Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла



Скачать 54.75 Kb.
Дата13.01.2013
Размер54.75 Kb.
ТипДокументы
УДК 517.946

О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла

Сатторов Э.Н., Махмудов К.О.

Самаркандский государственный университет

Sattorov-e@rambler.ru

Ключевые слова: уравнений Максвелла, некорректные задачи, регулярное решение, матрицы Карлемана.

Key words: Maxwell equations, ill-posed problem, regular solution, Carleman matrix.

Аннотация: Рассматривается задача продолжения решения системы уравнений Максвелла по ее значениям на части границы этой области.

Abstract: We consider the problem of continuation of a solution to the system of Maxwell equations from data on part of the boundary of the domaın.

В теории электромагнитных методов, применяемых различных геофизических исследованиях классическая формула Стрэттона-Чу играет важный роль. Эти представления позволяет решить различные краевые задачи. В данной работе рассматриваются вопросы регуляризации задачи Коши для уравнений Максвелла.

Рассмотрим однородную систему уравнений Максвелла

;

,

где , и - электромагнитные постоянные (диэлектрическая постоянная и проницаемость); и - напряженностью электрического и магнитного поля, - частота электромагнитного колебания.

Пусть -трехмерное вещественное евклидово пространство: , , , , gif" name="object18" align=absmiddle width=182 height=26>, .

- односвязная ограниченная область в с границей , состоящей из части поверхности конуса и гладкого куска поверхности , лежащего в конусе . Случай предельный. В этом случае - плоскость и - полупространство , -односвязная ограниченная область в с границей, состоящей из части плоскости и гладкого куска поверхности , лежащей в полупространстве ; - внутренние точки поверхности (- поверхность , из которой удален край).

Через обозначим пространство вектор функций класса удовлетворяющих системы уравнений Максвелла в

Задача 1.

;

(1)

, ,

(2)

По заданным и на вычислить .

Задача 2. Пусть на заданы функции и . Указать условия на и , необходимые и достаточные для того, чтобы существовало решение системы (1) класса , удовлетворяющее условию (2).

Задача (1), (2) относится числу некорректно поставленных задач. В настоящее время теория некорректных задач разработана достаточно хорошо. Различные методы решения изложены в [1-4].

Ж.Адамар [5] заметил, что решение задачи 1 неустойчиво. Чаще всего в приложениях вместо вектор-функций и задаются на их приближения и соответственно с заданным уклонением и требуется по и построить решение в точках области с заранее заданной точностью. Поскольку решение задачи неустойчиво, то построение приближенного решения невозможно.

Для того чтобы построить устойчивое решение, необходимо сузить класс рассматриваемых решений [1,2-3,6]. Чаще всего это компакт в известных функциональных пространствах. Если известно число характеризующее компакт (размеры компакта которому принадлежат решения, то речь идёт о построении семейства вектор-функции , (регуляризация), зависящих от положительного параметра (параметр регуляризации). При подходящем выборе параметра в зависимости от и размера компакта сходится к решению задачи, когда . Введение положительного параметра в зависимости от погрешности исходных данных здесь обусловлено свойством задачи. Это обстоятельство впервые было замечено М.М.Лаврентьевым [13]. Явная формула для регуляризации задачи (1), (2) дана в [7]. Мы приводим решение задачи 1 и 2, когда и задаются на заданы точной формулой.

Доказываемые ниже формулы продолжения, представляющие решения задачи 1 и 2, основаны на построении матрицы фундаментальных решений системы (1), зависящей от положительного параметра и исчезающей при вместе со своими производными на конусе , когда полюс фундаментальной матрицы лежит внутри конуса. Фундаментальная матрица решений системы (1) с указанными свойствами называется матрицей Карлемана [1].

Функцию при , определим

(3)

где .

Здесь - целая функция Миттаг-Леффлера, который определяется интегральной формулой ([8], § 3, гл.3). Обозначим , , контур в комплексной плоскости пробегаемый в направлении неубывания и состоящий из следующих частей:

1) луч , ; 2) дуга окружности ;

3) луч , .

Контур разбивает комплексную плоскости на две односвязные бесконечные области и , лежащие слева и справа от соответственно. Будем предполагать , .

В этих условях справедливы следующие интегральные представления

, , (4)

, , , (5)

где

, (6)

Лемма 1. Функция определенная при , равенством (3) представима в виде

,

где - некоторая функция, определенная для всех значений и удовлетворяющая уравнению Гельмгольца по переменному при любом .

Определим матрицы

где , - символ Кроникера и



Лемма 2. Матрицы , представимо в виде

,

, ,

где - симметричная и антисимметричная матрицы целых решений системы (1) в соответственно вектора ; -матрицы фундаментальных решений системы (1) в :

, , ,

где .

Предложение. Пусть , где . Тогда справедлива формула Стрэттона – Чу [9]:



(7)



здесь - направление внешней нормали.

Теорема 1. Пусть и , , где - заданные на вектор функции класса . Тогда справедливы следующие эквивалентные формулы продолжения:



(8)



(9)



где

(10)

,

, .

Теорема 2. Пусть , . Для того чтобы существовало решений такой, что , , , необходимо и достаточно, чтобы

, (11)

выполняется равномерно на каждом компакте , . Если эти условия выполнены, то продолжение осуществляется двумя эквивалентными формулами (8) и (9).

Список литературы

1.Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск. 1962.

2. Латтес Р., Лионс Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения. М. : Мир, 1970.

3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

4. 7. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М. :Наука, 1978.

5. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболичекого типа. М.: Наука, 1978.

6. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР Сер. Мат. 1956. Т. 20, №6. С. 819-842.

7.Сатторов Э., Мардонов Дж. Задача Коши для системы уравнений Максвелла // Сиб. Матем. Журн. 2003. Т.44, №4. С.

8.Джарбашян М.М. Интегральные преобразование и представление функции в комплексной области. М.: Наука, 1966.

9. Stratton J.A., Chu L.J. Diffraction theory of electromagnetic waves // Phys. Repav. 1939. V. 56. P.99-107

Похожие:

Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconУравнения максвелла
Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла...
Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconПрограмма по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень
Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение...
Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconРешение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3)
Рассмотрим электромагнитное поле в той области пространства, где отсутствуют источники, свободное электромагнитное поле. В этом случае...
Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconЗадача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи
«Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconЕдиная теория векторных полей (от электродинамики Максвелла к единой теории поля)
Существенного успеха такой путь не принес. Можно попробовать другой подход объединения электричества и гравитации, в кото­ром подлежат...
Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconОт электродинамики Максвелла к единой теории поля. Введение в единую теорию векторных полей
Существенного успеха такой путь не принес. Можно попробовать другой подход объединения электричества и гравитации, в кото­ром подлежат...
Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconТема Взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем
Отсюда следует, что для описания этих процессов необходимо использовать полевые уравнения и уравнения движения зарядов. Полевые уравнения...
Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconК дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла
Показано, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразования Галилея, но не преобразования Лоренца
Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла iconУдк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области
Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org