Математическая статистика теория и практика



страница4/14
Дата10.01.2013
Размер1.72 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Эмпирическая функция распределения
Определение. Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(х), определяющую для каждого значения х относительную частоту события Х < х.

где nxчисло вариантов (число хi) меньших х; n – объем выборки.
Свойства:

  1. Значение F*(х) принадлежит отрезку [0, 1]: ;

  2. F*(х) – неубывающая функция;

  3. Если xi – наименьшее наблюдаемое значение, хk – наибольшее наблюдаемое значение, то F*(х) = 0 при ;

F*(х) = 1 при .

Пример 7. Пусть результаты наблюдений представлены в виде следующего ДСР (данные примера 3):

xi

1

2

3

4

5

6

7

wi

1/20

2/20

3/20

4/20

5/20

3/20

2/20

Объём выборки по условию примера n = 20. Наименьшая варианта равна 1, значит, mx = 0 при x ≤ 1. Тогда при x ≤ 20. Следующая варианта в ранжированном ряду равна 2. Рассмотрим 1 < x ≤ 2. В этом случае неравенство X < x выполняется для варианты x1 = 1. Эта варианта встречается один раз в выборке, поэтому mx = 1 и .

Далее, если 2 < x ≤ 3, то неравенство X < x выполняется для вариант x1 = 1 и x2 = 2.
Варианта x1 встречается один раз, а варианта x2 встречается два раза, поэтому mx = 1 + 2 = 3 и и т.д. Следовательно, аналитически функция определяется следующим образом:





Замечание. Вообще, если известен ДСР, то


Здесь xk совпадает с xmax.

Суммы обычно называются накопленными относительными частотами.

Построим график по данным примера 7 (рис. 6).



Рис. 6

Если результаты наблюдений представлены в виде ИСР, то выборочную функцию строят иначе.

Пример 8. Рассмотрим для этого следующий вариационный ряд:

[xi; xi+1)

[0; 10)

[10; 20)

[20; 30)

[30; 40)

[40; 50)

wi

1/30

2/30

3/30

4/30

5/30

[xi; xi+1)

[50; 60)

[60; 70)

[70; 80)

[80; 90)

[90; 100]

wi

5/30

4/30

3/30

2/30

1/30

Очевидно, что для функция , т.к. mx = 0. Пусть теперь . В этом случае число не определено, т.к. неизвестно, сколько выборочных значений случайной величины, принадлежащих этому интервалу, меньше x. Если x = 10, то mx = 1. Следовательно, в этом случае . Рассуждая аналогично, убеждаемся, что точками, в которых значение функции можно определить, являются правые концы интервалов и все точки интервала . Значение функции в указанных точках можно записать в виде таблицы:

x



10

20

30

40

50

60

70

80

90





0



















1

Так как эта таблица определяет функцию не полностью (не для всех x известны ее значения), то при графическом изображении данной функции ее доопределяют, соединив точки графика, соответствующие концам интервалов, отрезками прямой. В результате график функции будет представлять собой непрерывную линию. Подобный график выборочной функции часто называют кумулятивной кривой (от англ. accumulationнакопление).

Построим график по данным примера 8 (рис. 7).



Рис. 7
Задачи _______________________________________________________ 

  1. Для проведения демографических исследований выбрали 50 семей и получили следующие данные о количестве членов семьи:

2

5

3

4

1

3

6

2

4

3

4

1

3

5

2

3

4

4

3

3

2

5

3

4

4

3

3

4

4

3

2

5

3

1

4

3

4

2

6

3

2

3

1

6

4

3

3

2

1

7

Составить ДСР.

  1. В ходе проведения эксперимента получен следующий набор данных:

32

26

16

44

28

40

30

31

17

30

37

32

42

31

36

49

35

21

25

40

27

25

33

34

27

43

19

23

36

48

31

35

43

32

26

35

33

45

19

22

28

49

23

32

33

27

43

35

23

44

Составить ИСР, выбрав число интервалов группирования, равное 7.

  1. На телефонной станции проводились наблюдения над числом X неправильных соединений в минуту. Наблюдения в течение часа дали следующие результаты:

3

1

3

1

4

2

2

4

0

3

0

2

2

0

2

1

4

3

3

1

4

2

2

1

1

2

1

0

3

4

1

3

2

7

2

0

0

1

3

3

1

2

4

2

0

2

3

1

2

5

1

1

0

1

1

2

2

1

1

5

Составить ДСР.

