Контрольные вопросы по дисциплине " Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс"



Скачать 242.22 Kb.
страница2/3
Дата13.01.2013
Размер242.22 Kb.
ТипКонтрольные вопросы
1   2   3
Дискретизация непрерывных процессов

При замене непрерывного процесса цифровым возникают ошибки из-за квантования по уровню (шумы квантования) и дискретизации по времени (ошибки восстановления непрерывного процесса по его дискретным отсчетам). Шум квантования считается равномерно распределенным случайным процессом с дисперсией h2/12, где h – величина шага квантования. При 16-разрядном двоичном представлении числа шаг квантования равен примерно одной 65-тысячной этого числа. Поэтому шумами квантования можно пренебречь. Дискретизация заключается в замене непрерывного процесса его отсчетами, взятыми через некоторые интервалы времени Δt, не обязательно одинаковые. Далее будем рассматривать только эквидистантную дискретизацию, когда интервал дискретизации Δt постоянен.

Восстановить непрерывный процесс по его дискретным отсчетам можно без ошибки, согласно теореме Котельникова, если спектр этого процесса S(f) ограничен частотой fгр (S(f) = 0 при f > fгр) и частота дискретизации, fд = =1/Δt, больше удвоенной граничной частоты (fд ³ 2fгр). При этом восстанавливающий фильтр должен иметь прямоугольную АЧХ и ФЧХ, равную нулю. Импульсная характеристика такого фильтра g(t) = Sin(πfдt)/(πfдt). Так как импульсная характеристика начинается при t = - ∞, то такой фильтр физически нереализуем. Можно использовать фильтры высокого порядка (например, Баттерворта, Чебышева и др.), АЧХ которых приближается к прямоугольной. Но повышение порядка фильтра приводит к увеличению крутизны ФЧХ, и следовательно, увеличению задержки выходного сигнала фильтра относительно входного. Таким образом, чем ближе будет форма восстановленного сигнала к исходной непрерывной, тем больше восстановленный сигнал будет задержан относительно исходного. Теоретически время задержки при идеальном восстановлении равно бесконечности.

Реально восстановление непрерывного процесса по дискретным отсчетам производится фиксацией значений процесса на интервал дискретизации с последующей фильтрацией фильтром низкой частоты.
Восстановление непрерывного процесса по дискретным отсчетам
В основе восстановления непрерывного процесса x(t) по его отсчетам x(iΔt) лежит теория аппроксимации. Аппроксимация – это замена одного математического объекта другим, в том или ином смысле близким к исходному. Для аппроксимации функций используются ряды, из которых наиболее известными являются ряд Тейлора (для экстраполяции) и ряд Лагранжа (для интерполяции).

Интерполяция – определение значений процесса внутри интервала Δt по известным значениям этого процесса на границах интервала и, возможно, в некоторых точках внутри интервала.


Экстраполяция - определение значений процесса за пределами интервала ΔT по известным значениям этого процесса, а также его производных, на границах интервала ΔT.

Замена непрерывного процесса ступенчатым Простейшей аппроксимацией является ступенчатая. При ступенчатой интерполяции восстановленный процесс xв(t) на интервале iΔt – Δt/2 < t < iΔt + Δt/2 считается равным значению отсчета процесса в момент времени t = iΔt (рис. 4.1 а). Таким образом, в интервале между соседними отсчетами процесс изменяется скачком в середине интервала.








а)

б)

Рис. 4.1


При ступенчатой экстраполяции (рис. 4.1 б) восстановленный процесс принимает значение отсчета в момент времени t = iΔt на всю длину последующего интервала.

Ступенчатая интерполяция физически не реализуема, так как в середине интервала процесс должен принять значение, которое в этот момент еще не известно, а будет известно позже, в следующий момент дискретизации. Ступенчатая экстраполяция физически реализуема, так как для восстановления процесса требуется знание только предыдущего отсчета. Схему, осуществляющую ступенчатую экстраполяцию называют фиксатором нулевого порядка. Такое преобразование производит ЦАП. Импульсная характеристика фиксатора нулевого порядка показана на рис 4.2. Формирование ступенчатого процесса можно представить как реакцию фильтра с такой импульсной характеристикой на последовательность δ-импульсов, площадь которых равна x(iΔt).

