1. Основные правила решения неравенства с одной переменной



Скачать 101.82 Kb.
Дата29.12.2012
Размер101.82 Kb.
ТипДокументы







1. Основные правила решения неравенств
1.1. Неравенства с одной переменной имеют вид



Решением неравенства называется множество значений переменной, при которых данное неравенство становится верным числовым неравенством.

Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают.

При решении любого неравенства оно заменяется более простым, но равносильным данному.
1.2. Преобразования неравенств в равносильные

а) любой член неравенства можно перенести из одной его части в другую с противоположным знаком, оставив знак неравенства без изменения;

б) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же положительное число, оставив знак неравенства без изменения;

в) обе части неравенства можно умножить или разделить на одно и то же отрицательное число, изменив знак неравенства на противоположный;

г) обе части неравенства можно возводить в нужную степень, оставляя знак неравенства без изменения, если обе части неравенства неотрицательны.
1.3. Метод интервалов

Для решения неравенств вида (вместо знака > могут быть знаки <, ) применяется метод интервалов, который состоит в следующем:

а) на числовую ось наносят точки , разбивающие ее на промежутки, в которых выражение определено и сохраняет знак (плюс или минус). Такими точками могут быть корни уравнений и . Соответствующие этим корням точки отмечают на числовой оси: закрашенными кружками — точки, удовлетворяющие заданному неравенству, а не закрашенными — не удовлетворяющие ему;

б) определяют и отмечают на числовой оси знак выражения для значений x,, принадлежащих каждому из полученных промежутков.
Если функции f(x) или g(x) являются многочленами и не содержат множителей вида , где N , то достаточно определить знак функции в любом таком промежутке, а в остальных промежутках знаки плюс и минус будут чередоваться.

Наличие множителя в числителе или знаменателе не влияет на смену знака функции при переходе через точку x=a . В этом случае делят обе части функции на множитель , положительный при , и непосредственной проверкой выясняют, удовлетворяет ли значение x=a исходному неравенству.
1.4. Неизвестное под знаком модуля

Для того, чтобы решить неравенство, в котором неизвестное входит под знаком модуля, можно поступить следующим образом:

1) числовая ось разбивается на интервалы нулями всех подмодульных выражений;

2) неравенство в каждом из полученных интервалов записывается без знаков модуля и решается;

3) из найденных решений выбираются лишь те, которые лежат в рассматриваемом интервале.
1.5. Решение иррациональных неравенств

Неравенство, в котором неизвестное входит в выражение, стоящее под знаком радикала, называется иррациональным.

В элементарной алгебре предполагается, что радикалы четной степени являются арифметическими.

a) Иррациональное неравенство равносильно системе неравенств



б) Иррациональное неравенство равносильно совокупности систем неравенств

1.6. Решение неравенств методом систем

а) неравенство вида равносильно совокупности следующих систем неравенств:



б) неравенство вида равносильно совокупности следующих систем неравенств:



Замечание. Утверждения а) и б) справедливы и для неравенств и соответственно.
1.7. Интервалы

Множество всех значений действительной переменной x, удовлетворяющих условиям:

а) называется ограниченным открытым интервалом (промежутком) и обозначается ;

б) ( или ) — неограниченным интервалом и обозначается ( или );

в) — ограниченным замкнутым интервалом и обозначается .

Замкнутый интервал называется также отрезком, или сегментом, или замкнутым промежутком. Множества точек x, удовлетворяющих условиям , , , , называют полуоткрытыми интервалами и обозначаются соответственно

.
2. Примеры решения неравенств

П р и м е р 1. Решить неравенство .

Р е ш е н и е . Так как дискриминант , то квадратный трехчлен имеет два корня: и . Поэтому график функции y= пересекает ось OX в этих точках, а так как a= -3<0, то ветви параболы направлены вниз. Поэтому решениями неравенства являются все x из промежутка .

О т в е т : . (Другая форма записи: ).

П р и м е р 2. Решить неравенство .

Р е ш е н и е . На числовой оси отмечаем точки . Точки и не являются точками смены знака выражения в левой части неравенства, так как множители и имеют четные показатели степени и всюду неотрицательны. Сами значения и не являются решениями исходного неравенства , так как неравенство строгое. Точка является точкой смены знака; справа от нее выражение в правой части имеет положительное значение ( удобно подсчет провести в точке ). Тогда слева от этой точки выражение отрицательно. Отсюда в соответствии с методом интервалов получаем, что решениями неравенства являются все .
-- + + +

X
-1 2 3

О т в е т : .
П р и м е р 3 . Решить неравенство .

Р е ш е н и е . Проведем решение методом систем. Данное неравенство равносильно совокупности систем неравенств:
a) б)
В свою очередь, первые неравенства в системах а) и б) также могут быть заменены равносильными системами неравенств. В итоге получим, что исходное неравенство равносильно совокупности четырех систем простых неравенств:
1) 2) 3) 4)
Первая и третья из полученных систем не имеют решения; вторая система имеет решение ; в четвертой системе решение имеет вид . Объединяя полученные решения, в итоге получим решение исходного неравенства: .