  1. Управление сельского хозяйства Костромского района представило сводку по пятидесяти хозяйствам. Согласно этой сводке урожайность ржи в них составила (в центнерах с гектара):

17,5

17,8

18,6

18,3

19,1

19,9

20,6

20,1

22,0

21,4

17,5

18,5

19,0

20,0

22,0

20,6

19,1

18,6

17,9

19,1

22,0

19,0

17,5

22,0

22,0

21,0

21,4

19,0

17,8

18,3

19,9

20,1

21,4

18,5

20,0

20,6

18,6

21,4

21,0

20,0

20,0

18,0

18,0

18,0

17,5

18,6

19,1

20,6

17,5

18,6

Составить ИСР.

  1. Наблюдается число выигрышей в мгновенной лотерее. В результате наблюдения получены следующие значения выигрышей (тыс. руб.):

0

1

0

0

5

0

10

0

1

0

0

1

5

1

0

0

1

0

1

0

0

0

0

5

0

5

0

0

1

1

1

5

1

10

0

1

1

0

5

0

0

0

0

1

0

1

0

5

0

0

0

0

1

0



















Составить ДСР.

  1. В таблице приведена выборка результатов измерения роста 105 студентов (юношей). Измерения проводились с точностью до 1 см:

155

170

185

180

188

152

173

178

178

168

185

173

170

183

175

173

170

183

175

180

175

193

178

183

180

197

178

181

187

168

174

179

184

183

178

180

178

163

166

178

175

182

190

167

170

178

183

170

178

181

173

168

185

175

170

155

169

186

179

189

155

174

179

179

169

186

174

171

184

175

193

178

184

180

196

175

181

188

168

179

178

183

184

178

181

177

163

166

178

175

183

190

167

170

178

183

170

178

182

173

168

186

176

171

188
















Составить ИСР.

  1. В супермаркете проводились наблюдения над числом X покупателей, обратившихся в кассу за один час. Наблюдения в течение 30 часов (15 дней в период с 9 до 10 и с 10 до 11 часов) дали следующие результаты:

70

75

100

120

75

60

100

120

70

60

65

100

65

100

70

75

60

100

100

120

70

75

70

120

65

70

75

70

100

100

Число X является дискретной случайной величиной, а полученные данные представляют собой выборку из n = 30 наблюдений. Составить ИСР.

  1. В городе A для определения сроков гарантийного обслуживания проведено исследование величины среднего пробега автомобилей, находящихся в эксплуатации в течение двух лет с момента продажи автомобиля магазином. Получен следующий результат (тыс. км):

3,0

25,0

18,6

12,1

10,6

18,0

17,3

29,1

20,0

18,3

21,5

26,7

12,2

14,4

7,3

9,1

2,9

5,4

40,1

16,8

11,2

9,9

25,3

4,2

29,6
















Составить ИСР.

  1. Средняя месячная зарплата за год каждого из пятидесяти случайно отобранных работников хозяйства такова (тыс. руб.):

317

304

230

285

290

320

262

274

205

180

234

221

241

270

257

290

258

296

301

150

160

210

235

308

240

370

180

244

365

130

170

250

370

267

288

231

253

315

201

256

279

285

226

367

247

252

320

160

215

350

Здесь случайной величиной X является средняя месячная зарплата. Составить ИСР.

  1. На фирме работает 39 человек. Проведено исследование числа рабочих дней, пропущенных каждым работником фирмы в течение месяца. Результаты этого исследования таковы:

0

1

3

0

2

3

5

7

3

5

2

10

7

5

0

2

5

10

5

3

1

9

15

10

1

0

2

3

5

7

7

6

5

3

0

7

10

13

0




Составить ИСР. Найти функцию распределения случайной величины числа пропущенных дней и построить ее график.