Замена непрерывного процесса кусочно-линейным Замена непрерывного процесса кусочно-линейным осуществляется в результате линейной интерполяции или экстраполяции. При линейной интерполяции (рис. 4.3 а) восстановленный процесс изменяется внутри интервала дискретизации линейно, принимая на границах этого интервала значения отсчетов исходного процесса. При линейной экстраполяции (рис. 4.3 б) восстановленный процесс тоже изменяется линейно внутри интервала дискретизации, но эта линия строится как продолжение линии, построенной по отсчетам процесса на границах предыдущего интервала дискретизации.



x


x(t)




xв(t)







t


0

Δt

t

t

t



t

x

x(t)

xв(t)

0

Δt

t

t

t



а)

б)

Рис. 4.3.


Линейная интерполяция, так же, как и ступенчатая, физически не реализуема, так как нельзя провести прямую линию из точки, соответствующей началу интервала, в точку, координаты которой еще не известны. Линейная экстраполяция физически реализуема, но восстановленный процесс может значительно отличаться от исходного непрерывного, особенно на участках, где производная меняет знак, и использование линейной экстраполяции нецелесообразно.

Линейную интерполяцию можно реализовать, если допустить задержку результата интерполяции на один интервал дискретизации (рис. 4.4). Тогда становятся известными координаты конца отрезка прямой, и с этого момента можно строить интерполирующую прямую.






Устройство, реализующее такую интерполяцию, называется фиксатором первого порядка. Его импульсная характеристика показана на рис 4.5.
Ошибки дискретизации
Как видно из приведенных выше рисунков (рис. 4.1 б и рис. 4.4), исходный x(t) и восстановленный xв(t) процессы отличаются друг от друга. Различие между ними называется ошибкой дискретизации. Эту ошибку можно определить по-разному. На рис.4.6 показаны два подхода к определению ошибки.



В системах передачи информации, где несущественна задержка, вносимая устройством восстановления сигнала, пользуются ошибкой без учета задержки. Она равна разности исходного задержанного процесса и восстановленного процесса, причем задержка выбирается такой (tопт), чтобы ошибка была минимальной. Эта ошибка является ошибкой интерполяции:

δинт(t) = x(ttопт) – xв(t).

В системах с обратной связью задержка восстановленного сигнала нежелательна. Она может привести не только к увеличению ошибок моделирования, но и к потере устойчивости модели. В этом случае ошибка определяется как:

δполн(t) = x(t) – xв(t)

и называется полной ошибкой. На рис. 4.7 приведены осциллограммы полной ошибки и ошибки интерполяции при восстановлении процесса фиксаторами нулевого и первого порядков, когда исходный процесс представляет собой отрезок синусоиды длительностью в один период, а отношение периода синусоиды к интервалу дискретизации равно 10.





а) Полная ошибка для фиксатора

нулевого порядка

б) Ошибка интерполяции для

фиксатора нулевого порядка





в) Полная ошибка для фиксатора

первого порядка

б) Ошибка интерполяции для

фиксатора первого порядка


Рис 4.7


Так как ошибки зависят от времени, то для их числовой оценки используется среднеквадратическая ошибка, усредненная за время Т, в течение которого измеряется ошибка:


t0+T



С
t0
КО = (1/Т)∫δ2(t)dt. (4.1)
Сравнивая графики, приведенные на рис. 4.7, видим, что полная ошибка для фиксатора нулевого порядка меньше, чем для фиксатора первого порядка. Это связано с тем, что для фиксатора нулевого порядка восстановленный процесс задержан относительно исходного на половину интервала дискретизации, а для фиксатора первого порядка – на интервал дискретизации. Ошибка интерполяции, наоборот, меньше для фиксатора первого порядка.

Моделирование линейных непрерывных систем

При цифровом моделировании непрерывных систем необходимо обеспечить близость процессов в моделируемой непрерывной системе и в ее цифровой модели. Несовпадение этих процессов связано с двумя причинами: 1) заменой непрерывного входного процесса цифровым и 2) использованием численных методов анализа. Ошибки, связанные с заменой непрерывного процесса цифровым, были рассмотрены ранее. Остановимся на второй причине.

