основное тригонометрическое тождество и его следствия.

10. Тригонометрическая Функция синус: доказать свойства и построить график.

Тригонометрическая Функция косинус: доказать свойства и построить график.


Тригонометрическая Функция тангенс: доказать свойства и построить график.

Тригонометрическая Функция котангенс: доказать свойства и построить график.

Тригонометрическая Функции секанс и косеканс: доказать свойства и построить график.

11. Доказать теоремы сложения.

Вывести формулы приведения.

Вывести формулы двойных и половинных углов.

Вывести формулы тригонометрических функций через тангенс половинного угла («боевые формулы» тригонометрии).

Вывести формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение.

Вывести формулы для преобразования произведения тригонометрических функций

в сумму.

Вывести формулы для синуса и косинуса через косинус двойного угла. Привести примеры.
Линейная и кусочно-линейная функции

12. Линейная функция. Доказать ее свойства и построить график. Привести примеры.

Прямая на плоскости. Вывести уравнение прямой, проходящей через две точки. Доказать условия параллельности и перпендикулярности прямых. Вывести формулу для тангенса угла между прямыми.

13. Модуль числа. Доказать неравенство о модуле суммы.

14. Модуль числа. Доказать неравенство о модуле разности.

15. Модуль числа. Доказать равенства о модуле произведения и частного.


Квадратичная функция


  1. Квадратный трехчлен. Выделение полного квадрата. Привести примеры.

Квадратное уравнение. Вывести формулу для его корней. Дискриминант квадратного уравнения. Доказать прямую и обратную теоремы Виета.

Доказать теорему о разложении на линейные множители квадратного трехчлена.

Построение графика квадратного трехчлена по его коэффицентам. Координаты вершины параболы и характерных точек (пересечение с осями координат, симметричная точка).

Привести примеры.
Расположение корней квадратного трехчлена

17. Квадратный трехчлен. Доказать необходимое и достаточное условие того, что данное число  располагается между корнями квадратного трехчлена.

Квадратный трехчлен. Доказать необходимое и достаточное условие того, что данное число  меньше (больше) обоих корней квадратного трехчлена.

Квадратный трехчлен. Доказать необходимое и достаточное условие того, что данное число  совпадает с меньшим (большим) корнем квадратного трехчлена. Привести примеры.
Геометрия

18. Аксиоматический метод. Основные понятия и отношения. Независимость, полнота и непротиворечивость системы аксиом. Аксиоматика Г. Вейля - П.К. Рашевского построения геометрии. Основные понятия, отношения и группы аксиом.

19. Аксиомы связи. Правило треугольника сложения векторов.

Доказать теорему о независимости суммы векторов от начальной точки.

Аксиомы связи. Доказать коммутативность сложения векторов.

Правило параллелограмма сложения векторов.

Аксиомы связи. Доказать ассоциативность сложения векторов. Правило многоугольника сложения векторов.

Аксиомы связи. Правило вычитания векторов. Доказать существование и единственность разности векторов. Привести примеры.

20. Аксиомы умножения вектора на число. Доказать теоремы о нулевом и противополож-ном векторах.

Аксиомы умножения вектора на число. Дать определения: направления, отношения со-направленности, противонаправленности и коллинеарности векторов. Привести примеры.

21. Аксиомы размерности. Сформулировать два определения линейной зависимости (независимости ) векторов. Доказать их эквивалентность.

Аксиомы размерности. Доказать теорему о системе векторов, содержащей линейно зависимую подсистему. Следствия.

Аксиомы размерности. Доказать теорему о подсистеме линейно независимой системы векторов. Привести примеры.

22. Аффинное пространство. Базис. Размерность. Привести примеры аффинных пространств различной размерности. Доказать теорему о разложении радиуса-вектора точки, делящей отрезок в данном отношении.

Аффинное пространство. Доказать теорему о существовании и единственности разложения вектора по произвольному базису. Радиус-вектор точки. Координаты точки и вектора. Радиус-вектор точки, делящей отрезок в данном отношении.

Аффинное пространство. Доказать теорему о координатах суммы векторов.

Аффинное пространство. Доказать теорему о координатах вектора, умноженного на число.

23. Аксиомы скалярного произведения. Длина вектора. Доказать теорему о нормировании вектора. Орты.

Аксиомы скалярного произведения. Доказать неравенство Коши-Буняковского.

Аксиомы скалярного проиведения. Угол между векторами и расстояние между точками. Доказать свойства расстояния.

24. Проекция вектора на вектор. Доказать теорему о проекции суммы векторов.

Проекция вектора на вектор. Доказать теорему о проекции произведения вектора на число.


Проекция вектора на вектор. Доказать теорему о проекции вектора на ось.

