Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология»



Скачать 89.04 Kb.
Дата31.12.2012
Размер89.04 Kb.
ТипПрограмма
Правительство Российской Федерации
Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования
"Национальный исследовательский университет
"Высшая школа экономики"


Факультет Математики

Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология»

для направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра

и направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра

Автор программы:

Рыбников Г.Л., кандидат физико-матеметических наук, grybnikov@hse.ru


Рекомендована секцией УМС по математике «___»____________ 2011 г.

Председатель С.К.Ландо
Утверждена УС факультета математики «___»_____________2011 г.

Ученый секретарь Ю.М. Бурман ________________________

Москва, 2011

Настоящая программа не может быть использована другими подразделениями университета и другими вузами без разрешения кафедры-разработчика программы.

1Область применения и нормативные ссылки


Настоящая программа учебной дисциплины устанавливает минимальные требования к знаниям и умениям студента и определяет содержание и виды учебных занятий и отчетности.

Программа предназначена для преподавателей, ведущих данную дисциплину, учебных ассистентов и студентов направления 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра, направления 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

Программа разработана в соответствии с:

  • ГОС ВПО;

  • Образовательными программами: 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и 010100.68 «Математика» подготовки магистра.

  • Рабочими учебными планами университета: по направлению 010100.62 «Математика» подготовки бакалавра и по направлению 010100.68 «Математика» подготовки магистра, специализации Математика, утвержденными в 2011 г.



2Цели освоения дисциплины


Целями освоения дисциплины «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» являются

  • ознакомление студентов с основными комбинаторными, геометрическими и алгебраическими структурами, связанными с конфигурациями гиперплоскостей;

  • изучение связей этих структур с топологией дополнения к гиперплоскостям конфигурации;

  • представление о диапазоне применений методов и понятий теории конфигураций гиперплоскостей в других областях математики.



3Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины


В результате освоения дисциплины студент должен:

  • Знать основные определения и формулировки основных теорем теории конфигураций гиперплоскостей.


  • Уметь пользоваться индукцией удаления-факторизации, вычислять характеристический многочлен конфигурации и кольцо когомологий дополнения, задавать фундаментальную группу дополнения к конфигурации образующими и соотношениями, применять теорию конфигураций гиперплоскостей в задачах, приходящих из других областей математики, таких как геометрия, топология, математическая физика, теория особенностей и т.д.

  • Иметь навыки работы с комбинаторными и алгебраическими структурами (матроид, функция Мебиуса решетки пересечений, кольцо Орлика-Соломона, алгебра Варченко-Гельфанда и т.п.), связанными с теорией конфигураций гиперплоскостей.



4Место дисциплины в структуре образовательной программы


Настоящая дисциплина относится к циклу специальных дисциплин и блоку дисциплин по выбору.

5Тематический план учебной дисциплины


1 курс магистратуры




Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Комбинаторика конфигураций гиперплоскостей

22

10







12

2

Алгебра и геометрия конфигураций

22

10







12

3

Топология дополнения к конфигурации

28

12







16




Итого:

72

32







40
2 курс магистратуры




Название раздела

Всего часов

Аудиторные часы

Самостоя­тельная работа

Лекции

Семинары

Практические занятия

1

Комбинаторика конфигураций гиперплоскостей

40

10







30

2

Алгебра и геометрия конфигураций

40

10







30

3

Топология дополнения к конфигурации

46

12







34




Итого:

126

32







94

6Формы контроля знаний студентов


Тип контроля

Форма контроля

1 год

Параметры **

1

2

3

4

Текущий

(неделя)

Контрольная работа

*

8







письменная работа 60 минут

Итоговый

Зачет




v







письменный экзамен 90 минут



1, 2 модули

6.1Критерии оценки знаний, навыков


Промежуточная письменная работа: знакомство с функцией Мебиуса решетки пересечений и с формулой обращения Мебиуса, вычисление характеристического многочлена конфигурации, его применение к решению комбинаторных задач (число областей, число раскрасок графа, число ациклических ориентаций и т.п.).

Оценки по всем формам текущего контроля выставляются по 10-ти балльной шкале.

7Содержание дисциплины





    Раздел 1 Комбинаторика конфигураций гиперплоскостей

Линейные, проективные и аффинные конфигурации гиперплоскостей — 1 лекция.
Специальные классы конфигураций; грани и камеры для вещественных
конфигураций — 1 лекция. Решетка пересечений; функция Мебиуса; характеристический многочлен — 2 лекции. Вычисления; подсчет числа камер; конфигурации над конечными полями — 1 лекция.

Литература: [OT]



    Раздел 2. Алгебра и геометрия конфигураций.

Матроиды и их реализуемость над различными полями; пространства реализаций — 2 лекции. Построения фон Штаудта и теорема Мнева — 1 лекция. Вещественные конфигурации и ориентированные матроиды — 1 лекция. Кольцо Варченко-Гельфанда — 1 лекция.

Литература: [OT], [O], [BLSWZ]


    Раздел 3. Топология дополнения к конфигурации.

    Кольцо Орлика-Соломона — 1 лекция. Дополнение к комплексной конфигурации; теорема
    Арнольда-Брискорна-Орлика-Соломона — 2 лекции. Комплексификация вещественной конфигурации; комплекс Сальветти — 1 лекция. Фундаментальная группа для произвольной комплексной конфигурации: образующие и соотношения — 1 лекция. Комбинаторно эквивалентные конфигурации с неизоморфными фундаментальными группами — 1 лекция.