О т в е т :

П р и м е р 4. Решить неравенство .

Р е ш е н и е . Преобразуем данное неравенство в равносильное:

. Отсюда, приводя к общему знаменателю, получим после разложения числителя и знаменателя на множители

.

Нули знаменателя не являются решениями неравенства; нули числителя принадлежат множеству решений исходного неравенства. В соответствии с методом интервалов определяем знак левой части последнего неравенства в любом из промежутков, на которые нули числителя и знаменателя разбивают числовую ось. В данном случае удобно определить знак выражения в нуле (плюс). В остальных промежутках знаки чередуются. При этом положительными значения левой части оказываются при , , .

О т в е т : .
П р и м е р 5. Решить неравенство .

Р е ш е н и е . Нули выражений, стоящих под знаком модуля, разбивают числовую ось на следующие интервалы :

; ; ; .

Далее решение неравенства следует искать на каждом из этих интервалов.

а). Пусть . Тогда в соответствии с определением модуля неравенство принимает вид : ;

отсюда следует , затем . С учетом промежутка, на котором рассмотрено неравенство, первая часть решения исходного неравенства имеет вид : .

б). Пусть . Раскрывая модули, получим неравенство , откуда следует неравенство, , которое не имеет решений.

в). Пусть . После раскрытия модулей получим неравенство , из которого следует . В этом решении нет точек, попадающих в рассматриваемый интервал. Следовательно, исходное неравенство в рассмотренном интервале не имеет решений.

г). Пусть . Раскрывая модули, получим неравенство , не имеющее решений.

Объединяя полученные на разных интервалах решения, окончательно можно записать, что исходное неравенство справедливо при .

О т в е т : .

П р и м е р 6. Решить неравенство .

Р е ш е н и е . Так как обе части неравенства неотрицательны, то возведение в квадрат будет действием, приводящим к равносильному неравенству: , то есть . Отсюда можно получить , и , следовательно, .

О т в е т : .

П р и м е р 6. Решить неравенство .

Р е ш е н и е . Неравенство равносильно совокупности систем неравенств

а) б)

Система а) преобразуется к виду
откуда следует

Последняя система равносильна , в свою очередь, совокупности следующих двух систем неравенств:

а1) а2) .

Здесь запись означает, что x принадлежит пустому множеству, то есть система а2) не имеет решения.

Система б) равносильна совокупности двух систем неравенств:

б1) б2)

Объединяя полученные решения, находим все решения исходного неравенства: .

О т в е т : .
П р и м е р 7. Решить неравенство .

Р е ш е н и е . Это иррациональное неравенство равносильно системе



Уравнение имеет корни

В этих точках парабола , ветви которой направлены вверх, пересекает ось OX . Второе неравенство последней системы справедливо при . Сравнивая этот результат с решением первого неравенства последней системы, видим, что решением системы будет промежуток . О т в е т : .
3. Задачи для самостоятельного решения

1). . Ответ: .

2). Ответ: .

3). Ответ: .

4). Ответ: .

5). Ответ: .

6). Ответ:

7). Ответ: .

8). Ответ:

9). Ответ:

10). Ответ:

11). Ответ:

12). Ответ:

13). Ответ:

14). Ответ:

15). Ответ:

16). Ответ:

17). Ответ:

18). Ответ:

19). Ответ:

20). Ответ:
4. Контрольная работа

Решить неравенства:

1). 2).

3). 4).

5). 6).

7). 8).

9). 10).
11). 12).

Похожие:

1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconЛинейные неравенства и неравенства, приводимые к линейным
Основные задачи уроков. Ввести основные понятия неравенств с параметрами. Определить общую схему решения неравенства, приводимого...
1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconРешение квадратных неравенств с одной переменой
Неравенства вида где a,b,c –любые числа, называются квадратными неравенствами с одной переменной
1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconКонтрольная работа №3 «Уравнения и неравенства с одной переменной»

1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconТематический план № Глава, параграф Часы Основные понятия
Линейное и квадратное неравенство с одной переменной, частные и общие решения, равносильность, равносильные преобразования
1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconПравила интегрирования по частям и замены переменной в неопределенном интеграле. Интегрирование рациональных дробей. Тригонометрические и гиперболические подстановки в неопределенном интеграле
Вопросы, задачи и упражнения к экзамену по интегрированию функции одной переменной
1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconТема 5
Контрольная работа №51Тема Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств2255. Равносильность уравнений356. Общие методы...
1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconУрока. Теоретический опрос. Игра «математические карты»
Если каждому значению независимой переменной соответствует единственное значение зависимой переменной, то зависимость одной переменной...
1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconКвадратные неравенства с параметром
Основные задачи уроков. Сформировать основные понятия о квадратных неравенствах с параметром и их решении; определить общую схему...
1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconТема Числовая функция одной переменной. Основные элементарные функции, их свойства и графики

1. Основные правила решения неравенства с одной переменной iconКонтрольные вопросы к зачету по предмету " Математика"
Постоянные и переменные величины. Понятие функции с одной переменной. Область определения и область изменения функции. График функции...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org