Федеральное агентство по образованию
ГОУ ВПО «Саратовский государственный университет
имени Н.Г. Чернышевского»
Кафедра нелинейной физики
Колебания в системе связанных осцилляторов
Курсовая работа
студентки 1 курса факультета нелинейных процессов
****
Научный руководитель
профессор, д. ф.-м. н., ______________Ю. П. Шараевский
Заведующий кафедрой,
чл.-кор. РАН, проф.,
д. ф.-м. н. ______________ Ю. П. Шараевский
Саратов-2008
Содержание
Содержание 2
Введение 3
3
1. Два связанных осциллятора 4
1.1. Анализ системы двух связанных осцилляторов 4
1.2. Затухание в системе связанных осцилляторов 8
1.3. Связанные осцилляторы под действием гармонической силы. 10
2. Колебания системы со многими степенями свободы 12
2.1. Колебания системы N связанных осцилляторов 12
2.2. Колебательные цепи 13
4. Заключение 19
5. Список используемой литературы 20
Введение
В теории колебаний движение заряда в электрическом контуре или груза на пружине, можно описать уравнением линейного гармонического осциллятора. Но на практике в большинстве случаев приходится иметь дело не с одним осциллятором, а с более сложными системами - взаимодействующими между собой осцилляторами. В качестве примеров таких систем можно рассматривать колебания молекул в жидкостях и твердых телах, электрические цепи, состоящие из нескольких взаимосвязанных контуров, два математических маятника, связанные между собой пружиной.
Многие эффекты, проявляющиеся в системе с двумя степенями свободы, характерны для более сложных систем, поэтому осуществляется подробный анализ системы двух связанных осцилляторов. Такой подход позволяет перейти к рассмотрению большого, а затем и бесконечного числа связанных осцилляторов, осуществить переход к сплошной среде.
1. Два связанных осциллятора 1.1. Анализ системы двух связанных осцилляторов
Р ассмотрим систему двух связанных осцилляторов на примере двух электрических контуров. Каждый контур состоит из конденсаторов с емкостью C, катушек индуктивности L1 и L2, связан с другим посредством общего конденсатора C1 (рис.1).
Пусть в первом контуре течет ток I1, во втором - I2. Пренебрегаем потерями энергии в контурах.
Тогда по первому закону Кирхгофа:
I = I1 + I2 Рис.1
или после интегрирования
q = q1 + q2, (1)
где q – заряд на обкладках конденсатора C1, q1, q2 – заряды на конденсаторах C;  ,  .
Совершая обходы по каждому контуру в указанных на рис. 1 направлениях, получим уравнения:
 и  (2)
Уравнения (2) описывают систему связанных осцилляторов. Если 1/C = 0, т.е. отсутствует связь, тогда (2) переходит в систему двух независимых осцилляторов с собственными частотами  и  .
Р ассматривая колебания в системе двух связанных математических маятников (рис.2), соединенных пружиной k, длиной l1 и l2 с одинаковыми массами m = m1 = m2, тогда уравнения движения запишутся в виде:
 (3)
Как видно, уравнения (2) для контуров эквивалентны уравнениям (3), описывающим механическую систему. Рис.2
Способ связи осцилляторов, при котором в каждом из уравнений для несвязанных
систем появляются слагаемые, пропорциональные координате
второй системы, называется силовой связью (механические системы) или емкостной связью (колебательный контур) [1].
Аналогичным образом можно записать уравнения для системы двух связанных контуров с индуктивной связью:
Для механических систем такой способ связи называют инерционным [1].
Тип связи зависит от выбора обобщенных координат.[2 (лекция 22)] или другими словами выбором динамических переменных [1].
В общем виде уравнения движения для системы связанных маятников можно записать так [2]:
 ,
 .
Уравнения (2) можно получить, исходя из уравнений Лагранжа – Максвелла (уравнения Лагранжа второго рода) [2]:
  ,
где T - энергия,  - это обобщенная сила. Выражение называют так по аналогии с тем, что имеет место в декартовых координатах, где работа определяется как произведение  (X – сила,  - перемещение) [2].
Если - такие потенциальные силы, зависящие от  , что
То уравнения для электрической цепи становятся следующими:
 ,
Где U - электрическая, а T – магнитная энергия,  - токи, - заряды. При подстановки значений T и U в полученные уравнения приходим к уравнениям (2).
Сложим и вычтем уравнения (2), получим:
 ,
 .
Для упрощения дифференциальных уравнений введем обозначения
 и  ,
откуда
 и  .
Пусть для простоты  , тогда  . И после преобразований получим:
 , (4)
 , (5)
где  .
Т.о. q’ и q” - линейные комбинации обычных координат q1 и q2, которые называются нормальными координатами, и которым соответствуют нормальные частоты:
 и  ,
а соответствующие нормальным координатам гармонические колебания - собственные моды системы.
Следует отметить, что число независимых (нормальных) координат, необходимое и достаточное для однозначного определения положения системы называется числом степеней свободы системы.[2 (лекция 22)]
В случае, когда q’ = 0 (q1 = q2), колебания системы описываются уравнением (5), т.е. первая нормальная мода с частотой  . Ток I1 = I2, в обоих контурах направлены либо по часовой стрелке, либо против нее. Следовательно, ток через конденсатор C1 не протекает. Если же q” = 0 (q1 = - q2), рассматривая уравнение (4), то возбуждается вторая мода с частотой  и в любой момент времени через конденсатор C проходит удвоенный ток I1 (I2).
Т. о. уравнения (4), (5) можно свести к уравнениям двух независимых осцилляторов.
Обобщая: линейная консервативная система с N степенями свободы может быть представлена в виде набора N независимых осцилляторов.
