9. литература принципы компьютерного моделирования



Скачать 417.25 Kb.
страница1/4
Дата13.01.2013
Размер417.25 Kb.
ТипДокументы
  1   2   3   4
ОСНОВЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ: Учебное пособие. -- Глазов: ГГПИ, 2005. -- 25 с.

В предлагаемом учебном пособии рассмотрены принципы компьютерного моделирования физических явлений и представлены программы, позволяющие расчитать одномерное и двумерное движение системы материальных точек в силовом поле, решить волновое уравнение и уравнение теплопроводности, с помощью клеточных автоматов изучить свойства автоволн. Пособие написано для студентов, изучающих курс "Компьютерное моделирование". Используется в Глазовском государственном педагогическом институте.

СОДЕРЖАНИЕ

0. ПРИНЦИПЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

1. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

3. МОДЕЛЬ ДВУМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

4. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК

5. МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ

6. МОДЕЛЬ АВТОВОЛНОВЫХ ПРОЦЕССОВ

7. МОДЕЛИРОВАНИЕ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛНЫ

8. МОДЕЛЬ ЯВЛЕНИЙ ПЕРЕНОСА (ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ, ДИФФУЗИЯ, ВЯЗКОСТЬ)

9. ЛИТЕРАТУРА

ПРИНЦИПЫ КОМПЬЮТЕРНОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ

Компьютерное моделирование является одним из эффективных методов изучения физических систем. Часто компьютерные модели проще и удобнее исследовать, они позволяют проводить вычислительные эксперименты, реальная постановка которых затруднена или может дать непредсказуемый результат. Логичность и формализованность компьютерных моделей позволяет выявить основные факторы, определяющие свойства изучаемых объектов, исследовать отклик физической системы на изменения ее параметров и начальных условий.

Компьютерное моделирование требует абстрагирования от конкретной природы явлений, построения сначала качественной, а затем и количественной модели. За этим следует проведение серии вычислительных экспериментов на компьютере, интерпретация результатов, сопоставление результатов моделирования с поведением исследуемого объекта, последующее уточнение модели и т.д.

К основным этапам компьютерного моделирования относятся: постановка задачи, определение объекта моделирования; разработка концептуальной модели, выявление основных элементов системы и элементарных актов взаимодействия; формализация, то есть переход к математической модели; создание алгоритма и написание программы; планирование и проведение компьютерных экспериментов; анализ и интерпретация результатов.

Различают аналитическое и имитационное моделирование. Аналитическими называются модели реального объекта, использующие алгебраические, дифференциальные и другие уравнения, а также предусматривающие осуществление однозначной вычислительной процедуры, приводящей к их точному решению.
 Имитационными называются математические модели, воспроизводящие алгоритм функционирования исследуемой системы путем последовательного выполнения большого количества элементарных операций.

Принципы моделирования состоят в следующем [3]:

1. Принцип информационной достаточности. При полном отсутствии информации об объекте построить модель невозможно. При наличии полной информации моделирование лишено смысла. Существует уровень информационной достаточности, при достижении которого может быть построена модель системы.

2. Принцип осуществимости. Создаваемая модель должна обеспечивать достижение поставленной цели исследования за конечное время.

3. Принцип множественности моделей. Любая конкретная модель отражает лишь некоторые стороны реальной системы. Для полного исследования необходимо построить ряд моделей исследуемого процесса, причем каждая последующая модель должна уточнять предыдущую.

4. Принцип системности. Исследуемая система представима в виде совокупности взаимодействующих друг с другом подсистем, которые моделируются стандартными математическими методами. При этом свойства системы не являются суммой свойств ее элементов.

5. Принцип параметризации. Некоторые подсистемы моделируемой системы могут быть охарактеризованы единственным параметром: вектором, матрицей, графиком, формулой.

Компьютерное моделирование систем часто требует решения дифференциальных уравнений [1-10]. Важным методом является метод сеток, включающий в себя метод конечных разностей Эйлера. Он состоит в том, что область непрерывного изменения одного или нескольких аргументов заменяют конечным множеством узлов, образующих одномерную или многомерную сетку, и работают с функцией дискретного аргумента, что позволяет приближенно вычислить производные и интегралы. При этом бесконечно малые приращения функции f = f(x, y, z, t) и приращения ее аргументов заменяются малыми, но конечными разностями.



ВВЕРХ

1. МЕТОДЫ ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ И ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ

1. Задача. Для известной функции y = y(x), определите первую и вторую производные в точке с координатой x, а также интеграл в интервале от a до b.