25. Ортогональность. Доказать теорему об ортогонализации двух (трех) ненулевых векторов. Привести пример.

Ортогональность системы векторов. Доказать линейную независимость ортогональной системы векторов.

Декартова система координат. Доказать что в декартовой системе координаты вектора суть его проекции на координатные оси.

Декартова система координат. Вывести формулу для вычисления скалярного произведения.

Декартова система координат. Вывести формулы для вычисления длины вектора, для вычисления расстояния между точками и угла между векторами. Привести примеры.

  1. Векторное произведение векторов. Правые (левые) тройки векторов в декартовой

системе. Доказать свойства векторного произведения (кроме дистрибутивности).

Вычисление векторного произведения векторов в ортонормированном базисе.

Векторное произведение векторов на плоскости. Символический определитель.

Доказать признаки коллинеарности и компланарности векторов. Привести примеры.

27. Смешанное произведение трех векторов. Сформулировать и доказать свойства смешанного произведения. Доказать теорему о связи смешанного произведения с объемом параллелепипеда. Вычисление смешанного произведения трех векторов в ортонормирован-ном базисе. Определитель третьего порядка.


Алгебра многочленов

28. Действия над многочленами. Сформулировать алгоритм деления многочленов с остатком. Доказать теорему Безу. Вывести следствия.

Связь между корнем многочлена и делимостью его на линейные множители. Методом неопределенных коэффициентов вывести схему Горнера. Привести примеры.

29. Понятие простого корня и кратного корня многочлена. Доказать теорему о целом и рациональном корнях многочлена с целыми коэффициентами.

Сформулировать основную теорему алгебры. Сформулировать обобщенную теорему Виета.

30. Дробно-рациональная функция. Правильная и простейшая рациональные дроби. Теорема о представлении рациональной дроби в виде суммы многочлена и правильной дроби. Записать общий вид разложения правильной рациональной дроби в сумму простей-ших дробей. Привести примеры.
Степенная и показательная функции

31. Доказать свойства степени с натуральным показателем. Степенная функция с натуральным показателем. Доказать свойства и построить графики функций с четным и нечетным показателями.

Доказать свойства степени с целым показателем. Степенная функция с целым показателем. Доказать свойства и построить графики функций с четным и нечетным показателями.

32. Арифметический и алгебраический корень. Доказать их существование.

Степенная функция y=. Доказать свойства и построить графики.

Свойства степени с рациональным показателем. Степенная функция с


рациональным показателем.

Показательная функция. Сформулировать свойства и построить график.

11 класс


  1. Сформулировать и доказать признаки монотонности функции. Привести примеры.

  2. Определение критических точек 1-го рода и точек локального экстремума функции. Доказать первое необходимое и достаточное условия локального экстремума функции. Привести примеры.

  3. Определение выпуклости (вогнутости) графика функции. Сформулировать и доказать признаки выпуклости (вогнутости) графика функции. Привести примеры.

  4. Определение критических точек 2-го рода и точек перегиба графика функции. Доказать необходимое и достаточное условия точки перегиба графика функции. Привести примеры.

  5. Асимптоты графика функции. Вывести формулы для углового коэффициента и смещения наклонной асимптоты. Привести примеры.

  6. Сформулировать алгоритм исследования и построения графика функции. Привести примеры.

  7. Параллельное проектирование и его свойства.

  8. Ортогональное проектирование. Теорема о площади проекции плоского многоугольника.

  9. Определение и геометрический смысл дифференциала функции.

  10. Сформулировать и доказать свойства дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Привести примеры.

  11. Применение дифференциала к приближенным вычислениям. Привести таблицу дифференциалов основных элементарных функций.

  12. Основные понятия математической логики. Высказывания. Логические операции над высказываниями. Примеры.

  13. Логические функции. Таблицы истинности. Примеры.

  14. Предикаты. Операции над предикатами: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и эквиваленция. Привести примеры.

  15. Определение логического следования и равносильности на множестве. Привести примеры. Кванторы всеобщности и существования.

  16. Логические структуры теорем. Дать определение видов теорем: прямой, обратной, противоположной. Доказать теорему о связи между прямой теоремой и теоремой, противоположной к обратной. Привести примеры.

  17. Методы доказательства теорем. Сформулировать метод доказательства ”от противного”.

  18. Определение уравнения и неравенства как логического понятия. Равносильность уравнений на множестве. Доказать теорему о равносильности прибавления (вычитания) к обеим частям уравнения некоторой функции. Следствия. Привести примеры.

  19. Определение равносильности уравнений на множестве. Доказать теорему о равносильности при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию. Привести примеры.

  20. Определение равносильности неравенств на множестве. Доказать теорему о равносильности прибавления (вычитания) к обеим частям неравенства некоторой функции. Следствия. Привести примеры.