    Литература: [OT], [BLSWZ], [Yuz], [Ryb]


8Образовательные технологии


В курсе возможны мастер-классы специалистов в различных областях математики, использующих теорию конфигураций гиперплоскостей. Возможны также презентации и математические эксперименты с использованием систем компьютерной алгебры и средств визуализации.

9Оценочные средства для текущего контроля и аттестации студента

9.1Тематика заданий текущего контроля


Примерные вопросы/ задания для промежуточной контрольной работы:

  1. Вычислите функцию Мебиуса конфигурации гиперплоскостей, ассоциированной с заданным графом (небольшого размера).

  2. Найдите характеристический многочлен конфигурации, отвечающей системе корней типа A_n.

  3. Найдите наибольшее число ограниченных областей для конфигурации m аффинных гиперплоскостей в n-мерном вещественном пространстве.



9.2Вопросы для оценки качества освоения дисциплины


Примеры задач экзамена по всему курсу:

    1. Приведите пример матроида ранга 3, пространство комплексных реализаций которого несвязно.

    2. Найдите число точек в дополнении к коксетеровской конфигурации гиперплоскостей типа B_3 над полем из q элементов.

    3. Найдите числа Бетти дополнения к коксетеровской конфигурации типа D_4 над полем комплексных чисел.

    4. Задайте образующими и соотношениями фундаментальную группу дополнения к комплексификации конфигурации, состоящей из сторон квадрата и его диагоналей.



10Порядок формирования оценок по дисциплине


Оценка за текущий, промежуточный и итоговый контроль выставляется по 10 балльной

шкале.
Результирующая оценка за итоговый контроль складывается из результатов накопленной результирующей оценки за текущий контроль, удельный вес которой составляет k1 = 0,5 и оценки за зачет, удельный вес k2 = 0,5.

Оитоговый = 0,5 * Отекущий + 0,5 * Озачет

Способ округления накопленной оценки промежуточного (итогового) контроля в форме зачета/экзамена в пользу студента.
Студент может получить возможность пересдать низкие результаты за текущий контроль.
В диплом ставится оценка за итоговый контроль, которая является результирующей оценкой по учебной дисциплине.

11Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

11.1Базовый учебник


[OT] Orlik, Peter; Terao, Hiroaki, Arrangements of Hyperplanes, Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 300, Berlin: Springer-Verlag, 1992.

11.2Основная литература


[BLSWZ] A. Bjorner, M. Las Vergnas, B. Sturmfels, N. White, and G. Ziegler, Oriented Matroids, second ed., Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 46, Cambridge University Press, Cambridge, 1999.

[O] Oxley, James, Matroid Theory, New York: Oxford University Press, 1992.

11.3Дополнительная литература


[Yuz] С. А. Юзвинский, “Алгебры Орлика–Соломона в алгебре и топологии”, УМН, 56:2(338) (2001), 87–166

[Ryb] Г. Л. Рыбников, “О фундаментальной группе дополнения к комплексной конфигурации гиперплоскостей”, Функциональный анализ и его приложения, 45:2 (2011), 71–85


11.4Справочники, словари, энциклопедии


http://en.wikipedia.org/wiki/Hyperplane_arrangement

http://en.wikipedia.org/wiki/Matroid

http://en.wikipedia.org/wiki/Oriented_matroid

Похожие:

Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconРабочая программа дисциплины Спецкурс «Гомологическая алгебра» Направление
Рабочая программа дисциплины «Гомологическая алгебра» [Текст]/Сост. Смирнов Е. Ю., Финкельберг М. В.; Гу-вшэ. – Москва.– 2010. –...
Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconРабочая программа дисциплины "Линейная алгебра" Направление подготовки 010200 «Математика и компьютерные науки»
Дисциплина "Линейная алгебра" обеспечивает подготовку по следующим разделам математики: линейная алгебра и аналитическая геометрия,...
Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconПрограмма дисциплины «Топология ii»
Рабочая программа дисциплины «Топология ii» [Текст]/Сост. Васильев В. А.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 9 с
Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconПрограмма дисциплины «Топология ii»
Рабочая программа дисциплины «Топология ii» [Текст]/Сост. Васильев В. А.; Гу-вшэ. –Москва.– 2009. – 9 с
Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconРабочая программа дисциплины "Геометрия и топология"
Направление подготовки 010500 «Математическое обеспечение и администрирование информационных систем»
Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconПрограмма дисциплины «дифференциальная геометрия и топология»
Одобрена на заседании кафедры геометрии, топологии и методики преподавания математики
Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconРабочая программа дисциплины «Топология»
Рабочая программа дисциплины «Топология» [Текст]/Сост. Васильев В. А.; Гу-вшэ.–Москва.–2009.–12 с
Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconРабочая программа дисциплины " Аналитическая геометрия и линейная алгебра " предназначена для студентов 1 курса по специальности
Рабочая программа дисциплины "Аналитическая геометрия и линейная алгебра" предназначена для студентов 1 курса
Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconПрограмма курса дифференциальная топология и риманова геометрия
Топология, топологическое пространство. Гомеоморфизм, сравнение топологий. Открытые и замкнутые множества. Внутренность, замыкание...
Программа дисциплины Спецкурс «Конфигурации гиперплоскостей: их комбинаторика, геометрия, алгебра и топология» iconРабочая программа дисциплины алгебра и геометрия математический и естественнонаучный цикл, базовая часть Направление подготовки 150700 «Машиностроение»

Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org