2. Теория. Пусть задана функция y = y(x). Разобъем интервал от a до b на элементарные отрезки длиной h = Δx, получив конечное множество узлов сетки xi = x1 + ih, где i = 1, 2,..., N, а N -- число узлов. В результате функция непрерывного аргумента будет заменена функцией дискретного аргумента yi = y(xi ). Тогда левая, правая и центральная разностные производные первого порядка в точке с координатой xi соответственно равны:

y'(xi ) - = (y(xi ) - y(xi - 1 ))/h,

y'(xi ) + = (y(xi + 1 ) - y(xi ))/h,

y'(xi ) = (y(xi + 1 ) - y(xi - 1 ))/(2h).

Чем меньше шаг сетки h, тем выше точность найденных производных.

Вторая производная определяется из выражения:

y''(xi ) = (y(xi + 1 ) - 2y(xi ) + y(xi - 1 ))/h2.

Интеграл функции численно равен площади криволинейной трапеции, ограниченной графиком этой функции и пределами интегрирования a, b. Если эту трапецию разбить на N прямоугольных полосок шириной h = (b - a) / N и длиной yi = y(a + ih), то площадь будет примерно равна:



Чем меньше шаг h и, соответственно, больше N, тем точнее найденное значение интеграла. Этот метод называется методом прямоугольников.

Более точный метод трапеций заключается в том, что каждая i - ая полоска рассматривается как трапеция высотой h с длинами оснований yi = y(a + ih) и yi + 1 = y(a + (i + 1)h), поэтому ее площадь равна ΔS = (yi + yi + 1 )h/2. Интеграл функции равен сумме всех элементарных площадей этих трапецевидных полосок:



Метод Монте - Карло нахождения площади криволинейной трапеции под кривой y = y(x) состоит в следующем. Представим себе прямоугольник, ограниченный пределами интегрирования a и b, осью x и горизонталью y = c, внутри которого находится эта криволинейная трапеция. Площадь прямоугольника равна (b - a)c. Задавая случайным образом координаты xi , yi , поместим внутрь прямоугольника N точек. Подсчитаем число n точек, оказавшихся внутри криволинейной трапеции, то есть удовлетворяющих условию yi i ). Площадь криволинейной трапеции будет во столько раз меньше площади выбранного прямоугольника, во сколько раз n меньше N. Поэтому при N стремящемся к бесконечности дробь n(b - a)c / N стремится к пределу, равному искомому интегралу.

3. Компьютерная программа. Самостоятельно составьте алгоритмы нахождения производных и интегралов. Ниже представлены примеры программ. Первая программа позволяет вычислить первую и вторую производные функции y = x3 - x2 + 3 в точке с координатой x = 0, а также найти ее интеграл в интервале от a = 1 до b = 3 методом трапеций. Вторая программа определяет интеграл функции y = x2 в интервале от 0 до 1 методом Монте - Карло.

program PROGRAMMA1_1;

uses crt;

var x,y1,y2,y3,a,b,h,S :real;

Function Funct(x:real):real;

begin {Задание функции}

Funct:=x*x*x-x*x+3;

end;

BEGIN {Основная программа}

clrscr; x:=3; h:=0.001;

y1:=Funct(x-h);

y2:=Funct(x);

y3:=Funct(x+h);

Writeln('Первая производная ', (y2-y1)/h:3:3);

Writeln('Вторая производная ', (y1-2*y2+y3)/(h*h):3:3);

a:=1; b:=3; x:=a; S:=0;

Repeat {Интеграл}

S:=S+0.5*(Funct(x)+Funct(x+h))*h; x:=x+h;

until x>b;

Writeln('Интеграл ',S:3:3);

Repeat until KeyPressed;

END.
program PROGRAMMA1_2;

uses crt;

const NN=10000;

var x,y,xx,yy: real;

n,i: integer;

function Funct(x:real):real;

begin Funct:=x*x; end;

BEGIN {Основная программа}

clrscr; Randomize; n:=0;

for i:=1 to NN do

begin

x:=Random(1000)/1000;

yy:=Random(1000)/1000;

if yy
end;

writeln('Интеграл равен ',n/NN);

Repeat until KeyPressed;

END.

4. Задания для самостоятельного решения.