  21. Определение равносильности неравенств на множестве. Доказать теорему о равносильности при умножении обеих частей неравенства на некоторую функцию. Привести примеры.

  22. Определение равносильности уравнений и неравенств на множестве. Доказать теорему о равносильном преобразовании уравнения, левая часть которого есть произведение функций. Привести примеры.

  23. Определение равносильности уравнений и неравенств на множестве. Доказать терему о равносильности преобразования уравнения, левая часть которого есть сумма квадратов некоторых функций. Привести примеры.

  24. Определение равносильности уравнений и неравенств на множестве. Доказать теорему о равносильном преобразовании неравенства , если его левая часть есть частное двух функций. Привести примеры.

25. Определение равносильности уравнений и неравенств на множестве. Доказать теорему о равносильном преобразовании уравнения (неравенства), если его область определения можно представить в виде объединения нескольких подмножеств. Следствия для уравнений (неравенств) с модулем. Привести примеры.

26. Определение системы и совокупности уравнений и неравенств как логического понятия. Равносильность систем и совокупностей уравнений и неравенств на множестве. Основные теоремы о равносильных преобразованиях.

27. Прямая на плоскости. Сформулировать теорему о линейности уравнения прямой (необходимое и достаточное условия).

28. Различные виды уравнения прямой (общее, параметрическое, векторное, через две точки, в отрезках). Привести примеры.

29. Прямая на плоскости. Вывести нормальное уравнение прямой. Вывести формулу для расстояния от точки до прямой. Привести примеры.

30. Плоскость. Нормальное уравнения плоскости. Вывод формулы для расстояния от точки до плоскости. Примеры.

31. Взаимное расположение плоскостей. Угол между двумя плоскостями. Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей. Привести примеры.

32. Прямая в пространстве. Различные виды уравнения прямой в пространстве (параметрическое, каноническое, как пересечение двух плоскостей). Обосновать их эквивалентность.

33. Взаимное расположение прямых в пространстве. Угол между двумя прямыми в пространстве. Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Определение расстояния от заданной точки до заданной прямой в пространстве. Примеры.

34. Взаимное расположение прямых и плоскостей в пространстве. Угол между прямой и плоскостью. Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Привести примеры.

35. Многочлен с действительными коэффициентами. Леммы о его корнях. Разложение действительного многочлена на неприводимые многочлены с действительными коэффициентами. Границы изменения корней многочлена.

36. Дать определение первообразной данной функции. Доказать теоремы о первообразных. Неопределенный интеграл. Сформулировать и доказать его свойства. Привести примеры.

37. Таблица неопределенных интегралов основных элементарных функций (с доказательством).

38. Основные методы интегрирования. Метод подстановки.

39. Основные методы интегрирования. Метод интегрирования по частям.

40. Определенный интеграл как предел интегральных сумм. Доказать свойствa определенного интеграла.

41. Доказать теорему о производной интеграла по переменному верхнему пределу. Вывести формулу Ньютона-Лейбница.

Похожие:

Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconВведение в теорию множеств
Алгебра множеств. Операции на множествах: объединение, пересечение, дополнение. Декартово произведение двух множеств. Бинарные отношения...
Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconВопросы для подготовки к зачёту
Алгебра множеств. Объединение и пересечение. Дополнения множеств. Диаграммы Эйлера-Венна
Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconЭкзаменационные вопросы интернет-курсов интуит (intuit): Введение в теорию множеств
Все множества являются подмножеством некоторого универсального множества U. Выбрать верные утверждения
Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconВведение в дескриптивную теорию множеств
Теоретико-множественное введение. Счетные и несчетные множества. Частичный, линейный и полный порядок. Континуум-проблема. Аксиома...
Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconВведение в теорию
Кашкин В. Б. Введение в теорию коммуникации: Учеб пособие. Воронеж: Изд-во вгту, 2000. 175 с
Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconВопросы для зачета по «Математике»
Вопросы к экзаменационному зачету по "Теории вероятности и математической статистике"
Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconПрограмма дисциплины «Введение в теорию коммуникации»
Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов специальности 030501. 65 «Юриспруденция»...
Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconВопросы к экзамену Основные понятия теории множеств. Примеры
Отношение равенства множеств. Свойства отношения равенства множеств (рефлексивность, симметричность, транзитивность)
Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconВопросы по дискретной математике
Множества. Основные операции над множествами и их свойства. Диаграммы Венна. Декартово произведение множеств
Вопросы к зачету по математике 10 класс Введение в теорию множеств iconВопросы к зачету по дисциплине «Математика»
Понятие множества и элемента множества. Способы задания множеств. Отношения между множествами и изображение их при помощи кругов...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org