Рассмотрим парциальные частоты в колебательном контуре.
Парциальной системой, соответствующей данной координате, является система, получаемая из исходной “закреплением” всех остальных координат [3].
“Закрепление” координат на примере уравнений (2) означает, что либо q1 = 0, либо q2 = 0.
В первом случае получим  , во втором  .
Т.о. парциальные частоты определяются следующим образом:
 и  . (6)
При эти частоты равны  . Сравним их с нормальными частотами:
  , (7)
т.о. парциальные частоты всегда лежат между нормальными.( ).
Двойное неравенство (7) наглядно демонстрирует, что введение связи в систему связанных осцилляторов увеличивает интервал между собственными частотами.
Перепишем уравнения (2) в соответствии с (6) в виде ( ):
 и  (8)
Общее решение выглядит следующим образом:
 ,
 , (9)
При этом
 ,
 .
Введем обозначение  , коэффициент связи. Тогда последнее слагаемое, стоящее под корнем будет равным:
 .
Связь между осцилляторами мала, если  . При этом их колебания не зависят друг то друга. В случае  амплитуда колебаний осцилляторов одинакова.
Сильная связь может возникнуть если при любых ρ, или при  .
Рассмотрим передачу энергии в системе связанных осцилляторах.
Пусть в начальный момент времени  был возбужден первый контур, полагая  , имеем:
 ,  ,  ,  .
Т огда, подставляя начальные условия в (9) и выражая  через  , получим решения:
 ,
 .
Во второй формуле амплитуда переменная. Передача энергии от одного колебательного контура к другому за время  сопровождается уменьшением амплитуды первого контура и увеличением Рис.3
амплитуды
второго. Получаются биения (рис.3).
1.2. Затухание в системе связанных осцилляторов
Введём затухания в линейную колебательную систему. В общем случае уравнения движения выглядят следующим образом [4]:
 ,
 . (10)
Полагая, что  , получаем характеристическое уравнение для системы 10:
Пусть  - корни, тогда общее решение запишется в виде:
 ,
 . (11)
Коэффициенты при каждой экспоненте связаны друг с другом соотношениями:
 ( ).
Когда нет трения, то  и  . Наличие затухания приводит к тому, что корни либо действительные, либо комплексно сопряженные. При малых   и  , (11) примет вид:
 ,
 ,
где
 ,  ,
 ,  ,
 ,  ,  ,  .
Таким образом, если в системе есть затухания, то общее решение – сумма двух колебаний с частотами  и , с комплексными амплитудами.
Рассмотрим затухающие колебания в LC – контуре.
Отличие такого контура от рассмотренного ранее – наличие электрического сопротивления, т.е. в колебательной системе происходит потеря энергии (в механических системах из-за трения).
В каждое уравнение добавляется новое слагаемое – падение напряжения на сопротивлении  [2]:
 и 
Будем искать решение в виде  ,  . При подстановки которых, получим
 ,
 .
Причем, α, β и m – не известны. По отношению к α, и β эти уравнения линейны, имеют нетривиальное решение, когда детерминант равен нулю:
 .
Развертывая детерминант, получаем уравнение 4-й степени:
В отсутствии сопротивления (трения) оба корня  отрицательны,  , где  - действительная частота.
При наличии сопротивления корни либо действительные, либо комплексные, попарно сопряженные. Общее решение состоит из суммы двух колебаний с возрастающими или затухающими амплитудами.
В случае системы с сопротивлением происходит сдвиг фаз между колебаниями каждой из частот в обеих координатах.
Затухание в системе связанных осцилляторов может быть неодинаковым для разных мод, поскольку, например, конденсаторы “работают” для различных нормальных колебаний по-разному[6]. Наконец, небольшое затухание никак не может повлиять на фундаментальные свойства нормальных колебаний – соответствие между числом нормальных мод и количеством колебательных степеней свободы.
1.3. Связанные осцилляторы под действием гармонической силы.
Пусть на осцилляторы действует внешняя гармоническая сила с частотой p.
Тогда уравнения движения в общем случае:
 ,
 . (12)
Общее решение системы - сумма однородного (собственные колебания) и частного (правые части системы ненулевые) решений [1].
Решение ищем в виде:
 ,
 .
Подставляя эти выражения в (12), получим:
 ,
 . (13)
Детерминант системы
 .
Если ∆=0, то в системе установятся свободные колебания, рассматривались ранее и также были определены для них нормальные частоты. Если ∆≠0, то для всех p система (13) имеет решение, причем однородные уравнения не имеют решения.
Решение уравнений системы (13):
 ,  .
Резонансные кривые, изображенные на рис.4 позволяют сделать следующие выводы.
1. Пусть сила действует на первую парциальную систему, т.е.  ,  , тогда возможно совпадение частоты внешней силы и парциальной частоты второго осциллятора - динамическое демпфирование [2], первый осциллятор не колеблется:
 ,  .
2. Резонанс наступает при совпадении частоты внешней силы с одной из собственных частот системы, происходит неограниченный рост амплитуд в обоих осцилляторах.
3 . при частоте внешней силы  второй осциллятор не колеблется, это возможно, если связь носит смешанный характер.
Пусть сила действует на второй осциллятор, т.е.  ,  , тогда
 .
Для линейных систем справедлива теорема взаимности [2]: если на второй осциллятор действует сила  , то движение первой координаты – такое же, как Рис.4
движение второй координаты, когда на первый осциллятор действует сила  .
Она справедлива для линейных систем с любым числом степеней свободы, в том числе и для сплошных сред.
В электродинамике, например, теорема взаимности применяется в теории антенн.
|
