(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ) ИНСТИТУТ ЭНЕРГОМАШИНОСТРОЕНИЯ И МЕХАНИКИ (ЭнМИ) ___________________________________________________________________________________________________________
Направление подготовки: 141100 Энергетическое машиностроение
Профиль(и) подготовки: 1. Котлы, камеры сгорания и парогенераторы АЭС
2. Газотурбинные и паротурбинные установки и двигатели
3. Автоматизированные гидравлические и пневматические системы и агрегаты
4. Машины и технологии высокоэффективных процессов обработки материалов
5. Производство энергетического оборудования
Квалификация (степень) выпускника: бакалавр
Форма обучения: очная
РАБОЧАЯ ПРОГРАММА УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЫ
"МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ"
Цикл:
математический и естественнонаучный
Часть цикла:
вариативная
№ дисциплины по учебному плану:
Б.2.11
Часов (всего) по учебному плану:
108
Трудоемкость в зачетных единицах:
3
5 семестр – 3
Лекции
18 час
5 семестр
Практические занятия
18 час
5 семестр
Лабораторные работы
18 час
5 семестр
Расчетные задания, рефераты
54 час самостоят. работы
5 семестр
Объем самостоятельной работы по учебному плану (всего)
54 час
Экзамены
5 семестр
Курсовые проекты (работы)
Москва - 2010
1. ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Целью дисциплины является изучение теории погрешностей и методов численного решения основных задач алгебры, анализа, дифференциальных уравнений.
По завершению освоения данной дисциплины студент способен и готов:
владеть культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей ее достижения (ОК-1);
в условиях развития науки и изменяющейся социальной практики к переоценке накопленного опыта, анализу своих возможностей, приобретать новые знания, использовать различные средства и технологии обучения (ОК-6);
к самостоятельной, индивидуальной работе, принятию решений в рамках своей профессиональной компетенции (ОК-7);
применять основные методы, способы получения, хранения, переработки информации, использовать компьютер как средство работы с информацией (ОК-11);
использовать информационные технологии, в том числе современные средства компьютерной графики в своей предметной области (ПК-1);
демонстрировать базовые знания в области естественнонаучных дисциплин, использовать основные законы в профессиональной деятельности, применять методы математического анализа и моделирования, теоретического и экспериментального исследования (ПК-2);
выявить естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлечь для их решения соответствующий физико-математический аппарат (ПК-3);
выполнять численные и экспериментальные исследования, проводить обработку и анализ результатов (ПК-14);
Задачами дисциплины являются
изучение теории погрешностей и основных численных методов решения нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений, численных методов аппроксимации, методов численного дифференцирования и интегрирования, численных методов решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных;
теоретическое обоснование свойств вышеперечисленных методов, анализ их точности, условий применимости и т.д.;
изучение некоторых общих подходов и приемов построения рассматриваемых численных методов, что дает возможность самостоятельной модификации этих методов (или построения новых методов) для нестандартных задач.
2. МЕСТО ДИСЦИПЛИНЫ В СТРУКТУРЕ ООП ВПО
Дисциплина относится к вариативной части математического и естественнонаучного цикла Б.2 основной образовательной программы подготовки бакалавров по профилям «Котлы, камеры сгорания и парогенераторы АЭС», «Газотурбинные и паротурбинные установки и двигатели», «Автоматизированные гидравлические и пневматические системы и агрегаты», «Машины и технологии высокоэффективных процессов обработки материалов» и «Производство энергетического оборудования» направления 141100 «Энергетическое машиностроение».
Дисциплина базируется на следующих дисциплинах: «Высшая математика», «Высшая математика 2», «Информатика», «Информатика 2».
Знания, полученные по освоению дисциплины, являются неотъемлемой частью базовой математической подготовки и необходимы для любой учебно-исследовательской работы, требующей проведения численного анализа той или иной физико-математической модели, в частности при выполнении бакалаврской выпускной квалификационной работы.
3. РЕЗУЛЬТАТЫ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
В результате освоения учебной дисциплины обучающиеся должны демонстрировать следующие результаты образования:
Знать:
основы теории погрешностей, численные методы решения нелинейных уравнений и систем линейных алгебраических уравнений, методы среднеквадратичного приближения и интерполяции функций, методы численного интегрирования и дифференцирования, численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных (ОК-6, ПК-2, ПК-3);
Уметь:
правильно выбирать численный метод, опираясь на анализ характера поставленной задачи и знание свойств соответствующих численных методов (ОК-1, ОК-7, ПК-2, ПК-3);
анализировать точность (погрешность) полученного численного решения, в том числе давать рекомендации по возможности достижения требуемой точности (ОК-1, ОК-7, ПК-2, ПК-14);
грамотно реализовывать расчетные формулы методов, используя алгоритмические языки программирования или специальные средства математических пакетов прикладных программ (ОК-11, ПК-1, ПК-14);
выводить расчетные формулы указанных выше методов (ОК-1, ПК-2);
строго обосновывать свойства изученных методов (оценки погрешности, сходимость, условия применения) (ОК-1, ПК-2);
Владеть:
основными методиками построения расчетных формул, анализа сходимости и точности методов (ОК-1, ПК-2);
инструментальной базой для реализации численных методов на ЭВМ (ОК-11, ПК-1, ПК-14);
4. СТРУКТУРА И СОДЕРЖАНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
4.1. Структура дисциплины
Общая трудоемкость дисциплины составляет 3 зачетных единицы, 108 часов.
