Удк 517. 946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла

УДК 517.946 О продолжении решения однородной системы уравнения Максвелла Сатторов Э.Н., Махмудов К.О. Самаркандский государственный университет Sattorov-e@rambler.ru Ключевые слова: уравнений Максвелла, некорректные задачи, регулярное решение, матрицы Карлемана. Key words: Maxwell equations, ill-posed problem, regular solution, Carleman matrix. Аннотация: Рассматривается задача продолжения решения системы уравнений Максвелла по ее значениям на части границы этой области. Abstract: We consider the problem of continuation of a solution to the system of Maxwell equations from data on part of the boundary of the domaın. В теории электромагнитных методов, применяемых различных геофизических исследованиях классическая формула Стрэттона-Чу играет важный роль. Эти представления позволяет решить различные краевые задачи. В данной работе рассматриваются вопросы регуляризации задачи Коши для уравнений Максвелла. Рассмотрим однородную систему уравнений Максвелла ; , где , и - электромагнитные постоянные (диэлектрическая постоянная и проницаемость); и - напряженностью электрического и магнитного поля, - частота электромагнитного колебания. Пусть -трехмерное вещественное евклидово пространство: , , , , gif" name="object18" align=absmiddle width=182 height=26>, . - односвязная ограниченная область в с границей , состоящей из части поверхности конуса и гладкого куска поверхности , лежащего в конусе . Случай предельный. В этом случае - плоскость и - полупространство , -односвязная ограниченная область в с границей, состоящей из части плоскости и гладкого куска поверхности , лежащей в полупространстве ; - внутренние точки поверхности (- поверхность , из которой удален край). Через обозначим пространство вектор функций класса удовлетворяющих системы уравнений Максвелла в Задача 1. ; (1) , , (2) По заданным и на вычислить . Задача 2. Пусть на заданы функции и . Указать условия на и , необходимые и достаточные для того, чтобы существовало решение системы (1) класса , удовлетворяющее условию (2). Задача (1), (2) относится числу некорректно поставленных задач. В настоящее время теория некорректных задач разработана достаточно хорошо. Различные методы решения изложены в [1-4]. Ж.Адамар [5] заметил, что решение задачи 1 неустойчиво. Чаще всего в приложениях вместо вектор-функций и задаются на их приближения и соответственно с заданным уклонением и требуется по и построить решение в точках области с заранее заданной точностью. Поскольку решение задачи неустойчиво, то построение приближенного решения невозможно. Для того чтобы построить устойчивое решение, необходимо сузить класс рассматриваемых решений [1,2-3,6]. Чаще всего это компакт в известных функциональных пространствах. Если известно число характеризующее компакт (размеры компакта которому принадлежат решения, то речь идёт о построении семейства вектор-функции , (регуляризация), зависящих от положительного параметра (параметр регуляризации). При подходящем выборе параметра в зависимости от и размера компакта сходится к решению задачи, когда . Введение положительного параметра в зависимости от погрешности исходных данных здесь обусловлено свойством задачи. Это обстоятельство впервые было замечено М.М.Лаврентьевым [13]. Явная формула для регуляризации задачи (1), (2) дана в [7]. Мы приводим решение задачи 1 и 2, когда и задаются на заданы точной формулой. Доказываемые ниже формулы продолжения, представляющие решения задачи 1 и 2, основаны на построении матрицы фундаментальных решений системы (1), зависящей от положительного параметра и исчезающей при вместе со своими производными на конусе , когда полюс фундаментальной матрицы лежит внутри конуса. Фундаментальная матрица решений системы (1) с указанными свойствами называется матрицей Карлемана [1]. Функцию при , определим (3) где . Здесь - целая функция Миттаг-Леффлера, который определяется интегральной формулой ([8], § 3, гл.3). Обозначим , , контур в комплексной плоскости пробегаемый в направлении неубывания и состоящий из следующих частей: 1) луч , ; 2) дуга окружности ; 3) луч , . Контур разбивает комплексную плоскости на две односвязные бесконечные области и , лежащие слева и справа от соответственно. Будем предполагать , . В этих условях справедливы следующие интегральные представления , , (4) , , , (5) где , (6) Лемма 1. Функция определенная при , равенством (3) представима в виде , где - некоторая функция, определенная для всех значений и удовлетворяющая уравнению Гельмгольца по переменному при любом . Определим матрицы где , - символ Кроникера и Лемма 2. Матрицы , представимо в виде , , , где - симметричная и антисимметричная матрицы целых решений системы (1) в соответственно вектора ; -матрицы фундаментальных решений системы (1) в : , , , где . Предложение. Пусть , где . Тогда справедлива формула Стрэттона – Чу [9]: (7) здесь - направление внешней нормали. Теорема 1. Пусть и , , где - заданные на вектор функции класса . Тогда справедливы следующие эквивалентные формулы продолжения: (8) (9) где (10) , , . Теорема 2. Пусть , . Для того чтобы существовало решений такой, что , , , необходимо и достаточно, чтобы , (11) выполняется равномерно на каждом компакте , . Если эти условия выполнены, то продолжение осуществляется двумя эквивалентными формулами (8) и (9). Список литературы 1.Лаврентьев М.М. О некоторых некорректных задачах математической физики. Новосибирск. 1962. 2. Латтес Р., Лионс Ж. Л. Метод квазиобращения и его приложения. М. : Мир, 1970. 3. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979. 4. 7. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М. :Наука, 1978. 5. Адамар Ж. Задача Коши для линейных уравнений с частными производными гиперболичекого типа. М.: Наука, 1978. 6. Лаврентьев М.М. О задаче Коши для уравнения Лапласа // Изв. АН СССР Сер. Мат. 1956. Т. 20, №6. С. 819-842. 7.Сатторов Э., Мардонов Дж. Задача Коши для системы уравнений Максвелла // Сиб. Матем. Журн. 2003. Т.44, №4. С. 8.Джарбашян М.М. Интегральные преобразование и представление функции в комплексной области. М.: Наука, 1966. 9. Stratton J.A., Chu L.J. Diffraction theory of electromagnetic waves // Phys. Repav. 1939. V. 56. P.99-107