  1. Найти эмпирическую функцию распределения по данному ДСР и построить ее график:

а)

xi

1

3

7

9

12

ni

2

10

4

24

10

б)

xi

-2

0

5

8

14

ni

3

17

28

22

10

  1. Найти эмпирическую функцию распределения по данному ИСР и построить ее график:

[xi; xi+1)

[0; 2)

[2; 4)

[4; 6)

[6; 8)

[8; 10)

ni

6

4

2

18

29

[xi; xi+1)

[10; 12)

[12; 14)

[14; 16)

[16; 18]




ni

11

10

17

3




а)
б)

[xi; xi+1)

[11; 14)

[14; 17)

[17; 20)

[20; 23)

ni

16

24

30

7

[xi; xi+1)

[23; 26)

[26; 29)

[29; 32)

[32; 35]

ni

8

6

5

4

  1. Построить полигоны частот и относительных частот распределения по данному ДСР:

    xi

    1

    3

    5

    7

    9

    ni

    10

    15

    30

    33

    12

  2. Построить полигон частот по данному ДСР:

    xi

    1

    4

    5

    7

    ni

    20

    10

    14

    6

  3. Построить полигоны относительных частот по данному ДСР:

    xi

    1

    2

    3

    5

    wi

    0,4

    0,2

    0,3

    0,1

  4. Построить гистограмму частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)

    [5; 10)

    [10; 15)

    [15; 20)

    [20; 25)

    ni

    4

    6

    16

    36

    [xi; xi+1)

    [25; 30)

    [30; 35)

    [35; 40]




    ni

    24

    10

    4




  5. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)

    [2; 5)

    [5; 8)

    [8; 11)

    [11; 14]

    wi

    0,18

    0,2

    0,5

    0,12

  6. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)

    [3,2; 3,4)

    [3,4; 3,6)

    [3,6; 3,8)

    [3,8; 4,0)

    [4,0; 5,0]

    wi

    0,1

    0,2

    0,5

    0,2

    0,2

  7. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)

    [6,67; 6,69)

    [6,69; 6,71)

    [6,71; 6,73)

    [6,73; 6,75)

    [6,75; 6,77)

    ni

    2

    15

    17

    44

    52

    [xi; xi+1)

    [6,77; 6,79)

    [6,79; 6,81)

    [6,81; 6,83)

    (6,83; 6,85]




    ni

    44

    14

    11

    1




  8. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

    [xi; xi+1)

    [3; 5)

    [5; 7)

    [7; 9)

    [9; 11)

    ni

    20

    25

    15

    13

    [xi; xi+1)

    [11; 13)

    [13; 15)

    [15; 17]




    ni

    12

    8

    7




  9. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)

[-2; 2)

[2; 6)

[6; 10)

[10; 14)

[14; 16)

ni

5

25

40

12

18




  1. Построить гистограмму относительных частот по данному ИСР:

[xi; xi+1)

[60; 65)

[65; 70)

[70; 75)

[75; 80]

ni

30

20

25

25
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

Математическая статистика теория и практика iconКонтрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей
Математическая статистика теория и практика iconТеория вероятностей и математическая статистика
М математика: часть II. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс / Сост. Кит Ю. В. – Казань:...
Математическая статистика теория и практика iconТеория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-метод пособ по спец главам высш матем./ Самар гос техн ун-т. Сост. В. Н....
Математическая статистика теория и практика iconРабочая программа дисциплины (модуля) "Теория вероятностей и математическая статистика"
Цель освоения учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» – фундаментальная подготовка в области теории...
Математическая статистика теория и практика iconКурса теория вероятностей и математическая статистика Дискретная теория вероятностей
Подсчет числа элементарных исходов. Структура пространства элементарных исходов в задаче размещения n шаров по n ячейкам (статистика...
Математическая статистика теория и практика iconРабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая статистика Направление подготовки 080100 Экономика
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла подготовки...
Математическая статистика теория и практика iconИ. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике краткий курс лекций для инженеров
Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
Математическая статистика теория и практика iconПримерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
По дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
Математическая статистика теория и практика iconКнига позволит быстро получить основные знания по предмету, повторить пройденный материал, а также качественно подготовиться и успешно сдать зачет и экзамен. Рекомендуется всем изучающим и сдающим дисциплину «Теория вероятностей и математическая
Теория вероятностей и математическая статистика: Шпаргалка. — М.: Риор, 2008. — 40 с
Математическая статистика теория и практика iconЛекция «Теория вероятностей и математическая статистика в строительной акустике»
Мастер-класс профессора И. И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org