1. Точка движется прямолинейно со скоростью v(t) = 3 + 2t + 1t2. Численными методами и аналитически определите ускорение точки в момент времени 1 с и пройденный путь за время от 1 до 3 с. Повторите расчеты при различных значениях шага и сравните результаты.

2. Имеется пластинка толщиной h ограниченная кривой y = x2 и прямой y = 1. Ее плотность есть функция координаты y: ρ(y) = ρ0 (1 + α y), где α -- произвольный коэффициент пропорциональности. Определите ее площадь и массу методом Монте - Карло.

3. Определите координаты центра масс пластины толщины h, ограниченной прямыми x = 0, y = 0, y = 4 - x2, плотность которой равна ρ.

4. Пластина толщиной h имеет форму круга радиуса R. Ее плотность с ростом расстояния r до центра убывает по закону ρ(r) = ρ0 (1,5 - r/R). Методом численного интегрирования определите момент инерции пластины относительно оси проходящей через ее центр и лежащей в ее плоскости.

8. Постройте кривую зависимости излучательной способности абсолютно черного тела от частоты при постоянной температуре T, выражаемую формулой Планка: fω (ω,T) = Aω3/ (eBω/T - 1), где A и B -- постоянные коэффициенты. Постройте график при различных T. Методом численного интегрирования найдите интегральную светимость абсолютно черного тела, взяв интеграл от fω (ω,T).



ВВЕРХ

2. МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ

1. Задача. Имеется физическая система с одной степенью свободы, состоящая из инерционного элемента массой m, упругого элемента жесткостью k и диссипативного элемента с коэффициентом сопротивления r. Определить отклик системы x(t), а также ее первую и вторую производные v(t), a(t), на внешнее воздействие Fx = Fx (t), если известны начальные условия x(0), v(0).



2. Теория. Из второго закона Ньютона следует линейное неоднородное дифференциальное уравнение второго порядка:



Процессы, происходящие в последовательном колебательном контуре, состоящем из последовательно соединенных резистора R, конденсатора C и катушки индуктивности L, на который подано напряжение U(t), описываются уравнением:



где q -- заряд, проходящий по цепи, i = dq/dt -- сила тока. При этом реализуется электромеханическая аналогия "сила - напряжение".

Итак, неоднородное диффуравнение второго порядка описывает широкий класс задач, изучаемых в школьном и вузовском курсе физики: движение связанного с пружиной тела в вязкой среде под действием произвольной силы Fx (t), протекание тока через последовательно соединенные резистор, конденсатор и катушку индуктивности, подключенные к источнику ЭДС e(t) или источнику тока i(t).

Характер движения механической системы зависит от действующей на нее внешней силы. При этом могут быть рассмотрены следующие ситуации:

  • внешняя сила отсутствует;

  • внешняя сила постоянна;

  • внешняя сила изменяется по гармоническому закону;

  • внешняя сила изменяется по произвольному периодическому закону;

  • внешняя сила изменяется по произвольному непериодическому закону.

Кроме того, физические явления, возникающие в системе, зависят от ее параметров m, r, k и начальных условий, к которым относятся координата x(0) и скорость vx (0) в начальный момент времени.

3. Алгоритм. Дифференциальное уравнение второго порядка может быть решено методом конечных разностей Эйлера. Он состоит в том, что бесконечно малые приращения функции x(t) и ее первых двух производных vx , ax заменяются конечными разностями, а бесконечно малые приращения dt -- малыми, но конечными приращениями Δ t. Сначала, исходя из параметров системы m, r, k, ее координаты x и скорости vx в момент времени t, расчитывается ее координата и скорость в следующий момент t + Δ t:

ax (t + Δ t) = (Fx (t) - r vx (t) - kx(t))/m,

vx (t + Δ t) = vx (t) + ax (t + Δ t)Δ t.

x(t + Δ t) = x(t) + vx (t + Δ t)Δ t.

Затем это состояние рассматривается как исходное и процедура расчета повторяется для момента времени t + 2Δ t и так далее. Одновременно с вычислениями строятся графики x = x(t), vx = vx (t), ax = ax (t).

Рассмотрим алгоритм численного решения уравнения.

1. Задают параметры физической системы m, k, r, зависимость внешнего воздействия от времени Fx (t), а также начальные условия x(0), vx (0) и шаг по времени Δ t.

2. Начало цикла по t. Дают приращение по времени: переменной t присваивают значение t + Δ t.

