Системы линейных ду с постоянными коэффициентами



Скачать 51.99 Kb.
Дата12.01.2013
Размер51.99 Kb.
ТипДокументы
Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Рассмотрим еще один метод интегрирования нормальной системы уравнений (6.1) в случае, когда она представляет собой систему линейных однородных ДУ с постоянными коэффициентами, т.е. систему вида



Для простоты ограничимся рассмотрением системы трех уравнений с тремя неизвестными функциями


(6.6)


где коэффициенты - постоянные.

Б
(6.7)
удем искать частное решение системы (6.6) в виде



где – постоянные, которые надо подобрать (найти) так, чтобы функции (6.7) удовлетворяли системе (6.6).

Подставив эти функции в систему (6.6) и сократив на множитель получим:



или


(6.8)


Систему (6.8) можно рассматривать как однородную систему трех алгебраических уравнений с тремя неизвестными . Чтобы эта система имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определители системы был равнее нулю:


(6.9)




Уравнение (6.9) называется характеристическим уравнением системы (6.6). Раскрыв определитель, получаем уравнение третье степени относительно k. Рассмотрим возможные случаи.

Случай 1. Корни характеристического уравнения действительны и различны: Для каждого корня напишем систему (6.8) и определим коэффициенты (один из коэффициентов можно считать равным единице). Таким, образом получаем:

для корня частное решение системы (6.
6): , ,

для корня , ,

для корня , ,

Можно опказать, что эти функции образуют фундаментальную ситсему, общее решение системы (6.6) записывается в виде


(6.10)


П

ример 6.3.
Решить систему уравнений:



Решение: Характеристическое уравнение (6.9) данной системы имеет вид

,

или Частные решения данной системы ищем в виде , и , . Найдем и (i = 1, 2).

При система (6.8) имеет вид



т.е.



Эта система имеет бесчисленное множество решений. Положим тогда . Получаем частные решения

и .

При система имеет вид



Положим тогда . Значит, корню соответствуют частные решения:

и

Общее решение исходной системы, согласно формуле (6.10), запишется в виде:
Случай 2. Корни характеристического уравнения различные, но среди них есть комплексные: . Вид частных решений этой ситуации определяют так же, как и в случае 1.
Замечание. Вместо полученных частных решений можно взять их линейные комбинации (п. 4.1, случай 3), применяя формулы Эйлера; в результате получим два действительных решения, содержащих функции вида . Или, выделяя действительные и мнимые части в найденных комплексных частных решениях, получим два действительных частных решения (можно показать, что они тоже являются решениями уравнения). При этом понятно, что комплексно-сопряженный корень не даст новых линейно независимых действительных решений.
Пример 6.4. Найти частное решение системы



удовлетворяющее начальным условиям:

 Решение: Составляем характеристическое уравнение:









Для получаем:



(см. (6.8)). Отсюда находим: (положили), Частное решение системы:

Для получаем (см. (6.8)):



Отсюда находим: (положили), . Частное комплексное решение системы: , , .

В найденных решениях выделим действительную () и мнимую () части:













Как уже отмечено, корень приведет к этим же самым решениям.

Таким образом, общее решение системы имеет вид







Выделим частное решение системы. При заданных начальных условиях получаем систему уравнений для определения постоянных



Следовательно, искомое частное решение имеет вид







Случай 3. Характеристическое уравнение имеет корень k кратности m (т=2,3). Решение системы, соответствующее кратному корню, следует искать в виде:

А) если то ,

Б) если то ,

Э

то решение зависит от произвольных постоянных. Постоянные определяются методом неопределенных коэффициентов. Выразив все коэффициенты через из них, полагаем поочередно один из них равным единице, а остальные равным нулю. Получим m линейно независимых частных решений системы (6.6).

Пример 6.5. Решить систему уравнений:



 Решение: Составляем и решаем характеристическое уравнение



, Корню соответствует система (см. (6.8)):



Полагая , находим Получаем одно частное решение исходной системы: .

Двукратному корню соответствует решение вида

Подставляем эти выражения (решения) в уравнения исходной системы:



или, после сокращения на и группировки,



Эти равенства тождественно выполняются лишь в случае, когда



Выразим все коэффициенты через два из них (m=2), например через А и В. Из второго уравнения имеем . Из четвертого уравнения находим т.е. Из третьего уравнения: т.е. , или . Коэффициенты и ­– произвольные.

Полагая , находим:

Полагая , находим:

Получаем два линейно независимых частных решения, соответствующих двукратному корню

, , и

, ,

Записываем общее решение исходной системы:

,

,

.

Похожие:

Системы линейных ду с постоянными коэффициентами iconПрограмма составлена кандидатом физ мат наук Зайцевым В. А
Общие теоремы о системах линейных дифференциальных уравнений. Приводимые системы. Теория характеристических показателей А. М. Ляпунова....
Системы линейных ду с постоянными коэффициентами iconСпектральный синтез для бесконечного дифференциального оператора с постоянными коэффициентами. Теорема двойственности
В настоящей работе осуществлен двойственный переход от задачи спектрального синтеза для бесконечного дифференциального оператора...
Системы линейных ду с постоянными коэффициентами iconВопросы к тесту по курсу "Методы оптимизации и классическое вариационное исчисление"
Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений высших порядков с постоянными коэффициентами (правая часть специального...
Системы линейных ду с постоянными коэффициентами iconЛекция 6 Непрерывные стационарные системы
Рассмотрим сначала простейшее дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными коэффициентами
Системы линейных ду с постоянными коэффициентами iconДисциплина «Дифференциальные уравнения» относится к дисциплинам базовой части математического и естественнонаучного цикла основной образовательной программы по направлению 011800 «Радиофизика», преподается во 2 семестре
Содержание дисциплины «Дифференциальные уравнения» направлено на ознакомление студентов с методами решения простейших дифференциальных...
Системы линейных ду с постоянными коэффициентами icon§ Системы линейных уравнений
Здесь x1, x2, , xn – неизвестные величины, aij (i = 1,2, , m; j =1, 2, , n) – числа, называемые коэффициентами системы (первый...
Системы линейных ду с постоянными коэффициентами icon23) (!)(з1) Однородные системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными
Первая (быстрая) часть: три простые задачи 1) размерность линейного пространства
Системы линейных ду с постоянными коэффициентами iconОсновы теории чисел
Разностные уравнения с постоянными коэффициентами. Числа Фибоначчи. Оценка сложности алгоритма Евклида
Системы линейных ду с постоянными коэффициентами iconУравнения с разделяющимися переменными и приводящиеся к ним
Общее решение линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами (случай кратных корней...
Системы линейных ду с постоянными коэффициентами iconСистемы линейных уравнений
Решить систему линейных уравнений – значит указать все решения системы, то есть такие наборы значений переменных, которые обращают...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org