Ф 27-019
Учреждение образования
“Гродненский государственный университет имени Янки Купалы”
-
УТВЕРЖДАЮ
Декан факультета математики и информатики
___________________ ____________
_____________ _____ г.
Регистрационный № УД- _____/р.
|
ВВЕДЕНИЕ В МАТЕМАТИКУ
Учебная программа для специальности:
(рабочий вариант)
1-31 03 01-02 Математика (научно-педагогическая деятельность)
Факультет математики и информатики
Кафедра алгебры, геометрии и методики преподавания математики
Курс 1
Семестр 1
Лекции
|
24
|
|
Экзамен
|
|
|
(количество часов)
|
|
|
(семестр)
|
Практические (семинарские) занятия
|
12
|
|
Зачет
|
1
|
|
(семестр)
|
|
(количество часов)
|
|
|
| Всего аудиторных часов по дисциплине |
36
|
|
Форма получения высшего образования
|
дн
| | |
(количество часов)
|
|
|
(семестр)
|
Составил Ю.П. Золотухин, кандидат физико-математических наук, доцент
2010 г.
Рабочая программа составлена на основе учебной программы дисциплины «Введение в математику», утверждённой _____________________________________
Регистрационный № УД- _______________________________
Рассмотрена и рекомендована к утверждению в качестве рабочего варианта на заседании кафедры алгебры, геометрии и методики преподавания математики
26.06.2010 г., протокол N°10
Заведующий кафедрой
____________________ А.А. Гринь
Одобрена и рекомендована к утверждению на заседании Методической комиссии факультета математики и информатики
29.06.2010 г., протокол N° 6
Председатель
_______________ Романовский Ю.Я.
Одобрена и рекомендована к утверждению на заседании Совета факультета
математики и информатики
30.06.2010 г., протокол N° 6
Учёный секретарь
________________ ______________
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Цель преподавания дисциплины
изложение понятий и конструкций теории множеств, лежащих в основе современной математики;
знакомство студентов с основными методами доказательств в математике;
построение аксиоматическим методом натуральных чисел и на их основе целых и рациональных чисел;
введение понятия мощности множества, изучение свойств счетных множеств и множеств мощности континуума.
Задачи изучения дисциплины
В результате изучения дисциплины студенты должны:
знать:
понятие множества, бинарного отношения и отображения множеств;
метод математической индукции;
понятие суммы, произведения, сочетания, перестановки, размещения, бинома Ньютона;
понятие мощности множества, счетного множества, множества мощности континуума;
уметь:
выполнять операции над множествами;
определять, является ли отображение сюръективным, инъективным, биективным;
вычислять суммы, произведения, сочетания, перестановки, размещения;
определять мощность множества.
СОДЕРЖАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА
№
п/п
|
Наименование раздела, темы дисциплины
|
Содержание
|
|
Введение
|
Особенности математики как науки. Её содержание и методы исследований.
|
1.
|
Множества и отношения
|
Канторово определение множества. Антиномии «наивной» теории множеств. Пустое множество. Универсальное множество. Начала аксиоматики Цермело-Френкеля теории множества. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность. Дополнение множества. Декартово произведение множеств. Бинарные отношения. Свойства рефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Фактормножество.
|
2.
|
Отображения
|
Понятие отображения множеств. Терминология и примеры. Понятие семейства, последовательности, уравнения. Образы и прообразы элементов и подмножеств. Композиция отображений, свойство ассоциативности композиции отображений. Сюръективные, инъективные, биективные отображения. Обратное отображение, односторонние обратные отображения. Бинарные алгебраические операции как отображения.
|
3.
|
Элементы комбинаторики
|
Правила сумма и произведения в комбинаторике. Перестановки, сочетания. Бином Ньютона. Правило включений и исключений в комбинаторике и его приложения.
|
4.
|
Натуральные, целые и рациональные числа
|
Аксиоматика Пеано натуральных чисел. Определение сложения, умножения натуральных чисел и естественного порядка в множестве натуральных чисел. Расширенный натуральный ряд. Сложение, умножение, деление с остатком целых чисел. Естественный порядок в множестве целых чисел. Сравнение целых чисел по натуральному модулю. Метод полной математической индукции. Построение множества рациональных чисел. Определение арифметических операций и естественного порядка в множестве рациональных чисел.
|
5
|
Мощности и порядки
|
Понятие мощности множества. Сравнение множеств по их мощностям, теорема Кантора-Берштейна. Счетные множества: примеры и основные свойства. Множества мощности континуума. Континуум-проблема. Упорядоченные множества: частичный, линейный и полный порядок. Максимальные и минимальные элементы. Вполне упорядоченные множества.
|
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКАЯ КАРТА
Номер раздела, темы,
занятия
|
Название раздела,темы, занятия;
перечень изучаемых вопросов
|
Количество аудиторных часов
|
Материальное обеспечение занятия (наглядные, методические пособия и др.)