№
п/п
Раздел дисциплины.
Форма промежуточной аттестации (по семестрам)
Всего часов на раздел
Семестр
Виды учебной работы, включая
самостоятельную работу студентов и трудоемкость (в часах)
Формы текущего контроля
успеваемости
(по разделам)
лк
пр
лаб
сам.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1
Теория погрешностей и машинная арифметика
10
5
2
2
2
4
защита лаб. раб.,
выполнение
расчетного задания
2
Численные методы решения нелинейных уравнений
14
5
2
2
4
6
защита лаб. раб.,
выполнение
расчетного задания
3
Численные методы решения систем линейных уравнений.
14
5
2
2
4
6
защита лаб. раб.,
выполнение
расчетного задания
4
Приближение функций
14
5
2
2
4
6
защита лаб. раб.,
выполнение
расчетного задания
5
Численное интегрирование и дифференцирование
6
5
2
2
--
2
тест, выполнение расчетного задания
6
Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений
18
5
4
4
4
6
защита лаб. раб.,
выполнение
расчетного задания
7
Численное решение двухточечной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
6
5
2
2
--
2
тест,
выполнение
расчетного задания
8
Разностные методы решения задач математической физики
6
5
2
2
--
2
тест,
выполнение
расчетного задания
Зачет
2
5
--
--
--
2
Экзамен
18
5
--
--
--
18
устный
Итого:
108
18
18
18
54
4.2. Содержание лекционно-практических форм обучения
4.2.1. Лекции
1. Теория погрешностей и машинная арифметика
Источники и классификация погрешностей. Приближённые числа, абсолютная и относительная погрешности. Запись приближённых чисел: значащие и верные цифры. Округление. Погрешности арифметических операций, погрешность функции одной и нескольких переменных. Представление чисел в ЭВМ. Понятие машинного нуля, машинной бесконечности и машинного эпсилон.
2. Решение нелинейных уравнений
Постановка задачи. Простые и кратные корни. Этапы локализации и итерационного уточнения корней. Основные методы решения нелинейных уравнений: бисекции, простой итерации и Ньютона (алгоритмы, теоремы сходимости, априорные и апостериорные оценки погрешности). Модификации метода Ньютона: упрощённый метод Ньютона, методы ложного положения, секущих, Стеффенсена и модификация для случая кратных корней.
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений
Постановка задачи решения СЛАУ. Нормы векторов и матриц. Обусловленность задачи решения СЛАУ. Прямые методы решения СЛАУ: метод Гаусса и его модификации, метод прогонки. Итерационные методы решения СЛАУ: методы Якоби, Зейделя и релаксации.
4. Приближение функций
Постановка основных задач приближения функций. Метод наименьших квадратов. Среднеквадратичное уклонение. Вывод нормальной системы МНК, её разрешимость.
Постановка задачи глобальной полиномиальной интерполяции. Существование и единственность интерполяционного многочлена. Погрешность интерполяции. Многочлен Лагранжа. Интерполяционный многочлен Ньютона с конечными и с разделёнными разностями, таблица конечных и разделённых разностей.
5. Численное интегрирование и дифференцирование
Простейшие формулы численного дифференцирования, погрешность аппроксимации. Влияние погрешности данных.
Постановка задачи численного интегрирования. Понятие квадратурной формулы. Формулы прямоугольников, трапеций, Симпсона и их оценки погрешности. Правило Рунге апостериорной оценки погрешностей.
6. Численные методы решения задачи Коши для
обыкновенных дифференциальных уравнений
Постановка задачи Коши для ОДУ. Дискретизация дифференциальных уравнений. Дискретная задача Коши в случае одношаговых методов. Понятия аппроксимации, устойчивости и сходимости, локальной и глобальной погрешностей. Явный метод Эйлера. Методы Рунге-Кутты: построение, вывод методов второго порядка, примеры методов четвёртого порядков. Правило Рунге и автоматический выбор шага. Решение задачи Коши для систем дифференциальных уравнений и уравнений высокого порядка.
7.Численное решение двухточечной краевой задачи для
обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка
Постановка краевой задачи. Дискретизация задачи. Сетка, сеточные функции. Построение разностной схемы. Разрешимость. Использование метода прогонки. Оценка погрешности сеточного решения. Устойчивость, аппроксимация и сходимость.
8. Разностные методы решения задач математической физики
Постановка начально-краевой задачи для одномерного нестационарного уравнения теплопроводности. Дискретизация, сеточные функции. Явная и неявная разностные схемы для нестационарного уравнения теплопроводности: построение, погрешность аппроксимации, устойчивость.
