Математическая статистика теория и практика



страница3/14
Дата10.01.2013
Размер1.72 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

§3. СТАТИСТИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫБОРКИ.

ГРАФИЧЕСКОЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ


Пусть требуется изучить статистическую совокупность относительно некоторого количественного признака X. Числовые значения признака будем обозначать через хi.

Из генеральной совокупности извлекается выборка объёма п.

  1. Количественный признак Хдискретная случайная величина.

Наблюдаемые значения хi называют вариантами, а последовательность вариантов, записанных в возрастающем порядке, – вариационным рядом.

Пусть x1 наблюдалось n1 раз,

x2 наблюдалось n2 раз,

xk наблюдалось nk раз,

причем . Числа ni называют частотами, а их отношение к объёму выборки, т.е. , – относительными частотами (или частостями), причем .

Значение вариант и соответствующие им частоты или относительные частоты можно записать в виде таблиц 1 и 2.

Таблица 1

Варианта xi

x1

x2



xk

Частота ni

n1

n2



nk


Таблицу 1 называют дискретным статистическим рядом распределения (ДСР) частот, или таблицей частот.


Таблица 2

Варианта xi

x1

x2



xk

Относительная частота wi

w1

w2



wk

Таблица 2  ДСР относительных частот, или таблица относительных частот.
Определение. Модой называется наиболее часто встречающийся вариант, т.е. вариант с наибольшей частотой. Обозначается xмод.
Определение. Медианой называется такое значение признака, которое делит всю статистическую совокупность, представленную в виде вариационного ряда, на две равных по числу части. Обозначается .

Если n нечетно, т.е. n = 2m + 1, то = xm+1.

Если n четно, т.е. n = 2m, то .
Пример 3. По результатам наблюдений: 1, 7, 7, 2, 3, 2, 5, 5, 4, 6, 3, 4, 3, 5, 6, 6, 5, 5, 4, 4 построить ДСР относительных частот. Найти моду и медиану.

Решение. Объем выборки n = 20. Составим ранжированный ряд элементов выборки: 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7. Выделим варианты и подсчитаем их частоты (в скобках): 1 (1), 2 (2), 3 (3),
4 (4), 5 (5), 6 (3), 7 (2). Строим таблицу:

xi

1

2

3

4

5

6

7

wi

1/20

2/20

3/20

4/20

5/20

3/20

2/20

Наиболее часто встречающийся вариант xi = 5. Следовательно, xмод = 5. Так как объем выборки n – четное число, то

Если на плоскости нанести точки и соединить их отрезками прямых, то получим полигон частот.

Если на плоскости нанести точки , то получим полигон относительных частот.

Пример 4. Построить полигон частот и полигон относительных частот по данному распределению выборки:


xi

4

7

8

12

17

ni

2

4

5

6

3

wi

2/20

4/20

5/20

6/20

3/20

Решение. На рисунке 2 показан полигон частот и на рисунке 3 – полигон относительных частот.



Рис. 2 Рис. 3
Замечание. Чем круче полигон, тем равномернее процесс.


  1. Пусть количественный признак Xнепрерывная случайная величина, принимающая значения из интервала (а,b). Весь диапазон наблюдаемых данных делят на частичные интервалы [хi; xi+1), которые берут обычно одинаковыми по длине: = xi+1 xi (i = 0, 1, …, k). Для определения величины интервала можно использовать формулу Стерджеса:



где (xmax xmin) разность между наибольшим и наименьшим значениями признака, k = 1 + log2 n  число интервалов (log2 n 3,322 lg n). Если окажется, что h  дробное число, то за длину частичного интервала следует брать либо ближайшее целое число, либо ближайшую простую дробь. За начало первого интервала рекомендуется брать величину xнач = xmin . В каждом из частичных интервалов подсчитывают число наблюдаемых значений, т.е. частоту ni. По частотам находят относительные частоты . Полученные интервалы и соответствующие им частоты (или относительные частоты) записывают в виде таблицы 3. При этом правая граница последнего интервала тоже включается.

Таблица 3

Частичный интервал [xi,xi+1)

[x0, x1)

[x1, x2)



[xk-1, xk]

Относительная частота wi

w1

w2



wk


Таблица 3 называется интервальным статистическим рядом распределения (ИСР) относительных частот, который задаёт распределение выборки. Аналогично составляется ИСР частот.

Пример 5. Измерили рост (с точностью до см) 30 наудачу отобранных студентов. Результаты измерений таковы:

178, 160, 154, 183, 155, 153, 167, 186, 163, 155, 157, 175, 170, 166, 159,

173, 182, 167, 171, 169, 179, 165, 156, 179, 158, 171, 175, 173, 164, 172.

Построить интервальный статистический ряд относительных частот.