|
Литература
|
Формы контроля знаний
|
лекции
|
практические (семинарские) занятия
|
лабораторные занятия
|
управляемая самостоятельная работа студентов
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
7
|
8
|
9
|
1
|
Особенности математики как науки. Её содержание и методы исследований.
|
2
|
|
|
|
|
[1] – [3]
|
|
2
|
Канторово определение множества. Антиномии «наивной» теории множеств. Пустое множество. Универсальное множество. Начала аксиоматики Цермело-Френкеля теории множества. Операции над множествами: пересечение, объединение, разность. Дополнение множества. Декартово произведение множеств.
|
4
|
4
|
|
|
|
[1] – [3]
|
|
3
|
Унарные и бинарные отношения. Свойства рефлексивности, симметричности, антисимметричности, транзитивности бинарных отношений. Отношение эквивалентности. Классы эквивалентности. Теорема о разбиении множества на классы эквивалентности. Фактормножество. Упорядоченные и частично упорядоченные множества.
|
4
|
4
|
|
|
|
[1] – [3]
|
|
4
|
Понятие отображения множеств. Равенство отображений. Образы и прообразы элементов и подмножеств. График отображения. Композиция отображений, свойство ассоциативности композиции отображений. Сюръективные, инъективные, биективные отображения. Тождественное отображение. Обратное отображение. Бинарные алгебраические операции.
|
4
|
2
|
|
2
|
[1, Глава 2. § 4, 5, стр. 112–126]
|
[1] – [3]
|
|
5
|
Сумма, произведение, пустые сумма и произведение. Факториал. Перестановки, сочетания, размещения. Биноминальные коэффициенты. Бином Ньютона.
|
2
|
|
|
|
|
[1] – [3]
|
|
6
|
Конечные множества. Бесконечные множества. Равномощные множества. Понятие мощности множества. Счетные множества. Свойства счетных множеств. Множества мощности континуума. Свойства несчетных множеств. Континуум-проблема.
|
2
|
2
|
|
4
|
[3, Глава 9. § 4, 5, стр. 18–28]
|
[1] – [3]
|
|
|
ВСЕГО:
|
18
|
12
|
|
6
|
|
|
Итоговый тест
|
4. ИНФОРМАЦИОННО-МЕТОДИЧЕСКИЕ МАТЕРИАЛЫ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
№
п/п
| Перечень |
| Основная литература |
1.
|
Кононов С.Г., Тышкевич Р.И., Янчевский В.И. Введение в математику: Учебное пособие для студентов мех.-мат. фак. спец. G31 03 01 «Математика». В 3 ч. Ч. 1. Множества и функции - Мн.: БГУ, 2003. - 171 с.
|
2.
|
Кононов С.Г., Тышкевич Р.И., Янчевский В.И. Введение в математику: Учебное пособие для студентов мех.-мат. фак. спец. G31 03 01 «Математика». В 3 ч. Ч. 2. Координаты и числа. - Мн.: БГУ, 2003. - 126 с.
|
3.
|
Кононов С.Г., Тышкевич Р.И., Янчевский В.И. Введение в математику: Учебное пособие для студентов мех.-мат. фак. спец. G31 03 01 «Математика». В 3 ч. Ч. 3. Мощность множеств- Мн.: БГУ, 2003. - 126 с.
|
|
Дополнительная литература
|
4.
|
Френкель А.А., Бар-Хиллел И. Основания теории множеств. “Мир”, Москва, 1968.
|
5.
|
Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. “Мир”, Москва, 1970.
|
6.
|
Виленкин Н.Я. Рассказы о множествах. М., 1977.
|
7.
|
Волков В.А. Элементы теории множеств и развитие понятия числа. Л.,1978.
|
8.
|
Вольвачев Р.Т. Элементы математической логики и теории множеств. Мн., 1986.
|
5. ПРОТОКОЛ СОГЛАСОВАНИЯ УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЫ
ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
С ДРУГИМИ ДИСЦИПЛИНАМИ СПЕЦИАЛЬНОСТИ
Название дисциплины, с которой требуется согласование
|
Название кафедры
|
Предложения об изменениях в содержании учебной программы по изучаемой учебной дисциплине
|
Решение, принятое кафедрой, разработавшей учебную программу
(с указанием даты и номера протокола) 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. ДОПОЛНЕНИЯ И ИЗМЕНЕНИЯ К УЧЕБНОЙ ПРОГРАММЕ
ПО ИЗУЧАЕМОЙ УЧЕБНОЙ ДИСЦИПЛИНЕ
на ____ / _____ учебный год
№
п/п
|
Дополнения и изменения
|
Основание
|
|
|
|
|
|
|
Учебная программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры
(протокол № __ от _______ 200__ г.)
Заведующий кафедрой __________________________ ______________ _______________________
(степень, звание) (И.О.Фамилия)
|