3. Определяют ускорение, скорость и координату тела в момент t + Δ t:

ax (t + Δ t) = (Fx (t) - r vx (t) - kx(t))/m,

vx (t + Δ t) = vx (t) + ax (t + Δ t)Δ t,

x(t + Δ t) = x(t) + vx (t + Δ t)Δ t.

4. Результаты вычислений x(t + Δ t), vx (t + Δ t), ax (t + Δ t) выводят на экран в числовом виде либо строят соответствующие точки на координатной плоскости.

5. Возвращение к операции 2. Если цикл по t закончился, -- выход из цикла.

4. Компьютерная программа. При запуске программа рисует графики зависимостей координаты x = x(t), проекции скорости vx = vx (t) и проекции ускорения ax = ax (t).

Некоторые строчки программы заключены в скобки "(*" и "*)". Убрав скобки и активизировав соответствующие операторы, можно промоделировать различные явления.

program PROGRAMMA2;

uses dos, crt, graph;

Const Fm=10;w=5;m=2;r=0;k=0;

Mx=20; Mv=40; Ma=8; Mf=2; Mt=100;

dt=0.00006;

Var x,v,a,F,t : Real;

j,xx,vv,aa,FF,tt,Gd,Gm : Integer;

BEGIN

Gd:= Detect;

InitGraph(Gd, Gm, 'c:\bp\bgi');

if GraphResult<>grOk then Halt(1);

t:=0; v:=0; x:=-3;

line(30,300,650,300);

line(31,500,31,10);

OutTextXY(50,20,'X, V, A');

Repeat

begin {Задание функции F=F(t)}

t:=t+dt; (* F:=Fm*sin(w*t); *)

(*If sin(w*t)<0 then F:=0;

If sin(w*t)>0 then F:=Fm;*)

F:=0; If t<1 then F:= Fm;

If t>3 then F:=-Fm;

a:=(F-r*v-k*x)/m; x:=x+v*dt; v:=v+a*dt; tt:=round(t*Mt);

xx:=round(x*Mx); vv:=round(v*Mv); aa:=round(a*Ma); FF:=round(F*Mf);

circle(30+tt,300-xx,1); circle(30+tt,300-vv,1); circle(30+tt,300-aa,2);

end;

until KeyPressed;

CloseGraph;

END.
  1   2   3   4

Похожие:

9. литература принципы компьютерного моделирования iconКонкурсе «Будущие асы компьютерного 3D-моделирования»
Группа компаний аскон приглашает студентов и преподавателей принять участие в Седьмом Международном конкурсе«Будущие асы компьютерного...
9. литература принципы компьютерного моделирования iconПрограмма по дисциплине Основы моделирования вопросы к сессии (зачет) Задачи и методы моделирования систем, возникающие в различных сферах человеческой деятельности
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Роль компьютерного моделирования в решении сложных проектных и исследовательских...
9. литература принципы компьютерного моделирования iconРазработка урока учитель технологии Львова С. Ю. Класс- 9 Тема урока: «Цветовой орнамент в бисероплетении с использованием компьютерного моделирования». Цели урока: Обучающие
«Цветовой орнамент в бисероплетении с использованием компьютерного моделирования»
9. литература принципы компьютерного моделирования iconПринципы синтаксического моделирования в английском языке
Отзыв на реферат по английскому языку «принципы синтаксического моделирования в английском языке»
9. литература принципы компьютерного моделирования iconИспользование статистико-комбинаторных свойств корпуса современных текстов для формирования структуры компьютерного тезауруса
Основной целью компьютерного тезауруса RussNet1 является представление ядра лексической системы современного русского языка. Основные...
9. литература принципы компьютерного моделирования iconПрограмма «Испытание будущим»
«Решение задач по механике повышенной сложности с использованием компьютерного моделирования»
9. литература принципы компьютерного моделирования icon2004 г №9 Труды фора
Об одной системе компьютерного моделирования морфемно-лексического строя адыгейского языка
9. литература принципы компьютерного моделирования icon-
Диссертационная работа выполнена на кафедре теоретической физики и компьютерного моделирования Пермского государственного педагогического...
9. литература принципы компьютерного моделирования iconКонтрольные вопросы по дисциплине " Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс"
Программное (алгоритмическое) генерирование равномерно распределенных случайных величин. (Лекции)
9. литература принципы компьютерного моделирования icon«Современные информационные технологии и письменное наследие: от древних рукописей к электронным текстам»
Текстологические, палеографические и лингвистические проблемы информационных технологий и компьютерного моделирования
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org