Похожие:

	Уравнения максвелла Ограниченность теории дальнодействия. Гипотеза Максвелла. Вихревое электрическое поле. Ток смещения. Система уравнений Максвелла...		Программа по курсу «Линейная алгебра», 2 семестр 2011/2012 учебного года повышенный уровень Системы линейных уравнений. Алгоритм Гаусса упрощения системы линейных уравнений и матрицы. Главные и свободные неизвестные. Разложение...
	Решение волнового уравнения 2) имеет вид:, 3) Рассмотрим электромагнитное поле в той области пространства, где отсутствуют источники, свободное электромагнитное поле. В этом случае...		Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи Дифференциальные уравнения”. В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...
	Задача для линейного уравнения или системы уравнений. Функция Грина. Представление решения краевой задачи «Дифференциальные уравнения». В основу программы положены следующие дисциплины: обыкновенные дифференциальные уравнения и уравнения...		Единая теория векторных полей (от электродинамики Максвелла к единой теории поля) Существенного успеха такой путь не принес. Можно попробовать другой подход объединения электричества и гравитации, в кото­ром подлежат...
	От электродинамики Максвелла к единой теории поля. Введение в единую теорию векторных полей Существенного успеха такой путь не принес. Можно попробовать другой подход объединения электричества и гравитации, в кото­ром подлежат...		Тема Взаимодействия заряженных частиц с электромагнитным полем Отсюда следует, что для описания этих процессов необходимо использовать полевые уравнения и уравнения движения зарядов. Полевые уравнения...
	К дню Великой Победы 9 Мая Инвариантность уравнений Максвелла Показано, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразования Галилея, но не преобразования Лоренца		Удк 517. 946 Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области Интегральная формула для систем уравнений эллиптического типа в неограниченной области