Математическая модель непрерывной системы представляет собой или нелинейное дифференциальное уравнение или совокупность соединенных между собой линейных и нелинейных блоков. В зависимости от принятой математической модели используются различные подходы к формированию цифровой модели.
Численное решение дифференциальных уравнений
Разработано большое количество методов численного решения дифференциальных уравнений. Рассмотрим, как производится численное решение на примере нелинейного дифференциального уравнения первого порядка

du/dt = f(u,x,t). (5.1)

Здесь x = x(t) – независимая функция (входной процесс), u = u(t) – решение уравнения (выходной процесс).

Численное решение находится для дискретных значений аргумента t, отличающихся на шаг интегрирования t. В одношаговых разностных методах для нахождения следующего значения uк = u(tк) требуется информация только об одном предыдущем шаге. Из одношаговых методов наибольшую известность получили методы Рунге-Кутта. В основу метода Рунге-Кутта первого порядка, называемого также явным или прямым методом Эйлера, положено разложение функции u(t) в ряд Тейлора в окрестности точки A(tk-1,, uk-1):

u(t) = S0 + S1(t – tk - 1) + S2(t – tk - 1)2 + …, (5.2)

где S0 = u(tk - 1) = uk - 1,

Si = (1/i!)du(t)/dt при t = tk – 1.

В методах Эйлера (и Рунге-Кутта тоже) ограничиваются только двумя первыми членами разложения в ряд. Запишем значение uk = u(tk), приняв в выражении (5.2) t = tk и ограничившись двумя первыми членами ряда:

uk = uk - 1 + S1(tk – tk - 1) = uk - 1 + S1Δt

Учитывая, что производная du(t)/dt равна правой части дифференциального уравнения (5.1), имеем S1 = f(uk1, xk – 1, tk – 1) и окончательно получим:

uk = uk - 1 + Δt f(uk1, xk – 1, tk – 1). (5.3)

Это выражение является приближенным решением дифференциального уравнения (5.1) прямым методом Эйлера. Оно рекуррентное и позволяет найти значение выходного процесса uk по значениям выходного и входного процессов в предыдущем такте.

На рис. 5.1 а) проиллюстрировано решение прямым методом Эйлера.

Видим, что при использовании этого метода используется линейная экстраполяция и тангенс угла наклона экстраполирующей прямой равен производной функции u(t) в точке А . Экстраполированное значение uk отличается от точного на величину ошибки.

Неявный (обратный) метод Эйлера основан на разложении функции u(t) в ряд Тейлора в окрестности точки В(uk,, tk) (см. рис. 5.1 б):

u(t) = uk + S1(t – tk) + S2(t – tk)2 + …,

Приняв в этом выражении t = tk – 1 и ограничившись двумя первыми членами ряда, получим

uk – 1 = uk – Δt f(uk, xk, tk ).

Откуда

uk = uk – 1 + Δt f(uk, xk, tk ). (5.4)

Искомое значение процесса uk входит и в левую, и в правую части уравнения, и если не удается найти uk в явном виде, то приходится использовать приближенные методы решения этого уравнения.








а)

б)

Рис. 5.1


Замена непрерывной передаточной функции дискретной
Если математическая модель системы представляется в виде соединения линейных и нелинейных блоков, то для описания линейных блоков чаще всего используется передаточная функция K(p). В этом случае цифровую модель непрерывного линейного блока можно получить, заменив непрерывную передаточную функцию K(p) дискретной K(z).

Для этого можно использовать связь между непрерывными и дискретными изображениями, устанавливаемую дискретным преобразованием Лапласа (Z-преобразованием). В таблице 5.1 приведена эта связь для передаточных функций, используемых в данной лабораторной работе.

Таблица 5.1

K(p)

1

p

1

p2

1

(1 + pT)

K(z)

Δt z

(z – 1)

t)2 z

(z – 1)2

t/T)z

(z – e-Δt/T)


Заметим, что здесь комплексная переменная z определяется как z = epΔt и является оператором опережения на интервал дискретизации. Соответственно z-1 – это оператор задержки на интервал дискретизации.

Другой путь предусматривает непосредственный переход от комплексной переменной p к комплексной переменной z заменой операции аналогового интегрирования 1/p операцией дискретного интегрирования. При дискретном описании аналогового интегрирования можно оперировать только с значениями входного и выходного процессов в моменты дискретизации. На рис. 5.5 показано, как это можно сделать, используя численное интегрирование по методу прямоугольников и по методу трапеций.

