Математическая статистика теория и практика



страница9/14
Дата10.01.2013
Размер1.72 Mb.
ТипУчебное пособие
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14

§8. ДОВЕРИТЕЛЬНАЯ ВЕРОЯТНОСТЬ. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ


Определение. Интервальной называют оценку, которая определяется двумя числами – концами интервала.
При выборе малого объема точечная оценка значительно отличается от оцениваемого параметра, что приводит к грубым ошибкам. В этом случае применяют интервальную оценку.

Пусть оценка неизвестного параметра θ (θ – постоянное число).

Оценка тем точнее, чем меньше число δ в неравенстве . 

Число δ характеризует точность оценки.

Статистические методы не позволяют категорически подтверждать, что удовлетворяет неравенству , можно лишь говорить о вероятности, с которой осуществимо это неравенство.
Определение. Доверительной вероятностью (надёжностью) оценки по называют вероятность γ, с которой осуществляется неравенство .

Р() = γ. (8)

Обычно в качестве доверительной вероятности γ выбирают γ = 0,9; 0,95; 0,99.

Преобразуем (8):

Р() = γ. (9)

Равенство (9) означает, что с вероятностью γ неизвестное значение параметра попадет в интервал

 (10)

Ранее рассматривали вероятность попадания случайных величин в заданный интервал.

В данном случае величина не случайна (  число, хотя и неизвестное), зато случаен интервал (10), случайно его положение на оси абсцисс, определяемое центром , случайна длина.

Поэтому γ – не вероятность попадания точки в интервале (10), а вероятность того, что случайный интервал (10) накроет точку .




gif" name="object184" align=absmiddle width=44 height=18> 
Определение. Доверительным называют интервал , который накрывает параметр с заданной доверительной вероятностью γ.
Доверительный интервал для оценки математического ожидания

нормального распределения при известном σ

(σ – среднее квадратное отклонение)
Дано: Количественный параметр Х генеральной совокупности распределен нормально.

 плотность.

Математическое ожидание a – неизвестно.

Среднее квадратическое отклонение – известно.

Требуется: оценить а по средней выборочной .

Данные выборки и среднее выборочное будем рассматривать как случайные величины и , одинаково распределённые с математическим ожиданием a и средним квадратическим отклонением .

,

; .

Пусть выполняется Р()= γ, где γ – заданная вероятность.

Из курса теории вероятностей известна формула: Р() = . Заменим X на , на . 

Р() = = , где .

Тогда . Следовательно, Р()=.

Вернемся к обозначению  как . Получим

Р(.

Итак, с достоверной вероятностью γ можно утверждать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр a. Точность оценки . Число t определяется из равенства , или .

При заданной доверительной вероятности по таблице функции Лапласа (табл. 2) находят значение t.

Пример 10. Количественный параметр X распределен нормально, . Найти доверительный интервал для оценки неизвестного математического ожидания a по выборочной средней , если объем выборки n = 36 и доверительная вероятность = 0,95.

Решение.

; . 

– доверительный интервал.

Если, например, , то (3,12; 5,08).

Смысл результата: если произведено достаточно большое число выборок, то 95% из них определяют такие доверительные интервалы, в которых неизвестное математическое ожидание а действительно заключено. Лишь в 5% случаев а может выйти за границы доверительного интервала.
Вычисление объема выборки при заданных  и
Пусть требуется оценить математическое ожидание, если заданы доверительная вероятность и точность оценки .

Точность оценки . Тогда .

Значит, – минимальный объем выборки, который обеспечит заданную точность .

Замечание. Доверительный интервал для оценки математического ожидания нормального распределения при неизвестном .

X – количественный признак, распределён нормально. a, – неизвестны.

Требуется оценить a .

Можно доказать, что  доверительный интервал, покрывающий неизвестное математическое ожидание a с доверительной вероятностью , где – выборочная средняя; – исправленное среднее квадратическое отклонение; – квантиль распределения, который находят по таблице 3 по заданным и .
Задачи _______________________________________________________ 

  1. Найти доверительный интервал для оценки с надежностью 0,99 неизвестного математического ожидания a нормально распределённого признака Х генеральной совокупности, если известны генеральное среднее квадратичное отклонение σ = 4, выборочная средняя и объём выборки n = 16.

  2. На овцеводческой ферме из стада произведена выборка для взвешивания 36 овец. Их средний вес оказался равным 50 кг. Предположив распределение веса нормальным и определив несмещённую оценку выборочной дисперсии S2 = 16, найти доверительный интервал для оценки математического ожидания с надёжностью 0,95.