Постановка двумерной задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Разностная схема для решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона: построение, погрешность аппроксимации. Итерационные методы Якоби и Зейделя решения сеточных уравнений. 4.2.2. Практические занятия
5 семестр
1. Теория погрешностей и машинная арифметика.
2. Решение нелинейных уравнений.
3. Решение систем линейных алгебраических уравнений прямыми и итерационными методами.
4. Приближение функций. Метод наименьших квадратов и глобальная полиномиальная интерполяция.
5. Численное интегрирование и дифференцирование.
6. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.
7. Численное решение двухточечной краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения 2-го порядка.
8. Разностные методы решения задач математической физики.
9. Зачетное занятие. 4.3. Лабораторные работы
5 семестр
№ 1. Теория погрешностей и машинная арифметика.
№ 2. Решение нелинейных уравнений.
№ 3. Решение систем линейных алгебраических уравнений итерационными методами.
№ 4. Приближение функций.
№ 5. Численное решение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. 4.4. Расчетные задания.
Определение погрешности функции трех переменных.
Поиск корня нелинейного уравнения методами бисекции, простой итерации и Ньютона.
Вычисление норм векторов и матриц.
Число обусловленности задачи решения системы линейных алгебраических уравнений и оценка погрешности решения системы.
Решение линейной системы методами Гаусса, прогонки, Якоби и Зейделя.
Аппроксимация функции многочленами 1-й и 2-й степени методом наименьших квадратов. Построение нормальной системы МНК для случая произвольных базисных функций.
Построение интерполяционного многочлена Лагранжа и Ньютона.
Вычисление интеграла по формулам трапеций, центральных прямоугольников и Симпсона с априорной оценкой погрешности и оценкой погрешности по Рунге.
Вычисление правой и центральной разностной производной с априорной оценкой погрешности. Определение порядка формулы численного дифференцирования.
Приближенное решение задачи Коши явным методом Эйлера и методом Рунге-Кутты 2-го порядка с оценкой погрешности по правилу Рунге.
Приближенное решение краевой задачи на трехточечном шаблоне.
Решение начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности с помощью явной разностной схемы. 4.5. Курсовые проекты и курсовые работы
Курсовой проект (курсовая работа) учебным планом не предусмотрен.
5. ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ТЕХНОЛОГИИ
Лекционные занятия проводятся исключительно в традиционной форме.
Практические занятия проводятся в традиционной форме и требуют обязательного применения вручную и по шагам изучаемых методов.
Лабораторные занятия проводятся в учебных компьютерных классах вычислительного центра и представляют собой создание небольших программных модулей (программ), в которых реализуются изучаемые вычислительные алгоритмы, с последующей защитой написанных программ.
Самостоятельная работа включает выполнение расчетных заданий (типового расчета), выполнение домашней части лабораторных работ и оформление отчетов по ним, подготовку к тестам, защитам лабораторных работ и подготовку к зачету и экзамену.
6. ОЦЕНОЧНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ ТЕКУЩЕГО КОНТРОЛЯ УСПЕВАЕМОСТИ, ПРОМЕЖУТОЧНОЙ АТТЕСТАЦИИ ПО ИТОГАМ ОСВОЕНИЯ ДИСЦИПЛИНЫ
Для текущего контроля успеваемости используются интерактивные компьютерные тесты и защиты лабораторных работ.
Аттестация по дисциплине – дифференцированный зачет и экзамен.
Оценка за освоение дисциплины, определяется как оценка на экзамене.
В приложение к диплому вносится оценка за 5 семестр.
7. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
1. Казёнкин К.О. Указания к решению задач по вычислительной математике. Теория погрешностей. Нелинейные уравнения. Системы линейных алгебраических уравнений. М: Издательство МЭИ. 2009. 7.2. Электронные образовательные ресурсы:
а) лицензионное программное обеспечение и Интернет-ресурсы:
интерактивная система тестирования ОСА. 8. МАТЕРИАЛЬНО-ТЕХНИЧЕСКОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ
Для обеспечения освоения дисциплины необходимо постоянное проведение лабораторных работ в компьютерных классах с установленной на компьютерах средой разработки программных средств (например, Borland Developer Studio или Turbo Pascal) и математическим пакетом (например, Mathcad).
Программа составлена в соответствии с требованиями ФГОС ВПО и с учетом рекомендаций ПрООП ВПО по направлению подготовки 141100 «Энергетическое машиностроение» и профилям «Котлы, камеры сгорания и парогенераторы АЭС», «Газотурбинные и паротурбинные установки и двигатели», «Автоматизированные гидравлические и пневматические системы и агрегаты», «Машины и технологии высокоэффективных процессов обработки материалов» и «Производство энергетического оборудования». ПРОГРАММУ СОСТАВИЛ:
к.ф.-м.н., старший преподаватель Казёнкин К. О. "СОГЛАСОВАНО":