Значение выходного процесса yk интегратора в момент времени t = kΔt отличается от предыдущего значения yk-1 на величину площади S под кривой x(t) (заштрихованная фигура на рис. 5.5 а).














yk = yk-1 + S

yk = yk-1 + Δt xk-1

yk = yk-1 + Δt xk

yk = yk-1 +

t (xk + xk-1)/2

а)

б)

в)

г)

Рис. 5.5


По методу прямоугольников площадь можно определить по разному в зависимости от того, какую величину принять за высоту прямоугольника: xk-1 или xk (рис. 5.5 б и рис. 5.5 в). На рис. 5.5 г) показано, как вычисляется эта площадь по методу трапеций. Рекуррентные формулы для интегрирования приведены под рисунками.

По этим формулам можно записать дискретные передаточные функции. Поясним это на примере интегрирования по методу трапеций:

yk = yk-1 + Δt (xk + xk-1)/2.

Перенесем yk-1 в левую часть и возьмем от полученного выражения Z-преобразование. Учитывая, что запаздывание на интервал дискретизации в области оригиналов соответствует умножению на z-1 в области изображений, получим:

Y(z) – z-1Y(z) = (Δt/2)(X(z) + z-1X(z)).

Дискретная передаточная функция – это отношение Z-изображений выходной и входной переменных, поэтому

K(z) = Y(z)/X(z) = (Δt/2)(1 + z-1)/(1 – z-1) = (Δt/2)(z + 1)/(z – 1).

В таблице 5.2 приведены выражения дискретных передаточных функций для различных методов численного интегрирования для одного и двух интеграторов.
Таблица 5.2

K(p)

K(z)

Метод прямоугольников (1)

Метод прямоугольников (2)

Метод трапеций

1

p

Δt

z – 1

Δt z

z – 1

Δt (z + 1)

2 (z – 1)

1

p2

t)2 (z +1)

2(z – 1)2

t)2z

(z – 1)2

t)2 (z2 + 4z + 1)

6(z – 1)2


Видим, что одно и то же аналоговое устройство может описываться отличающимися дискретными передаточными функциями.
1   2   3

Похожие:

Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" iconПрограмма по дисциплине Основы моделирования вопросы к сессии (зачет) Задачи и методы моделирования систем, возникающие в различных сферах человеческой деятельности
Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Роль компьютерного моделирования в решении сложных проектных и исследовательских...
Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" iconМетодические указания к лабораторной работе по курсу
Расчет радиоэлектронных схем методом узловых потенциалов: Методические указания к лабораторной работе по курсу "Основы компьютерного...
Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" icon9. литература принципы компьютерного моделирования
Основы компьютерного моделирования: Учебное пособие. Глазов: ггпи, 2005. 25 с
Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" iconЦель преподавания дисциплины
Рэс; оптимизации, моделирования и автоматизации конструкторского и технологического проектирования
Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" iconРабочая учебная программа По дисциплине: Основы проектирования на fpga по направлению: 010900 «Прикладные математика и физика»
Дисциплина «Основы проектирования на fpga» включает в себя разделы, которые могут быть отнесены к вариативной части цикла
Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" iconКонкурсе «Будущие асы компьютерного 3D-моделирования»
Группа компаний аскон приглашает студентов и преподавателей принять участие в Седьмом Международном конкурсе«Будущие асы компьютерного...
Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" iconПорядок формирования наименований рэс и вчу общие положения
Наименование рэс и вчу формируется заявителем в соответствии с Единым техническим справочником рэс и вчу (далее etc). Etc классификатор...
Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" iconМетодические указания и контрольные задания
Науке и технике математические методы исследования, моделирования и проектирования играют все большую роль. Это обусловлено прежде...
Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" iconРазработка урока учитель технологии Львова С. Ю. Класс- 9 Тема урока: «Цветовой орнамент в бисероплетении с использованием компьютерного моделирования». Цели урока: Обучающие
«Цветовой орнамент в бисероплетении с использованием компьютерного моделирования»
Контрольные вопросы по дисциплине \" Основы компьютерного проектирования и моделирования рэс\" iconТест по дисциплине «Компьютерное моделирование» Модели и технология компьютерного моделирования
Модель движения тела, брошенного под углом к горизонту в системе координат, в которой ось x направлена по горизонту, y – вертикально...
Разместите кнопку на своём сайте:
ru.convdocs.org


База данных защищена авторским правом ©ru.convdocs.org 2016
обратиться к администрации
ru.convdocs.org