Математическая статистика теория и практика



страница6/14
Дата10.01.2013
Размер1.72 Mb.
ТипУчебное пособие
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

§5. ГЕНЕРАЛЬНАЯ СРЕДНЯЯ. ВЫБОРОЧНАЯ СРЕДНЯЯ.

ОЦЕНКА ГЕНЕРАЛЬНОЙ СРЕДНЕЙ ПО ВЫБОРОЧНОЙ СРЕДНЕЙ


Пусть требуется изучить генеральную совокупность относительно количественного признака X.

[Распределение признака и в генеральной, и в выборочной совокупности будем считать дискретными, т.к. от непрерывных распределений всегда можно перейти к дискретным.]
Определение. Генеральной средней называют среднее арифметическое значений признака X генеральной совокупности.
Если значения  различны, то

.

Поскольку исследуемый признак X можно рассматривать как случайную величину, возможные значения которой имеют одинаковую вероятность  (вероятность извлечь объект со значением равна ), то

Итак, . (1)

Если значения имеют соответственно частоты , причем , то



Формула (1) остается справедливой и в этом случае.

Замечание. Все рассуждения были приведены, когда X  дискретная случайная величина.

При непрерывном распределении признака X по определению полагают .

Для изучения генеральной совокупности относительно признака X извлекается выборка объёма n.
Определение. Выборочной средней называют среднее арифметическое значений признака выборочной совокупности.
Если различны, то



Если имеют соответственно частоты gif" name="object104" align=absmiddle width=88 height=21>, причём , то

(2)

Выборочная средняя, найденная по данным одной выборки, есть число. Если извлекать из этой генеральной совокупности другие выборки того же объекта, то выборочная средняя будет изменяться от выборки к выборке.

Задача. Пусть из генеральной совокупности извлечена повторная выборка объема n со значениями признака (будем считать их различными). Генеральная средняя неизвестна. Требуется оценить  по данным выборки. Выборочную среднюю принимают в качестве оценки генеральной средней.

– оценка .

Будем рассматривать  как случайную величину ; как независимая одинаково распределенные величины , имеющие то же распределение, что и X.

Докажем, что средняя выборочная – несмещённая оценка генеральной средней, т.е. . 

имеют то же распределение, что и X. Обозначим , следовательно, , . Тогда

, следовательно, , что и требовалось доказать.

Докажем, что выборочная средняя  состоятельная оценка генеральной средней.

Предположим, что Х1, Х2, …, Хn имеют ограниченные дисперсии. Тогда согласно частному случаю теореме Чебышёва

или ,что и требовалось доказать.

Итак, – несмещённая состоятельная оценка .

Замечания.

  1. Выборочные средние, найденные по нескольким выборкам достаточно большого объёма из некоторой генеральной совокупности, приближенно равны между собой.

  2. Предполагали, что выборка повторная. Однако полученные выводы применимы и для бесповторной выборки, если её объём значительно меньше объема генеральной совокупности.

  3. Эффективность или неэффективность зависит от вида закона распределения признака X. Если X распределена по нормальному закону, то  будет минимально возможной, т.е. средняя выборочная является эффективной оценкой.


1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   14

Похожие:

Математическая статистика теория и практика iconКонтрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей
Математическая статистика теория и практика iconТеория вероятностей и математическая статистика
М математика: часть II. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс / Сост. Кит Ю. В. – Казань:...
Математическая статистика теория и практика iconТеория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-метод пособ по спец главам высш матем./ Самар гос техн ун-т. Сост. В. Н....
Математическая статистика теория и практика iconРабочая программа дисциплины (модуля) "Теория вероятностей и математическая статистика"
Цель освоения учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» – фундаментальная подготовка в области теории...
Математическая статистика теория и практика iconКурса теория вероятностей и математическая статистика Дискретная теория вероятностей
Подсчет числа элементарных исходов. Структура пространства элементарных исходов в задаче размещения n шаров по n ячейкам (статистика...
Математическая статистика теория и практика iconРабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая статистика Направление подготовки 080100 Экономика
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла подготовки...
Математическая статистика теория и практика iconИ. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике краткий курс лекций для инженеров
Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
Математическая статистика теория и практика iconПримерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
По дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
Математическая статистика теория и практика iconКнига позволит быстро получить основные знания по предмету, повторить пройденный материал, а также качественно подготовиться и успешно сдать зачет и экзамен. Рекомендуется всем изучающим и сдающим дисциплину «Теория вероятностей и математическая
Теория вероятностей и математическая статистика: Шпаргалка. — М.: Риор, 2008. — 40 с
Математическая статистика теория и практика iconЛекция «Теория вероятностей и математическая статистика в строительной акустике»
Мастер-класс профессора И. И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org