Решение. Для удобства проранжируем полученные данные:

153, 154, 155, 155, 156, 157, 158, 159, 160, 163, 164, 165, 166, 167, 167,

169, 170, 171, 171, 172, 173, 173, 175, 175, 178, 179, 179, 182, 183, 186.

Отметим, что Х  рост студента  непрерывная случайная величина. Как видим, xmin = 153, хmax = 186; по формуле Стерджеса, при n = 30, находим длину частичного интервала



Примем = 6. Тогда хнач = 153 – =150. Исходные данные разбиваем на шесть (k = 1 + log230 = 5,907  6) интервалов:

[150, 156), [156, 162), [162, 168), [168, 174), [174, 180), [180, 186].

Подсчитав число студентов ni, попавших в каждый из полученных промежутков, получим ИСР:

[xi,xi+1)

[150, 156)

[156, 162)

[162, 168)

[168, 174)

[174,180)

[180,186]

ni

4

5

6

7

5

3

wi

4/30

5/30

6/30

7/30

5/30

3/30

Первая и третья строчка таблицы образует ИСР относительных частот.

Замечание. При решении учебных задач на построение ИСР можно пользоваться следующими правилами.

  1. Назначаются нижняя граница а и верхняя граница b для вариант так, чтобы отрезок [a; b] вместил всю выборку; часто полагают , , но иногда a и b назначают из соображений удобства, но не слишком далеко от и .

  2. Находится число k равных по длине частичных интервалов варьирования, которое зависит от объема выборки и обычно 6  k 20; рассчитывается длина интервалов группирования .

Интервальный статистический ряд распределения, представленный графически, называется гистограммой.

Гистограмма относительных частот строится следующим образом: по оси абсцисс откладываются интервалы (хi; хi+1) и на каждом из них строится прямоугольник высотой



где ; .

Площадь i-го прямоугольника .

Площадь всей гистограммы .

Замечание: гистограмма на рисунке 4 – гистограмма относительных частот.

x3


Рис. 4

Можно построить гистограмму частот, высоты прямоугольников которых равны .

Пример 6. Построить гистограмму частот по данному ИСР частот:

[xi; xi+1)

[100; 120)

[120; 140)

[140; 160)

[160; 180)

[180; 200]

ni

20

50

80

40

10

Решение. По ИСР частот находим длину частичных интервалов
= 20 и высоты прямоугольников hi = . Результаты занесем в таблицу:

[xi; xi+1)

[100; 120)

[120; 140)

[140; 160)

[160; 180)

[180; 200]

ni

20

50

80

40

10

hi

1

2,5

4

2

0,5


Искомая гистограмма частот изображена на рис. 5.


hi

xi

xi


Рис. 5

В теории вероятностей гистограмме относительных частот соответствует график плотности распределения вероятностей. Распределение выборки, задаваемое интервальным статистическим рядом (табл. 3) или таблицей относительных частот (табл. 2), называется эмпирическим распределением случайной величины.

По теореме Бернулли относительная частота wi, появление события в п независимых испытаниях сходится по вероятности к вероятности рi этого события . Значит во второй строке таблицы 3 и таблицы 2 стоят приближённые значения вероятностей рi следующих событий и , поэтому распределение выборки называют эмпирическим распределением случайной величины X.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

Математическая статистика теория и практика iconКонтрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей
Математическая статистика теория и практика iconТеория вероятностей и математическая статистика
М математика: часть II. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс / Сост. Кит Ю. В. – Казань:...
Математическая статистика теория и практика iconТеория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-метод пособ по спец главам высш матем./ Самар гос техн ун-т. Сост. В. Н....
Математическая статистика теория и практика iconРабочая программа дисциплины (модуля) "Теория вероятностей и математическая статистика"
Цель освоения учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» – фундаментальная подготовка в области теории...
Математическая статистика теория и практика iconКурса теория вероятностей и математическая статистика Дискретная теория вероятностей
Подсчет числа элементарных исходов. Структура пространства элементарных исходов в задаче размещения n шаров по n ячейкам (статистика...
Математическая статистика теория и практика iconРабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая статистика Направление подготовки 080100 Экономика
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла подготовки...
Математическая статистика теория и практика iconИ. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике краткий курс лекций для инженеров
Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
Математическая статистика теория и практика iconПримерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
По дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
Математическая статистика теория и практика iconКнига позволит быстро получить основные знания по предмету, повторить пройденный материал, а также качественно подготовиться и успешно сдать зачет и экзамен. Рекомендуется всем изучающим и сдающим дисциплину «Теория вероятностей и математическая
Теория вероятностей и математическая статистика: Шпаргалка. — М.: Риор, 2008. — 40 с
Математическая статистика теория и практика iconЛекция «Теория вероятностей и математическая статистика в строительной акустике»
Мастер-класс профессора И. И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org