  3. Выборка из большой партии электроламп содержит 100 ламп. Средняя продолжительность горения лампы выборки оказалась равной 1000 ч. Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для средней продолжительности a горения лампы всей партии, если известно, что продолжительность горения лампы распределена нормально.

  4. Найти минимальный объём выборки, при котором с надежностью 0,975 точность оценки математического ожидания a генеральной совокупности по выборочной средней равна δ = 0,3, если известно среднее квадратичное отклонение σ = 1,2 нормально распределённой генеральной совокупности.

  5. Найти минимальный объем выборки, при котором с надежностью 0,925 точность оценки математического ожидания нормально распределённой генеральной совокупности по выборочной средней равна 0,2, если известно среднее квадратичное отклонение генеральной совокупности σ = 1,5.

  6. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

xi

-2

1

2

3

4

5

ni

2

1

2

2

2

1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределённого признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

  1. Из генеральной совокупности извлечена выборка:

xi

-0,5

-0,4

-0,2

0

0,2

0,6

0,8

1

1,2

1,5

ni

1

2

1

1

1

1

1

1

2

1

Оценить с надежностью 0,95 математическое ожидание a нормально распределённого признака генеральной совокупности по выборочной средней при помощи доверительного интервала.

  1. По данным выборки объёма n = 50 из генеральной совокупности нормально распределённого количественного признака найдено исправленное среднее квадратичное отклонение s = 14. Найти доверительный интервал, покрывающий генеральное среднее квадратичное отклонение σ с надежностью 0,999.

  2. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:

xi

3

5

7

8

10

12

14

ni

3

7

4

6

7

5

8

Найти с надежностью 0,97 доверительный интервал для оценки математического ожидания и с надежностью 0,95 – для оценки среднего квадратичного отклонения.

  1. Случайная величина Х распределена по нормальному закону. Статистическое распределение выборки представлено в таблице:

xi

1

3

5

7

9

ni

2

5

4

6

3

Найти с надежностью 0,95 доверительный интервал для оценки математического ожидания и с надежностью 0,99 – для оценки среднего квадратичного отклонения.
1   ...   6   7   8   9   10   11   12   13   14

Похожие:

Математическая статистика теория и практика iconКонтрольная работа по дисциплине «Теория вероятностей и математическая статистика»
«Теория вероятностей и математическая статистика» для студентов пиэф всех форм обучения экономических специальностей
Математическая статистика теория и практика iconТеория вероятностей и математическая статистика
М математика: часть II. Теория вероятностей и математическая статистика: Учебно-методический комплекс / Сост. Кит Ю. В. – Казань:...
Математическая статистика теория и практика iconТеория вероятностей и математическая статистика
Теория вероятностей и математическая статистика. Учебно-метод пособ по спец главам высш матем./ Самар гос техн ун-т. Сост. В. Н....
Математическая статистика теория и практика iconРабочая программа дисциплины (модуля) "Теория вероятностей и математическая статистика"
Цель освоения учебной дисциплины «Теория вероятностей и математическая статистика» – фундаментальная подготовка в области теории...
Математическая статистика теория и практика iconКурса теория вероятностей и математическая статистика Дискретная теория вероятностей
Подсчет числа элементарных исходов. Структура пространства элементарных исходов в задаче размещения n шаров по n ячейкам (статистика...
Математическая статистика теория и практика iconРабочая учебная программа дисциплины (модуля) Теория вероятностей и математическая статистика Направление подготовки 080100 Экономика
Дисциплина «Теория вероятностей и математическая статистика» входит в базовую часть математического и естественнонаучного цикла подготовки...
Математическая статистика теория и практика iconИ. И. Боголепов теория вероятностей и математическая статистика в технике краткий курс лекций для инженеров
Анонс книги: И. И. Боголепов. Теория вероятностей и математическая статистика к технике
Математическая статистика теория и практика iconПримерная рабочая программа по дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
По дисциплине: «теория вероятностей, математическая статистика и случайные процессы»
Математическая статистика теория и практика iconКнига позволит быстро получить основные знания по предмету, повторить пройденный материал, а также качественно подготовиться и успешно сдать зачет и экзамен. Рекомендуется всем изучающим и сдающим дисциплину «Теория вероятностей и математическая
Теория вероятностей и математическая статистика: Шпаргалка. — М.: Риор, 2008. — 40 с
Математическая статистика теория и практика iconЛекция «Теория вероятностей и математическая статистика в строительной акустике»
Мастер-класс профессора И. И. Боголепова: «Теория вероятностей и математичеая статистика в строительной акустике»
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org